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2022年高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-2教案:第4章 拓展資料:復(fù)數(shù)的概念常見題型思維診斷
復(fù)數(shù)的概念中的有關(guān)問題在解答時極易出錯,下面結(jié)合常見題型的解析與思維診斷加以講解,以期同學(xué)們在學(xué)習時注意。
例1、m取何實數(shù)時,復(fù)數(shù)z=i
(1)是實數(shù)?(2)是虛數(shù)?(3)是純虛數(shù)?
思路分析:本題是判斷復(fù)數(shù)在何種情況下為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)。由于所給復(fù)數(shù)z已寫成標準形式,即z=a+bi(a、b∈R),所以只需按題目要求,對實部和虛部分別進行處理,就極易解決此題。
解答:
(1)當時,即時,即m=5。
∴m=5時,z是實數(shù)。
(2)當時,即?!喈敃r,z是虛數(shù)。
(3)當時,即?!喈?/p>
2、時,z是純虛數(shù)。
思維診斷:研究一個復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時,首先要保證這個復(fù)數(shù)的實部、虛部是有意義的,這是一個前提條件,學(xué)生易忽略這一點。如本題易忽略分母不能為0的條件,丟掉,導(dǎo)致解答出錯。
例2、已知x是實數(shù),y是純虛數(shù),且滿足(2x-1)+i=y(tǒng)-(3-y)i,求x與y。
思路分析:因為y是純虛數(shù),所以可設(shè)y=bi(b∈R,b ≠0)代入等式,把等式的左、右兩邊都整理成a+bi形式后,可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于x與b的方程組,求解后得x與b值。
解答:
設(shè)y=bi(b∈R且b ≠0)代入條件并整理得(2x-1)+i=-b+(b-3)i。
由復(fù)數(shù)相等的條件
3、得解得?!?,y=4i。
思維診斷:一般根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,可由一個復(fù)數(shù)等式得到兩個實數(shù)等式組成的方程組,從而可確定兩個獨立參數(shù),本題就是利用這一重要思想,化復(fù)數(shù)問題為實數(shù)問題得以解決。在解此題時,學(xué)生易忽視y是純虛數(shù)這一條件,而直接得出等式進行求解,這是審題不細所致。
例3、已知關(guān)于x的方程有實根,求這個實根以及實數(shù)k的值。
思路分析:方程的實根必然適合方程,設(shè)為方程的實根,代入整理后得a+bi=0的形式(a、b∈R)。由復(fù)數(shù)相等的充要條件,可得關(guān)于與k的方程組,通過解方程組便可求得與k。
解答:
設(shè)是方程的實根,代入方程并整理得。由復(fù)數(shù)相等的條件得,解得:或。
∴方程的實根為,相應(yīng)的k值為。
思維診斷:學(xué)生易給出如下錯解:∵方程有實根,∴△=。解得。這是由于錯把實系數(shù)一元二次方程根的判別式運用到了復(fù)系數(shù)一元二次方程中。事實上,在復(fù)數(shù)集內(nèi)解復(fù)系數(shù)一元二次方程,判別式△不能夠判斷方程有無實根。因此,解關(guān)于方程有實根的問題,一般都是把實根代入方程,用復(fù)數(shù)相等條件求解。