2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理

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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分） 1．已知i是虛數(shù)單位，則ixx＝（　?。? A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 2．已知z＝，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝（　?。? A． B．1 C． D．2 3．計(jì)算（　?。? A．4 B． C．16 D．15 4．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣5x+2lnx，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　?。? A．和（1，+∞） B．（0，1）和（2，+∞） C．和（2，+∞） D．（，2） 5．已知函數(shù)f（x）＝x3，則f（x）與y＝x圍成的封閉圖形的面積為（　　） A． B． C． D．1

2、 6．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝，則z對應(yīng)的點(diǎn)在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若對任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，則a的取值范圍是（　?。? A．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞） 8．已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx﹣17（a，b，c∈R）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）≤0的解集為{x|﹣2≤x≤3}，若f（x）的極小值等于﹣98，則a的值是（　?。? A．﹣ B． C．2 D．5 9．已知三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則＝

3、（　?。? A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3 10．已知y＝f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx+2是曲線y＝f（x）在x＝3處的切線，令g（x）＝，g′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g′（3）＝（　?。? A． B．﹣ C．﹣ D．﹣ 11．設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+mln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。? A．（﹣1，） B．（0，） C．（0，] D．（﹣1，] 12．已知直線l即是曲線C1：y＝ex的切線，又是曲線C2：y＝e2x2的切線，則直線l在x軸上的截距為（　?。? A．2 B．1 C．e2 D．﹣e2． 二．填空題（共4小題，每小題5分，滿

4、分20分） 13．若復(fù)數(shù)z滿足zi＝（2+i）2（其中i為虛數(shù)單位），則|z|等于　 ?。? 14．設(shè)函數(shù)f（x）＝2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若函數(shù)y＝f′（x）的圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣，且f′（1）＝0．則a+b的值為　 ?。? 15．曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為　 ?。? 16．已知函數(shù)，其圖象上存在兩點(diǎn)M，N，在這兩點(diǎn)處的切線都與x軸平行，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　 　． 三．解答題（共6小題，滿分70分） 17．（10分）設(shè)y＝f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′（x）＝2x+2． （1）求y＝f（x）的表達(dá)式；

5、 （2）求y＝f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成封閉圖形的面積． 18．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x+（x＞0），a∈R （1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）若f（x）存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍． 19．（12分）已知復(fù)數(shù)z1＝m﹣2i，復(fù)數(shù)z2＝1﹣ni，其中i是虛數(shù)單位，m，n為實(shí)數(shù)． （1）若n＝1，z1為純虛數(shù)，求|z1+z2|的值； （2）若z1＝（）2，求m，n的值． 20．（12分）設(shè)F（x）＝（t+2t﹣8）dt（x＞0） （1）求F（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）求函數(shù)F（x）在[1，3]上的最值． 21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝2xlnx+2x，

6、g（x）＝a（x﹣1）（a為常數(shù)，且a∈R）． （1）求函數(shù)f（x）的極值； （2）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，試確定自然數(shù)n的值，使得a∈（n，n+1）（參考數(shù)值，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95） 22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+﹣1，a∈R． （1）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值為，求a的值； （2）討論函數(shù)g（x）＝f′（x）﹣零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 一．選擇題（共12小題） 1． D． 2． A． 3． B． 4． D． 5． C． 6． D． 7． D． 8

7、． C． 9． C． 10． B． 11． B． 12． B． 二．填空題（共4小題） 13． 5． 14．﹣9． 15． 0． 16．﹣e﹣2＜a＜0． 三．解答題（共6小題） 17．解：（1）∵f′（x）＝2x+2 設(shè)f（x）＝x2+2x+c， 根據(jù)f（x）＝0有兩等根，得△＝4﹣4c＝0解得c＝1，即f（x）＝x2+2x+1； （2）S＝＝． 18．解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f′（x）＝1+＝（x＞0）， 設(shè)g（x）＝x2+1﹣lnx，則g′（x）＝2x﹣＝（x＞0）， 令g′（x）＝0，解得：x＝， 故g（x）在（0，

8、）遞減，在（，+∞）遞增， 故g（x）≥g（）＝﹣ln＞0， 故f′（x）＞0恒成立， 故f（x）在（0，+∞）遞增； （2）∵f（x）存在極值點(diǎn)， ∴f′（x）＝0在x＞0上有解， 即f′（x）＝1+＝＝0有解， 即a（1﹣lnx）+x2＝0在x＞0上有解， 當(dāng)x＝e時(shí)，上式不成立， 即當(dāng)x≠e，a＝在（0，e）∪（e，+∞）上有解， 即曲線y＝a與曲線g（x）＝在（0，e）∪（e，+∞）上有交點(diǎn)， 故g′（x）＝＝0，故x＝， 當(dāng)0＜x＜e或e＜x＜時(shí)，g′（x）＜0， 當(dāng)x＞，g′（x）＞0， 故g（x）min＝g（）＝2e3， ∵0＜x＜e時(shí)，g′（x）＜

9、0， 故作出y＝g（x）的圖象如圖示： 有a＜0或a＞2e3， 即a∈（﹣∞，0）∪（2e3，+∞）． 19．解（1）因?yàn)閦1＝m﹣2i為純虛數(shù)，所以m＝0． 又n＝1， 所以z1＝﹣2i，z2＝1﹣i，從而z1+z2＝1﹣3i． 因此|z1+z2|＝＝． （2）因?yàn)閦1＝（）2，所以m﹣2i＝（1+ni）2， 即m﹣2i＝（1﹣n2）+2ni． 又m，n為實(shí)數(shù)， 所以， 解得 20．解：依題意得，F(xiàn)（x）＝（t+2t﹣8）dt＝（t3+t2﹣8t）＝x3+x2﹣8x，定義域是（0，+∞）， （1）F'（x）＝x2+2x﹣8， 令F'（x）＞0，得x＞2或x

10、＜﹣4； 令F'（x）＜0，得﹣4＜x＜2， 且函數(shù)定義域是（0，+∞）， ∴函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）． （2）令F'（x）＝0，得x＝2（x＝﹣4舍）， 由于函數(shù)在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)，區(qū)間（2，3）上為增函數(shù)， 且F（1）＝﹣，F(xiàn)（2）＝﹣，F(xiàn)（3）＝﹣6， ∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）＝﹣6，最小值是F（2）＝﹣． 21．解：（1）函數(shù)f（x）＝2xlnx+2x，x＞0； 所以f′（x）＝2lnx+4，顯然f′（x）是定義域（0，+∞）上的增函數(shù)，且f′（e﹣2）＝0， 當(dāng)x∈（0，e﹣2）時(shí)，f′（x）＜0，f

11、（x）單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈（e﹣2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增； 所以x＝e﹣2時(shí)，f（x）取得極小值為f（e﹣2）＝2?e﹣2?lne﹣2+2e﹣2＝﹣2e﹣2； （2）記F（x）＝f（x）﹣g（x）＝2xlnx+（2﹣a）x+a，則F′（x）＝2lnx+4﹣a， 當(dāng)a≤4時(shí)，因?yàn)閤＞1，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）＞F（1）＝2， 函數(shù)y＝F（x）無零點(diǎn)，即函數(shù)f（x）與g（x）的圖象無交點(diǎn)； 當(dāng)a＞4時(shí)，令F′（x）＝0，得出x＝＞1， 且x∈（1，）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，x＞時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0， 所以，F(xiàn)（x）min＝F（），函數(shù)f（x）與

12、g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)， 得F（x）min＝F（）＝0， 化簡得：a﹣2＝0， 記h（a）＝a﹣2，h′（a）＝1﹣＜0， 所以h（a）在（4，+∞）上單調(diào)遞減， 又h（6）＝6﹣2e＞0，h（7）＝7﹣2e＜0， 所以a∈（6，7），即n＝6． 22．解：（1）， 當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f’（x）＞0在（1，3）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，3]上為增函數(shù)， ∴f（x）min＝f（1）＝a﹣1，令 得 （舍去）， 當(dāng)1＜a＜3時(shí)，由f’（x）＝0得，x＝a∈（1，3）， 若x∈（1，a），有f’（x）＜0，f（x）在[1，a]上為減函數(shù)， 若x∈（a，3）有f’（x

13、）＞0，f（x）在[a，3]上為增函數(shù)， f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得． 當(dāng)a≥3時(shí)，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，3]上為減函數(shù)， ∴，令 得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）． 綜上知，． （2）∵函數(shù) ， 令g（x）＝0，得． 設(shè)， 當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＞0，此時(shí)φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增， 當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ’（x）＜0，此時(shí)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減， 所以x＝1是φ（x）的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x＝1也是（x）的最大值點(diǎn)， φ（x）的最大值為． 又φ（0）＝0，結(jié)合φ（x）的圖象可知： ①當(dāng) 時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)； ②當(dāng) 時(shí)，函數(shù)g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)； ③當(dāng) 時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)； ④a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)； 綜上所述，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；當(dāng) 或a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．