2022年高中數(shù)學北師大版選修2-2第1章 例析反證法的應(yīng)用

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1、 2022年高中數(shù)學北師大版選修2-2第1章 例析反證法的應(yīng)用 我們知道，反證法是先否定結(jié)論成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步導出與定義、定理，公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原結(jié)論是正確的.反證法是間接證明的一種基本方法，是解決某些“疑難”問題的有力工具，也是數(shù)學上非構(gòu)造性證明中極為重要的方法，它對于處理存在性命題、否定性命題、唯一性命題和至少、至多性命題具有特殊的優(yōu)越性?，F(xiàn)以例說明。 一 否定型命題 當結(jié)論為“否定性”的命題時，應(yīng)用反證法。也就是說原題的結(jié)論出現(xiàn)“不可能……”、“不能表示為……”、“不是……”、“不存在……”、“不等于……”、“

2、不具有某種性質(zhì)”等否定形式出現(xiàn)時，可考慮使用反證法進行證明。 例1：試證不是有理數(shù)。 分析：要求證的結(jié)論是以否定的形式出現(xiàn)的，因此可應(yīng)用反正法來進行證明。 證明：假設(shè)是有理數(shù)，注意到， 可設(shè)（、為互質(zhì)的正整數(shù)，且）， 兩邊平方，得①， 表明，是2的倍數(shù)， 因為是正整數(shù)，故當是奇數(shù)時，令（），則， 即是奇數(shù)，與是2的倍數(shù)矛盾。 當是偶數(shù)，又可設(shè)（），代入①式，整理后得②，②式表明，是2的倍數(shù)。這樣與都是2的倍數(shù)，它們至少有公因數(shù)2，與所作假定、為互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾。 因此不是有理數(shù)。 點評：在應(yīng)用反證法證題時，必須按“反設(shè)——歸謬——結(jié)論”的步驟進行，反正法的難點在于如何從

3、假設(shè)中推出矛盾，從而說明假設(shè)不成立。本題從假設(shè)中推出的結(jié)論是與自身相矛盾 二 存在性命題 當命題的結(jié)論是以存在性的形式出現(xiàn)時，宜用反證法。也就是說，解決存在性探索命題的總體策略是先假設(shè)結(jié)論存在，并以此進行推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立即可肯定假設(shè)正確。 例2、直線與雙曲線的右支交于不同的兩點A，B，⑴求實數(shù)的范圍；⑵是否存在實數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點？若存在求出的值；若不存在，說明理由。 分析：第（1）提示求參數(shù)范圍的常規(guī)題，第⑵問是一道探討結(jié)論是否存在的開放性命題，為此先假設(shè)結(jié)論存在并在此假設(shè)的條件下進行一系列的推導，或推出矛盾或驗證成立

4、。 解：⑴略可求得。 ⑵由消去y得，① 設(shè)A、B兩點的坐標為，則時方程①的兩解 所以， 假設(shè)存在實數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點， 則，得， 即 整理得， 將及帶入上式，得 ， 解得或 （舍去） 從而存在實數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點。 點評：在本題在假設(shè)的條件下推導出的結(jié)果并沒有出現(xiàn)矛盾，而是驗證了存在符合題設(shè)條件的實數(shù)，從判斷結(jié)論存在，對于探究具有某種性質(zhì)的存在性問題，一般先由特例探求結(jié)果的存在性，然后進行論證。 三 “至少”、“至多” 型命題 當命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時，可考慮應(yīng)用反證法來解決。 例3、設(shè)均為實

5、數(shù)，且，， 求證：中至少有一個大于0。 分析：如果直接從條件出發(fā)推證，方向不明，思路不清，不移入手，較難，說證結(jié)論是以“至少”形式出現(xiàn)，因而可用反證法證明。 證明：設(shè)中都不大于0，即 而 ，這與矛盾， 故中至少有一個大于0 點評：當遇到命題的結(jié)論是以“至多”“至少”等形式給出時，一般是多用反證法；應(yīng)注意 “至少有一個” “都是”的否定形式分別是“一個也沒有” “不都是”，本題是一個自相矛盾的題目類型。 四 “唯一”性命題， 若命題的結(jié)論是以“唯一”、“ 有且只有一個”等形式出現(xiàn)時，可用反證法進行證明。 例4、求證：兩條相交直線有且只有一個交點。 分析：此題是含有

6、“ 有且只有一個”的命題，可考慮用反證法進行證明。 證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種情況：或者沒有交點，或者不只一個交點。 如果直線沒有交點，那么∥，這與已知矛盾； 如果直線不只有一個交點，則至少交于點，這樣經(jīng)過兩點就有兩條直線，這與兩點確定以直線矛盾。 由（1）和（2）可知，假設(shè)錯誤， 所以，兩條相交直線有且只有一個交點。 點評：此題是證明一個命題的充要條件，用反證法證明了它的否定，從而獲得結(jié)論正確，也可正面證明，需證明存在性和唯一性。在證明唯一性命題時，應(yīng)找出除這一個元素外的其它的所有元素，并逐一推導出矛盾，排除掉。 五 肯定型命題 有些命題結(jié)論是以“都有”“所有” “都

7、是”等形式出現(xiàn)時，我們在進行證明時，也往往采用反證法。 例5、設(shè)函數(shù)對定義域上任意實數(shù)都有，且成立。 求證：對定義域內(nèi)的任意都有。 分析：這是一個肯定型命題，可考慮用反正發(fā)來進行證明。 證明：假設(shè)滿足體設(shè)條件的任意都有部成立，即存在某個有， ， ， 又因為，這與假設(shè)矛盾。 假設(shè)不成立，故對定義域內(nèi)的任意都有。 點評：在反設(shè)命題的結(jié)論時要注意正確寫出結(jié)論的否定形式是非常重要的。在本體中對“任意都有”的否定是“存在某個有” 六 證明不等式 對于證明不等式，有時直接進行證明因較抽象、不明朗，一時還難以找出解題思路，其反面常卻出現(xiàn)的條件較多、較具體，又較容易尋找解題思路，

8、因此也?？紤]用反證法進行證明。 例6、已知函數(shù)是上的增函數(shù)，，試判斷命題“若，則”的逆命題是否正確，并證明你的結(jié)論。 分析：先寫出逆命題，然后證明不等式，而直接證明的條件較少，因此應(yīng)用反證法。 證明：逆命題為：“若，則。”用反證法進行證明： 假設(shè)，則 因為函數(shù)是上的增函數(shù)， 所以有， 兩式相加得， 這與已知矛盾， 故只有，逆命題成立。 點評：反正法常用于直接證明較困難的不等式，也是不等式證明的一種常用方法。 以上我們介紹了反證法的經(jīng)常應(yīng)用的幾種類型，由此可以看出它有相當廣泛的應(yīng)用，正難則反是反證法的特點，因為如果由一個命題直接得到的結(jié)論很少、較抽象、較困難時，其反面常會有較多、較具體、較容易的信息結(jié)論，這樣反證法就為一些從正面入手,無法使已知條件和結(jié)論找出聯(lián)系的問題,提供了一條解題途徑，它是通過給出合理的反設(shè),來增加演繹推理的前提,從而使那種只依靠所給前提而變得山窮水盡的局面,有了柳岸花明又一村的境地。當然要想再接題中用好反證法，這還要有待于平時訓練和不斷的積累。