江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題八 二項式定理與數(shù)學歸納法（理）8.2 數(shù)學歸納法達標訓練（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題八 二項式定理與數(shù)學歸納法（理）8.2 數(shù)學歸納法達標訓練（含解析） 1．(2018·南通三模)已知函數(shù)f0(x)＝(a≠0，bc－ad≠0)．設fn(x)為fn－1(x)的導數(shù)，n∈N*. (1)求f1(x)，f2(x)； (2)猜想fn(x)的表達式，并證明你的結論． 解：(1)f1(x)＝f0′(x)＝′＝， f2(x)＝f1′(x)＝′＝. (2)猜想fn(x)＝，n∈N*. 證明：①當n＝1時，由(1)知結論成立， ②假設當n＝k(k∈N*且k≥1)時結論成立， 即有fk(x)＝. 當n＝k＋1時， fk＋1(x)＝fk′(x

2、) ＝′ ＝(－1)k－1·ak－1·(bc－ad)·k！[(ax＋b)－(k＋1)]′ ＝. 所以當n＝k＋1時結論成立． 由①②得，對一切n∈N*結論都成立． 2．(2018·鎮(zhèn)江模擬)證明：對一切正整數(shù)n,5n＋2·3n－1＋1都能被8整除． 證明：(1)當n＝1時，原式等于8，能被8整除； (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，結論成立， 即5k＋2·3k－1＋1能被8整除． 設5k＋2·3k－1＋1＝8m，m∈N*， 當n＝k＋1時， 5k＋1＋2·3k＋1 ＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·3k－1－4 ＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4(3k－1

3、＋1)， 而當k≥1，k∈N*時，3k－1＋1顯然為偶數(shù)，設為2t，t∈N*， 故5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4(3k－1＋1)＝40m－8t(m，t∈N*)，也能被8整除， 故當n＝k＋1時結論也成立； 由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n,5n＋2·3n－1＋1都能被8整除． 3．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n≥2，n∈N*)，求證：S2n＞1＋(n≥2，n∈N*)． 證明：(1)當n＝2時，S2n＝S4＝1＋＋＋＝＞1＋，即n＝2時命題成立； (2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立， 即S2k＝1＋＋＋…＋＞1＋， 則當n＝k＋1時， S

4、2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ ＞1＋＋＋＋…＋ ＞1＋＋ ＝1＋＋＝1＋， 故當n＝k＋1時，命題成立． 由(1)和(2)可知，對n≥2，n∈N*不等式S2n＞1＋都成立． 4．(2018·常州期末)記(x＋1)··…·(n≥2且n∈N*)的展開式中含x項的系數(shù)為Sn，含x2項的系數(shù)為Tn. (1)求Sn； (2)若＝an2＋bn＋c，對n＝2,3,4成立，求實數(shù)a，b，c的值； (3)對(2)中的實數(shù)a，b，c，用數(shù)學歸納法證明：對任意n≥2且n∈N*，＝an2＋bn＋c都成立． 解：(1)因為(x＋1)··…· ＝(1＋x)(1＋2x)·…·(1＋nx) ＝[

5、1＋(1＋2＋…＋n)x＋…＋n！xn]， 所以Sn＝＝. (2)由題意及(1)可知＝，＝，＝， 又＝an2＋bn＋c， 則解得a＝，b＝－，c＝－. (3)證明：①當n＝2時，由(2)知等式成立． ②假設當n＝k(k∈N*，且k≥2)時，等式成立， 即＝k2－k－. 當n＝k＋1時，由 f(x)＝(x＋1)·…· ＝· ＝知 Tk＋1＝Sk＋Tk ＝， 所以＝ ＝＝. 又(k＋1)2－(k＋1)－＝＝上式， 即等式＝(k＋1)2－(k＋1)－也成立． 綜上可得，對任意n≥2且n∈N*，都有＝an2＋bn＋c成立． B組——大題增分練 1．(2018·南

6、通、泰州一調(diào))用數(shù)學歸納法證明：當x∈N*時，cos x＋cos 2x＋cos 3x＋…＋cos nx＝－(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)． 證明：①當n＝1時， 等式右邊＝－ ＝ ＝ ＝cos x＝等式左邊，等式成立． ②假設當n＝k時等式成立， 即cos x＋cos 2x＋cos 3x＋…＋cos kx ＝－. 那么，當n＝k＋1時， 有cos x＋cos 2x＋cos 3x＋…＋cos kx＋cos[(k＋1)x] ＝－＋cos[(k＋1)x] ＝－ ＝sin[(k＋1)x]cosx－cos[(k＋1)x]sinx＋2sinxcos[(k＋1)x]÷2sinx－

7、 ＝－ ＝－， 這就是說，當n＝k＋1時等式也成立． 根據(jù)①和②可知，對任何n∈N*等式都成立． 2．已知數(shù)列{an}共有3n(n∈N*)項，記f(n)＝a1＋a2＋…＋a3n.對任意的k∈N*,1≤k≤3n，都有ak∈{0,1}，且對于給定的正整數(shù)p (p≥2)，f(n)是p的整數(shù)倍．把滿足上述條件的數(shù)列{an}的個數(shù)記為Tn. (1)當p＝2時，求T2的值； (2)當p＝3時，求證：Tn＝[8n＋2(－1)n]． 解：(1)由題意，當n＝2時，數(shù)列{an}共有6項． 要使得f(2)是2的整數(shù)倍，則這6項中，只能有0項、2項、4項、6項取1， 故T2＝C＋C＋C＋C＝25

8、＝32. (2)證明：由題意及(1)的分析可知， 當p＝3時，Tn＝C＋C＋C＋…＋C . 當1≤k≤n，k∈N*時， C＝C＋C ＝C＋C＋C＋C ＝2C＋C＋C ＝2(C＋C)＋C＋C＋C＋C ＝3(C＋C)＋C＋C， 于是Tn＋1＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋3(C＋C＋C＋C＋…＋C＋C)＋Tn－C＋Tn－C ＝2Tn＋3(23n－Tn) ＝3×8n－Tn. 下面用數(shù)學歸納法證明Tn＝[8n＋2(－1)n]． 當n＝1時，T1＝C＋C＝2＝[81＋2(－1)1]， 即n＝1時，命題成立． 假設n＝k (k≥1，k∈N*) 時，命題成立， 即Tk

9、＝[8k＋2(－1)k]． 則當n＝k＋1時， Tk＋1＝3×8k－Tk＝3×8k－[8k＋2(－1)k] ＝[9×8k－8k－2(－1)k] ＝[8k＋1＋2(－1)k＋1]， 即n＝k＋1時，命題也成立． 于是當n∈N*，有Tn＝[8n＋2(－1)n]． 3．(2018·揚州調(diào)研)在數(shù)列{an}中，an＝cos(n∈N*)． (1)試將an＋1表示為an的函數(shù)關系式； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝1－(n∈N*)，猜想an與bn的大小關系，并證明你的結論． 解：(1)an＝cos＝cos ＝22－1， ∴an＝2a－1，∴an＋1＝± ， 又n∈N*，n＋1≥2

10、，an＋1>0，∴an＋1＝ . (2)當n＝1時，a1＝－，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1； 當n＝2時，a2＝，b2＝1－＝，∴a2＝b2； 當n＝3時，a3＝，b3＝1－＝，∴a30， 即證＋2>0， 顯然成立． ∴n＝k＋1時，結論也成立．

11、 綜合①②可知：當n≥3時，an

12、2，…，n)，求b3,5的值； (2)求證：bm，i＝i＋jC，其中i＝1,2，…，n.(注：當i＋j＝kn＋t時，k∈N*，t＝1,2，…，n，則ai＋j＝at) 解：(1)當n＝2,3,4時，b3,5值不存在； 當n＝5時，依題意，有序數(shù)組為(1,2,3,4,5)． 經(jīng)1次變換為：(3,5,7,9,6)， 經(jīng)2次變換為：(8,12,16,15,9)， 經(jīng)3次變換為：(20,28,31,24,17)， 所以b3,5＝17； 當n＝6時，同理得b3,5＝28； 當n＝7時，同理得b3,5＝45； 當n≥8時，n∈N*時， 依題意，有序數(shù)組為(1,2,3,4,5,6,7,8

13、，…，n)． 經(jīng)1次變換為：(3,5,7,9,11,13,15，…，n＋1)， 經(jīng)2次變換為：(8,12,16,20,24,28，…，n＋4)， 經(jīng)3次變換為：(20,28,36,44,52，…，n＋12)， 所以b3,5＝52. (2)證明：下面用數(shù)學歸納法證明對m∈N*，bm，i＝i＋jC，其中i＝1,2，…，n. ①當m＝1時，b1，i＝ai＋ai＋1＝i＋jC，其中i＝1，2，…，n，結論成立； ②假設m＝k(k∈N*)時，bk，i＝i＋jC，其中i＝1，2，…，n. 則m＝k＋1時， bk＋1，i＝bk，i＋bk，i＋1＝i＋jC＋i＋j＋1C ＝i＋jC＋i＋jC ＝aiC＋i＋j(C＋C)＋ai＋k＋1C ＝aiC＋i＋jC＋ai＋k＋1C ＝i＋jC， 所以結論對m＝k＋1時也成立． 由①②知，m∈N*，bm，i＝i＋jC，其中i＝1,2，…，n.