江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練(八)不等式(含解析)

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練(八)不等式(含解析) 題型一 一元二次不等式 1.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若不等式f(x)<0的解集為,則f(ex)>0(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集是________________. 解析:法一:依題意可得f(x)=a(x-3)(a<0),則f(ex)=a(ex-3)(a<0),由f(ex)=a(ex-3)>0可得0的解集為, 令

2、函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>3的解集為________________. 解析:當(dāng)x>0時(shí),2x-1>3,解得x>2,當(dāng)x≤0時(shí),-x2-4x>3,即x2+4x+3<0,解得-32或-32或-3

3、4,故實(shí)數(shù)k的最大值為4. 答案:4 4.已知函數(shù)f(x)=則關(guān)于x的不等式f(x2)>f(2-x)的解集是________________. 解析:由x2≥0,得f(x2)=-x2+1, 所以原不等式可轉(zhuǎn)化為f(2-x)<-x2+1, 則當(dāng)2-x≥0,即x≤2時(shí), 由-(2-x)+1<-x2+1,得-22時(shí), 由-(2-x)2+1<-x2+1,得x∈?. 綜上得,關(guān)于x的不等式f(x2)>f(2-x)的解集是{x|-2

4、次方程的根,也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即二次函數(shù)的零點(diǎn). 2.不等式(x-a)(x-b)<0(a0(a1,則x+的最小值為________. 解析:由x>1,得x-1>0,則x+=x-1++1≥4+1=5.當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即

5、x=3時(shí)等號(hào)成立.故x+的最小值為5. 答案:5 2.已知00, 則x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=, 當(dāng)且僅當(dāng)3x=3-3x,即x=時(shí)等號(hào)成立. 答案: 3.已知正數(shù)a,b滿足+=-5,則ab的最小值為________. 解析:因?yàn)檎龜?shù)a,b滿足+=-5, 所以-5≥2,可化為()2-5-6≥0, 解得≥6,即ab≥36,當(dāng)且僅當(dāng)=, 即a=2,b=18時(shí)取等號(hào).即ab的最小值為36. 答案:36 4.已知正數(shù)x,y滿足x2+4y2+x+2y≤2-4xy,則+的

6、最小值為________. 解析:由題意得(x+2y)2+(x+2y)-2≤0,且x>0,y>0,所以00,n>0,則a=,c=,故+==≥,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào),故+的最小值為. 答案: [臨門一腳] 1.利用基本不等式≥時(shí),要注意“正、定、等”三要素,“正”,即x,y都是正數(shù);“

7、定”,即不等式另一邊為定值;“等”,即當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào). 2.利用基本不等式≥時(shí),要注意“積定和最大,和定積最小”這一口訣,并且適當(dāng)運(yùn)用拆、拼、湊等技巧,但應(yīng)該注意,一般不要出現(xiàn)兩次不等號(hào),若出現(xiàn),則要看兩次等號(hào)成立的條件是否同時(shí)成立. 3.利用基本不等式解決二元多項(xiàng)式之間的大小關(guān)系,符合極值定理時(shí),才能夠求最值. 4.求一元函數(shù)最值時(shí)如等號(hào)取不到時(shí),要借助函數(shù)圖象,利用函數(shù)單調(diào)性求解最值. 題型三 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足則目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為________. 解析:根據(jù)題意,畫出可行域如圖所示,易知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4)時(shí),

8、取得最小值-3. 答案:-3 2.(2018·南京高三模擬)若實(shí)數(shù)x,y滿足則的取值范圍為________. 解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,其中點(diǎn)A(1,2),B(5,2),C.表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)O連線的斜率.連接OA,OC,則kOA=2,kOC=,結(jié)合圖形可知的取值范圍是. 答案: 3.設(shè)不等式表示的平面區(qū)域?yàn)镸,若直線l:y=kx-2上存在M內(nèi)的點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 解析:作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示. 因?yàn)橹本€l:y=kx-2的圖象過(guò)定點(diǎn)A(0,-2),且斜率為k, 由圖知,當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)

9、B(1,3)時(shí),k取最大值=5, 當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)C(2,2)時(shí),k取最小值=2, 故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2,5]. 答案:[2,5] 4.已知約束條件表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若區(qū)域D內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)在函數(shù)y=ex的圖象上,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 解析:由題意作出約束條件表示的平面區(qū)域及函數(shù)y=ex的圖象,結(jié)合函數(shù)圖象知,當(dāng)x=1時(shí),y=e,把點(diǎn)(1,e)代入ax-y≥0,則a≥e.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[e,+∞). 答案:[e,+∞) [臨門一腳] 1.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題解題步驟:一畫二移三算四答,充分挖掘目標(biāo)對(duì)象的幾何意義,通常與直線的縱截距、斜率,圓的半徑或半

10、徑的平方有關(guān). 2.畫可行域要特別注意邊界能否取到,當(dāng)區(qū)域不包含邊界時(shí),取值范圍中等號(hào)取不到,如果忽視這一點(diǎn),容易在等號(hào)上出錯(cuò). B組——高考提速練 1.不等式<2的解集為______________. 解析:∵<2,∴-2<0, 即=<0, ∴<0等價(jià)于x(x-1)>0,解得x<0或x>1, ∴不等式<2的解集為{x|x<0或x>1}. 答案:{x|x<0或x>1} 2.若實(shí)數(shù)x,y滿足則z=3x+2y的最大值為________. 解析:作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示. 由z=3x+2y得y=-x+z,平移直線y=-x+z, 由圖象可知當(dāng)直線y=-x+

11、z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線y=-x+z的截距最大,此時(shí)z最大. 由解得A(1,2),代入目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y,得z=3×1+2×2=7. 即目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值為7. 答案:7 3.已知函數(shù)f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=2時(shí)取得最小值,則實(shí)數(shù)a=________. 解析:當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)=4x+有最小值,由基本不等式知取等號(hào)的條件為4x=,即4×2=,得a=16. 答案:16 4.函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)開_______. 解析:由題意得-2≥0,即≥0,從而0

12、a,b均為大于1的正數(shù),且ab=100,則lg a·lg b的最大值為________. 解析:因?yàn)閍>1,b>1,所以lg a>0,lg b>0. lg a·lg b≤==1. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=10時(shí)取等號(hào), 故lg a·lg b的最大值為1. 答案:1 6.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________. 解析:因?yàn)椴坏仁絰2+ax+4<0的解集不是空集, 所以Δ=a2-4×4>0,即a2>16. 所以a>4或a<-4. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞) 7.若關(guān)于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),則m

13、的值為________. 解析:根據(jù)不等式與方程之間的關(guān)系知1為方程ax2-6x+a2=0的一個(gè)根,即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3,當(dāng)a=2時(shí),不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,2),符合要求;當(dāng)a=-3時(shí),不等式ax2-6x+a2<0的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去.故m=2. 答案:2 8.已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是________. 解析:因?yàn)閤2+2xy-3=0,所以y=,所以2x+y=2x+==+≥2 =3.當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1時(shí)取等號(hào),故2x+y的最小值為3. 答案:3 9.已知函數(shù)f(x)是定義

14、在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1-log2x,則不等式f(x)<0的解集是________. 解析:當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=log2(-x)-1,f(x)<0,即log2(-x)-1<0,得-20時(shí),f(x)=1-log2x,f(x)<0,即1-log2x<0,解得x>2.綜上所述,不等式f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,+∞). 答案:(-2,0)∪(2,+∞) 10.已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界),且=m+n,m,n∈R,則(m-2)2+(n-2)2 的取值范圍是________. 解析:因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界),且=

15、m+n,所以m,n滿足條件作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示.因?yàn)?m-2)2+(n-2)2表示的是區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(m,n)到點(diǎn)A(2,2)的距離的平方.因?yàn)辄c(diǎn)A到直線m+n=1的距離為=,故2<(m-2)2+(n-2)2<OA2,即(m-2)2+(n-2)2的取值范圍是. 答案: 11.若關(guān)于x的不等式(ax-1)(ln x+ax)≥0在(0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:(ax-1)(ln x+ax)≥0?≥0?或 設(shè)函數(shù)f(x)=,g(x)=-,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖象如圖所示, 由圖象可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪{e}. 答案:∪

16、{e} 12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足:a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,an使得 =4a1,則+的最小值為________. 解析:設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2(q=-1,舍去) 由=4a1,即2=4,得2m+n-2=24, 即m+n=6. 故+=(m+n) =+≥+=, 當(dāng)且僅當(dāng)=即m=2,n=4時(shí)等號(hào)成立, 即+的最小值為. 答案: 13.已知A,B,C是平面上任意三點(diǎn),BC=a,CA=b,AB=c,則y=+的最小值是________. 解析:y要取最小值,則a要最大,而a的最大值是b+c,所以y=+≥

17、+=+-≥ -,當(dāng)且僅當(dāng)=+時(shí)取等號(hào),即y的最小值是-. 答案:- 14.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a不是最大邊,已知a2-b2=2bcsin A,則tan A-9tan B的最小值為________. 解析:由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A及a2-b2=2bcsin A,得c2-2bccos A=2bcsin A, 即c-2bcos A=2bsin A,再由正弦定理, 得sin C-2sin Bcos A=2sin Bsin A, 即sin(A+B)-2sin Bcos A=2sin Bsin A, 即sin Acos B-cos Asin B=2sin Asin B, 所以tan A-tan B=2tan Atan B. 所以tan B=, 由題意知tan A>0,所以2tan A+1>0, 所以tan A-9tan B=tan A- =(2tan A+1)+-5 ≥2-5=-2. 當(dāng)且僅當(dāng)(2tan A+1)=,即tan A=1時(shí)取“=”. 故tan A-9tan B的最小值為-2. 答案:-2

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