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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 3個附加題綜合仿真練（五）（理）（含解析）
1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答
A．[選修4－2：矩陣與變換]
已知向量是矩陣A的屬于特征值－1的一個特征向量．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1,1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(3,3)，求矩陣A.
解：設(shè)A＝，因?yàn)橄蛄渴蔷仃嘇的屬于特征值－1的一個特征向量，
所以＝＝(－1)＝.
所以①
因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(3，3)，
所以＝＝.所以②
由①②解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝.
B．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方
2、程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(n為參數(shù))與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．
解：法一：將曲線(t為參數(shù))化為普通方程為y2＝8x.
將直線(n為參數(shù))代入y2＝8x得，
n2－8n＋24＝0，
解得n1＝2，n2＝6.
則|n1－n2|＝4，
所以線段AB的長為4.
法二：將曲線(t為參數(shù))化為普通方程為y2＝8x,
將直線(n為參數(shù))化為普通方程為x－y＋＝0，
由得或
所以AB的長為 ＝4.
C．[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，若存在實(shí)數(shù)x使f(x)＋g(x)>a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：存在
3、實(shí)數(shù)x使f(x)＋g(x)＞a成立，
等價于f(x)＋g(x)的最大值大于a，
因?yàn)閒(x)＋g(x)＝＋
＝×＋1×，
由柯西不等式得，(×＋1×)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，
所以f(x)＋g(x)＝＋≤8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10時取“＝”，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，8)．
2.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.
(1) 求棱AA1與BC所成的角的大?。?
(2) 在棱B1C1上確定一點(diǎn)P，使二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為.
解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB所在直線為x軸，y軸，過A平行于A
4、1B的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,2,2)，B1(0，4,2)，＝(0,2,2)，＝＝(2，－2,0)．
所以cos〈，〉＝＝＝－，
故棱AA1與BC所成的角是.
(2)設(shè)＝λ＝(2λ，－2λ，0)，則P(2λ，4－2λ，2)．
設(shè)平面PAB的一個法向量為n1＝(x，y，z)，
又＝(2λ，4－2λ，2)，＝(0,2,0)，
則即
令x＝1，得平面PAB的一個法向量n1＝(1,0，－λ)．
易知平面ABA1的一個法向量是n2＝(1,0,0)，
則cos〈n1，n2〉＝＝＝，
解得λ＝，即P為棱B1C1的中點(diǎn)，其坐
5、標(biāo)為P(1,3,2)時，二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為.
3．設(shè)a＞b＞0，n是正整數(shù)，An＝(an＋an－1b＋an－2b2＋…＋a2b n－2 ＋abn－1＋bn) ，Bn＝n.
(1)證明：A2＞B2；
(2)比較An與Bn(n∈N*)的大小，并給出證明．
解：(1)證明：A2－B2＝(a2＋ab＋b2)－2＝(a－b)2>0.
(2)An≥Bn，證明如下：
當(dāng)n＝1時，A1＝B1；
當(dāng)n≥3時，An＝·，Bn＝n，
令a＋b＝x，a－b＝y(tǒng)，且x>0，y>0，
于是An＝·＝
[(x＋y)n＋1－(x－y)n＋1]，Bn＝n，
因?yàn)閇(x＋y)n＋1－(x－y)n＋1]＝(2Cxny＋2C·xn－2y3＋…)≥2Cxny，
所以An≥·2Cxny＝＝n＝Bn.
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