（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識專題突破 專題9 立體幾何學(xué)案

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1、 專題九　立體幾何 ———————命題觀察·高考定位——————— (對應(yīng)學(xué)生用書第39頁) 1. (2017·江蘇高考)如圖9－1，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 圖9－1 　[設(shè)球O的半徑為R， ∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切， ∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R. ∴＝＝.] 2．(2015·江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的

2、圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為______． 　[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得 ×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8， ∴r2＝7，∴r＝.] 3．(2014·江蘇高考)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且＝，則的值是________． 　[設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，則＝.由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，則＝，所以＝＝.] 4. (2013·江蘇高考)如圖9－2，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1

3、的中點．設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________. 圖9－2 1∶24　[設(shè)三棱柱的底面ABC的面積為S，高為h，則其體積為V2＝Sh.因為D，E分別為AB，AC的中點，所以△ADE的面積等于S.又因為F為AA1的中點，所以三棱錐F－ADE的高等于h，于是三棱錐F－ADE的體積V1＝×S·h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.] 5．(2017·江蘇高考) 如圖9－3，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)

4、EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 【導(dǎo)學(xué)號：56394060】 圖9－3 [證明]　(1)在平面ABD內(nèi)，因為AB⊥AD，EF⊥AD， 所以EF∥AB. 又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因為平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因為AC?平面ABC， 所以AD⊥AC. 6. (2016·江蘇高

5、考)如圖9－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求證：(1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 圖9－4 [證明]　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點， 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又因為DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F， 所以直線DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因為A1C1?平面A1B1C1，

6、所以A1A⊥A1C1. 又因為A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因為B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又因為B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F. 因為直線B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F. [命題規(guī)律] 觀近幾年江蘇的高考題，立體幾何的客觀題以柱、錐、球為載體考查體積、表面積為主，屬容易題；解答題一般都處于解答題第16題的位置，也就是屬于容易題范疇，考查的難度不大，且

7、都是考查線線、線面或面面的平行與垂直關(guān)系的證明．從近幾年江蘇高考試題分析，解答題中考查一道立體幾何題型是固定模式，一般與棱柱和棱錐相關(guān)，其重點放在對幾何體中的一些線、面之間的平行與垂直關(guān)系的證明上，突出考查學(xué)生的空間想象能力和推理運算能力． ———————主干整合·歸納拓展——————— (對應(yīng)學(xué)生用書第40頁) [第1步▕ 核心知識再整合] 1．空間幾何體的兩組常用公式 (1)柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式： ①S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)； ②S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)； ③S臺側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)；

8、④S球表＝4πR2(R為球的半徑)． (2)柱體、錐體和球的體積公式： ①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ②V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ③V球＝πR3. 2．直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 3．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l

9、⊥n?l⊥α. (2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. [第2步▕ 高頻考點細突破] 空間幾何體的表面積、體積、球與多面體 【例1】　(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測試)如圖9－5， 圖9－5 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，則三棱錐A－B1D1D的體積為________cm3. [解析]　VA－B1D1D＝VB1－AD1D＝×S△AD1D×B1A1＝××AD×D1D×B1A1＝

10、××3×2×3＝3. [答案]　3 [規(guī)律方法]　(1)在求三棱錐體積的過程中，等體積轉(zhuǎn)化法是常用的方法，轉(zhuǎn)換底面的原則是使其高易求，常把底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體變?yōu)橐?guī)則幾何體，易于求解． (3)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系． (4)求與球有關(guān)的“切”或者“接”球半徑時，往往用到的方法有構(gòu)造法或者直接確定球心． [舉一反三] (江蘇省南京市2017屆高考三模數(shù)學(xué)試題)如圖9－6，在直三棱柱ABC－

11、A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側(cè)棱BB1上的動點，當(dāng)AD＋DC1最小時，三棱錐D－ABC1的體積為________． 圖9－6 　[將直三棱柱ABC－A1B1C1展開成矩形ACC1A1，如圖， 連接AC1，交BB1于D，此時AD＋DC1最小， ∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側(cè)棱BB1上的動點， ∴當(dāng)AD＋DC1最小時，BD＝1， 此時三棱錐D－ABC1的體積： VD－ABC1＝VC1－ABD＝×S△ABD×B1C1 ＝××AB×BD×B1C1 ＝××1×1×2＝.] 線面位置關(guān)系的命題真假判斷

12、 【例2】　給出下列命題： ①若兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定平行于另一個平面； ②若兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面； ③若兩個平面垂直，那么垂直于其中一個平面的直線一定平行于另一個平面； ④若兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個平面． 則其中所有真命題的序號是________． 【導(dǎo)學(xué)號：56394061】 [解析]　兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線與另一平面一定沒有公共點，因此線面平行，①正確；同樣兩個平面平行，一直線與其中一個平面垂直，則它必垂直這個平面內(nèi)的任意直線，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，它也必垂直另一平

13、面內(nèi)的兩條相交直線，故這條直線與另一平面也垂直，②正確；兩平面垂直，垂直于其中一個平面的直線可能在另一平面內(nèi)(面面垂直性質(zhì)定理)，③錯誤；兩平面垂直時，它們的交線與兩平面都不垂直，④錯誤． [答案]　①② [規(guī)律方法]　解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全移植到立體幾何中． [舉一反三] 設(shè)a，b，c是空間三條直線，α，β是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不正確的是________．(填序

14、號) ①當(dāng)c⊥α?xí)r，若c⊥β，則α//β； ②當(dāng)b?α，a?α且c是a在α內(nèi)的射影時，若b⊥c，則a⊥b； ③當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥β； ④當(dāng)b?α且c?α?xí)r，若c//α，則b//c. ③　[①命題的逆命題為“當(dāng)c⊥α?xí)r，若α∥β，則c⊥β”，正確；②命題的逆命題為“當(dāng)b?α，a?α且c是a在α內(nèi)的射影時，若a⊥b，則b⊥c”，正確；③命題的逆命題為“當(dāng)b?α?xí)r，若α⊥β，則b⊥β”，錯誤；④命題的逆命題為“當(dāng)b?α且c?α?xí)r，若b∥c，則c∥α”，正確．] 空間中的線面位置關(guān)系 【例3】　(江蘇省2017屆高考押題試卷(二)數(shù)學(xué)試題)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

15、CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中點． (1)求證：BC1∥平面A1CD； (2)若點P在線段BB1上，且BP＝BB1，求證：AP⊥平面A1CD. 圖9－7 [證明]　(1)連接AC1，設(shè)與CA1交于O點，連接OD(圖略)． ∴直三棱柱ABC－A1B1C1中，O為AC1的中點，∵D是AB的中點， ∴在△ABC1中，OD∥BC1， 又∵OD?平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD. (2)由題意，設(shè)AB＝x，則BP＝x，AD＝x，A1A＝x， 由于＝＝， ∴△ABP∽△ADA1，可得∠BAP＝∠AA1D， ∵∠DA1A＋∠ADA1＝90°，可得：AP⊥A1D，

16、 又∵CD⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，CD?平面ABC，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，可得CD⊥平面ABB1A1， ∴CD⊥AP，又∵A1D∩CD＝D， ∴AP⊥平面A1CD. [規(guī)律方法]　(1)要證線面平行，先在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，或找一個經(jīng)過已知直線與已知平面相交的平面，找出交線，證明兩線平行． (2)要證線線平行，可考慮公理4或轉(zhuǎn)化為線面平行． (3)要證線面垂直可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，應(yīng)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化． [舉一反三] 如圖9－8所示，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB

17、的中點． (1)求證：DE∥平面BCP； (2)求證：四邊形DEFG為矩形； (3)是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由． 圖9－8 [解]　(1)證明：因為D，E分別是AP，AC的中點，所以DE∥PC. 又DE?平面BCP，所以DE∥平面BCP. (2)證明：因為D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF. 所以四邊形DEFG為平行四邊形． 又PC⊥AB，所以DE⊥DG. 所以四邊形DEFG為矩形． (3)存在點Q滿足條件．理由如下： 連接DF，EG，如圖所示，設(shè)Q為EG的中點， 由

18、(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG. 分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN. 與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點為EG的中點Q，且QM＝QN＝EG，所以Q為滿足條件的點. 空間中的面面位置關(guān)系 【例4】　(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三摸底考試)如圖9－9，正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE. (1)求證：AB∥平面CDE； (2)求證：平面ABCD⊥平面ADE. 圖9－9 [證明]　(1)正方形ABCD中，AB//CD， 又AB?平面CDE，CD?平

19、面CDE， ∴AB//平面CDE. (2)∵AE⊥平面CDE，且CD?平面CDE， ∴AE⊥CD， 又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD＝A，AE?平面ADE，AD?平面ADE， ∴CD⊥平面ADE， 又CD?平面ABCD， ∴平面ABCD⊥平面ADE. [規(guī)律方法]　線面、線線垂直與平行的位置關(guān)系在面面平行與垂直位置關(guān)系的證明中起著承上啟下的橋梁作用，依據(jù)線面、面面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵．證明面面平行主要依據(jù)判定定理，證明面面垂直時，關(guān)鍵是從現(xiàn)有直線中找一條直線與其中一個平面垂直，若圖中不存在這樣的直線應(yīng)借助添加中線、高線等方法解決．

20、 [舉一反三] (江蘇省南京市2017屆高考三模數(shù)學(xué)試題)如圖9－10，在三棱錐A－BCD中，E、F分別為BC，CD上的點，且BD∥平面AEF. (1)求證：EF∥平面ABD； (2)若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求證：平面AEF⊥平面ACD. 【導(dǎo)學(xué)號：56394062】 圖9－10 [證明]　(1)∵BD∥平面AEF，BD?平面BCD，平面BCD∩平面AEF＝EF， ∴BD∥EF，又BD?平面ABD，EF?平面ABD， ∴EF∥平面ABD. (2)∵AE⊥平面BCD，CD?平面BCD， ∴AE⊥CD， 由(1)可知BD∥EF，又BD⊥CD， ∴EF⊥CD，

21、 又AE∩EF＝E，AE?平面AEF，EF?平面AEF， ∴CD⊥平面AEF，又CD?平面ACD， ∴平面AEF⊥平面ACD. [第3步▕ 高考易錯明辨析] 1．概念不清，做題時想當(dāng)然導(dǎo)致出錯．這是一些中差生最常犯的錯 如圖9－11，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 cm，AD＝3 cm，AA1＝2 cm，則四棱錐A－BB1D1D的體積為________cm3. 圖9－11 [錯解]　設(shè)AC，BD的交點為O(圖略)，則四棱錐A－BB1D1D的體積V＝×SBB1D1D×AO，根據(jù)題意AC＝5 cm，所以AO＝，四棱錐A－BB1D1D的體積V＝×5×2×＝ c

22、m3. [錯解分析]　由于AO不垂直于面BB1D1D，四棱錐A－BB1D1D的體積不是×SBB1D1D×AO. [正解]　作AO⊥BD，垂足為O(圖略)，因為平面ABCD⊥平面BB1D1D.所以，AO⊥平面BB1D1D，所以四棱錐A－BB1D1D的高為AO，根據(jù)題意BD＝5 cm，所以AO＝，四棱錐A－BB1D1D的體積V＝×5×2×＝8 cm3. 2. 考綱要求學(xué)生要有一定的空間想象力，能根據(jù)圖形想象出直觀形象．學(xué)生往往由于空間感太差，考慮問題不全面，忽視一些細節(jié)之處，把圖形想錯 已知m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是________．(填序號)

23、①m⊥α，m⊥n?n∥α； ②α∥β，m?α，n?β?m∥n； ③m∥n，m⊥α?n⊥α； ④m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β. [錯解]　對①，想象為如下圖形，所以正確，填①. [錯解分析]　空間想象能力差，考慮問題不全面而導(dǎo)致出錯． [正解]　對①，直線有可能在平面內(nèi)，故錯；對②，只能說明直線m、n無公共點，它們還有可能為異面直線，故錯； 對③，圖形如下， 所以正確，填③. 對④，平面α、β有可能相交，故錯． 3．推理不嚴密，邏輯思維混亂導(dǎo)致出錯 如圖9－12，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．如圖，求證：平面PAC⊥平面PBC. 圖

24、9－12 [錯解]　因為PA垂直圓所在的平面，所以PA⊥AC.又因為AB是圓的直徑，C是圓上的點，所以BC⊥AC.所以平面PAC⊥平面PBC. [錯解分析]　證明任何一種位置關(guān)系，應(yīng)緊扣相應(yīng)的判定定理，要證兩個平面垂直，必須證明其中一個平面經(jīng)過另外一個平面的一條垂線．以上證明找到了PA⊥AC，BC⊥AC，但這并不能說明平面PAC⊥平面PBC. [正解]　由AB是圓的直徑可得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC. 又因為BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC. ———————

25、專家預(yù)測·鞏固提升——————— (對應(yīng)學(xué)生用書第43頁) 1．邊長為2 的正△ABC內(nèi)接于體積為4π的球，則球面上的點到△ABC的最大距離為________． 　[設(shè)M是△ABC的外心，半徑為r，設(shè)球心為O，球體半徑為R， 則V＝πR3＝4π，即R＝，在Rt△OMC中，2r＝， 則r＝，d＝＝＝，dmax＝d＋R＝＋＝.] 2．等邊三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為，此時四面體ABCD外接球體積為________. 【導(dǎo)學(xué)號：56394063】 圖9－13 　[根據(jù)題意可知三棱錐B－ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD，DC⊥DA，底面是直角三角形

26、，它的外接球就是它擴展為正三棱柱的外接球，球心在上下底面斜邊的中點連線的中點處，求出上下底面斜邊的中點連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑， R＝OB＝＝＝，∴V＝πR3＝π.] 3．在邊長為6 cm的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于B，構(gòu)成一個三棱錐(如圖9－14所示)． (1)在三棱錐上標(biāo)注出M、N點，并判別MN與平面 AEF的位置關(guān)系，并給出證明； (2)G是線段AB上一點，且＝λ·， 問是否存在 點G使得AB⊥平面EGF，若存在，求出λ的值； 若不存在，請說明理由； (3)求多面體E－AFNM的體積． 圖9－14 [解]　(1)因翻折后B、C、D重合，所以MN應(yīng)是△ABF的一條中位線，如圖所示． 則MN//平面AEF. 證明如下： ?MN//平面AEF. 4分 (2)存在G點使得AB⊥平面EGF，此時λ＝1. 因為?AB⊥平面EBF. 又G是線段AB上一點，且＝λ·， ∴ 當(dāng)點G與點B重合時AB⊥平面EGF，此時λ＝1. 8分 (3)因為AB⊥平面BEF， 且AB＝6，BE＝BF＝3， ∴VA－BEF＝·AB·S△BEF＝9， 又＝＝， VE－AFNM＝. 12分 14