（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)案 文

《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)案 文（35頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第十一章 統(tǒng)計(jì)與概率 第一節(jié)抽樣方法、用樣本估計(jì)總體 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.抽樣方法與統(tǒng)計(jì)圖表； 2.樣本的數(shù)字特征. 突破點(diǎn)(一)　抽樣方法與統(tǒng)計(jì)圖表 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 (1)定義： 一般地，從個(gè)體數(shù)為N的總體中逐個(gè)不放回地取出n個(gè)個(gè)體作為樣本(n＜N)，如果每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被取到，那么這樣的抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣． (2)最常用的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法． 2．系統(tǒng)抽樣 將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個(gè)部分中抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣． 3．分層抽樣 一般

2、地，當(dāng)總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾個(gè)部分，然后按各個(gè)部分在總體中所占的比實(shí)施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣，所分成的各個(gè)部分稱為“層”． 4．三種抽樣方法的比較 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 均為不放回抽樣，且抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等 從總體中逐個(gè)抽取 是后兩種方法的基礎(chǔ) 總體中的個(gè)數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體抽樣 分層抽樣 將總體分成幾

3、層，分層按比例進(jìn)行抽取 各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 5.作頻率分布直方圖的步驟 (1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖． 6．頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：連結(jié)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖． (2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線． 7．莖葉圖的優(yōu)點(diǎn) 莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是可以保留原始數(shù)據(jù)，而且

4、可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來(lái)方便. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 抽樣方法 類型(一)　簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 1．抽簽法的步驟 第一步，將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)； 第二步，將這N個(gè)號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上； 第三步，將號(hào)簽放在同一箱中，并攪拌均勻； 第四步，從箱中每次抽取1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取k次； 第五步，將總體中與抽取的號(hào)簽的編號(hào)一致的k個(gè)個(gè)體取出． 2．隨機(jī)數(shù)表法的步驟 第一步，將個(gè)體編號(hào)； 第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)開始； 第三步，從選定的數(shù)開始，按照一定抽樣規(guī)則在隨機(jī)數(shù)表中選取數(shù)字，取足滿足要求的數(shù)字就得到樣本的號(hào)碼． [例1]

5、　(1)以下抽樣方法中是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的序號(hào)是________． ①在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬(wàn)張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過(guò)隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)碼的后四位為2709的為三等獎(jiǎng)； ②某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格； ③某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見； ④用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)． (2)總體由編號(hào)為01，02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5

6、個(gè)個(gè)體的編號(hào)為________． 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 　　[解析]　(1)①②不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的；③不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w的個(gè)體有明顯的層次；④是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣． (2)由題意知前5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為08,02,14,07,01. [答案]　(1)④　(2)01 類型(二)　系統(tǒng)抽樣 系統(tǒng)抽樣的步驟 [例2]　(1)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查，將8

7、40人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為________． (2)湖南衛(wèi)視為了解觀眾對(duì)《我是歌手》的意見，準(zhǔn)備從502名現(xiàn)場(chǎng)觀眾中抽取10%進(jìn)行座談，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，則在進(jìn)行分組時(shí)，需剔除________個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為________． [解析]　(1)由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為＝20，每組抽取一人，因?yàn)榘麛?shù)個(gè)組，所以抽取個(gè)體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為(720－480)÷20＝12. (2)把502名觀眾平均分成50組，由于502除以50的商是10，余數(shù)是2，所以每組有10名觀眾，還剩2名觀眾，采用系統(tǒng)

8、抽樣的方法抽樣時(shí)，應(yīng)先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從502名觀眾中抽取2名觀眾，這2名觀眾不參加座談；再將剩下的500名觀眾編號(hào)為1,2,3，…，500，并均勻分成50段，每段含＝10個(gè)個(gè)體．所以需剔除2個(gè)個(gè)體，抽樣間隔為10. [答案]　(1)12　(2)2　10 [易錯(cuò)提醒] 用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，取k＝，即先從總體中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法剔除(N－nk)個(gè)個(gè)體，且剔除多余的個(gè)體不影響抽樣的公平性． 類型(三)　分層抽樣 進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解： (1)＝； (2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比． [例3]　(1)(201

9、7·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取________件． (2)(2018·東北三校聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝________. (3)某學(xué)校三個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參加一個(gè)小組)(單位：人). 籃球組 書畫組 樂(lè)器組 高一 45 30 a 高二 15 10 20

10、學(xué)校要對(duì)這三個(gè)小組的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個(gè)興趣小組的學(xué)生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為________． [解析]　(1)應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取 60×＝18(件)． (2)依題意得×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90. (3)由題意知＝，解得a＝30. [答案]　(1)18　(2)90　(3)30 [方法技巧] 分層抽樣的解題策略 (1)分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊． (2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性

11、相同． (3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣． (4)抽樣比＝＝.　　　 頻率分布直方圖和莖葉圖 類型(一)　頻率分布直方圖 [例4]　(1)(2018·揚(yáng)州市考前調(diào)研)隨著社會(huì)的發(fā)展，食品安全問(wèn)題漸漸成為社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)，為了提高學(xué)生的食品安全意識(shí)，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加食品安全知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)的頻率分布直方圖如下圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，若該校的學(xué)生總?cè)藬?shù)為3 000，則成績(jī)不超過(guò)60分的學(xué)生人數(shù)大約為________． (2)某地政府調(diào)查了工薪階層1 000人的月工資收入，并根據(jù)調(diào)

12、查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖，為了了解工薪階層對(duì)月工資收入的滿意程度，要用分層抽樣的方法從調(diào)查的1 000人中抽出100人做電話詢?cè)L，則(30,35](百元)月工資收入段應(yīng)抽出________人． [解析]　(1)由圖知，成績(jī)不超過(guò)60分的學(xué)生的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成績(jī)不超過(guò)60分的學(xué)生人數(shù)大約為0.3×3 000＝900. (2)月工資收入落在(30,35](百元)內(nèi)的頻率為1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，所以(30,35](百元)月工資收入段應(yīng)抽出100×0.15＝15(人)． [答案]　(

13、1)900　(2)15 [方法技巧] 1．繪制頻率分布直方圖時(shí)需注意的兩點(diǎn) (1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來(lái)檢驗(yàn)該表是否正確； (2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率． 2．與頻率分布直方圖計(jì)算有關(guān)的兩個(gè)關(guān)系式 (1)×組距＝頻率； (2)＝頻率，此關(guān)系式的變形為＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．　　 類型(二)　莖葉圖 1．莖葉圖的繪制需注意： (1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一； (2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)． 2．莖葉圖通常用來(lái)記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來(lái)分析單

14、組數(shù)據(jù)，也可以用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)．通過(guò)莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對(duì)稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等． [例5]　某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下． 品種A： 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454 品種B： 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397

15、,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖； (2)通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論． [解]　(1)畫出莖葉圖如圖所示： (2)通過(guò)觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差． [方法技巧] 莖葉圖問(wèn)題的求解策略 (1)由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計(jì)圖表問(wèn)題時(shí)，要充分對(duì)這個(gè)圖表提供的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或者是對(duì)某些問(wèn)題作出判斷． (2)莖

16、葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過(guò)莖葉圖數(shù)據(jù)求出樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.某工廠的質(zhì)檢人員對(duì)生產(chǎn)的100件產(chǎn)品，采用隨機(jī)數(shù)法抽取10件檢查，對(duì)100件產(chǎn)品采用下面的編號(hào)方法： ①1,2,3，…，100； ②001,002，…，100； ③00,01,02，…，99； ④01,02,03，…，100. 其中正確的序號(hào)是________． 解析：根據(jù)隨機(jī)數(shù)法編號(hào)可知，①④編號(hào)位數(shù)不統(tǒng)一． 答案：②③ 2.(2018·南京市高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150,150,400,300名

17、學(xué)生．為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)中抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為________． 解析：400×＝16. 答案：16 3.甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4 800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________． 解析：分層抽樣中各層的抽樣比相同．樣本中甲設(shè)備生產(chǎn)的有50件，則乙設(shè)備生產(chǎn)的有30件．在4 800件產(chǎn)品中，甲、乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)比為5∶3，所以乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的總數(shù)為×4 800＝1 800(件)． 答案：1 800 4.為

18、了了解本班學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)游戲的態(tài)度，高三(6)班計(jì)劃在全班60人中展開調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，班主任計(jì)劃采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取若干名學(xué)生進(jìn)行座談，為此先對(duì)60名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)為：01,02,03，…，60，已知抽取的學(xué)生中最小的兩個(gè)編號(hào)為03,09，則抽取的學(xué)生中最大的編號(hào)為________． 解析：由最小的兩個(gè)編號(hào)為03,09可知，抽取時(shí)的分段間隔是6.即抽取10名同學(xué)，其編號(hào)構(gòu)成首項(xiàng)為3，公差為6的等差數(shù)列，故最大編號(hào)為3＋9×6＝57. 答案：57 5.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示． 若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽

19、取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是________． 解析：35÷7＝5，因此可將編號(hào)為1～35的35個(gè)數(shù)據(jù)分成7組，每組有5個(gè)數(shù)據(jù)，在區(qū)間[139,151]上共有20個(gè)數(shù)據(jù)，分在20÷5＝4個(gè)小組中，每組取1人，共取4人． 答案：4 6.某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，則圖中x的值等于________． 解析：依題意，0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得 x＝0.018. 答案

20、：0.018 突破點(diǎn)(二)　樣本的數(shù)字特征 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 數(shù)字特征 定義與求法 優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn) 眾數(shù) 一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù) 眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，不受極端值的影響．但顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征 中位數(shù) 把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn) 平均數(shù) 如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)＝

21、平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低 2.標(biāo)準(zhǔn)差、方差 (1)標(biāo)準(zhǔn)差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝ . (2)方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)． (3)方差與標(biāo)準(zhǔn)差相比，都是衡量樣本數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，但方差因?yàn)閷?duì)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了平方運(yùn)算，夸大了樣本的偏差程度． 3．平均數(shù)、方差公式的推廣 若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx

22、1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a，方差為m2s2. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神”

23、 樣本的數(shù)字特征 1.用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似．實(shí)際應(yīng)用中，需先計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，分析平均水平，再計(jì)算方差(標(biāo)準(zhǔn)差)，分析穩(wěn)定情況． 2．若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差)；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)性比較方差(標(biāo)準(zhǔn)

24、差)的大?。? 考法(一)　與頻率分布直方圖交匯命題 [例1]　某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過(guò)w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)．從該市隨機(jī)調(diào)查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖． (1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？ (2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替．當(dāng)w＝3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)． [解]　(1)由用水量的頻率分布直方圖，知該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,

25、2]，(2,2.5]，(2.5,3]內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15. 所以該月用水量不超過(guò)3立方米的居民占85%，用水量不超過(guò)2立方米的居民占45%. 依題意，w至少定為3. (2)由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表如下： 組號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 分組 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27] 頻率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根據(jù)題意

26、，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為 4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)． 　[方法技巧] 頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系 (1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)； (2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的； (3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．　 考法(二)　與莖葉圖交匯命題[例2]　(1)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)，已知甲組數(shù)據(jù)的中位

27、數(shù)為17，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17.4，則x，y的值分別是________． (2)(2017·南京三模)如圖是甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則在這五場(chǎng)比賽中得分較為穩(wěn)定(方差較小)的那名運(yùn)動(dòng)員的得分的方差為________． [解析]　(1)甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17, 故y＝7， 乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝17.4，解得x＝7. (2)由莖葉圖知，得分較為穩(wěn)定的那名運(yùn)動(dòng)員應(yīng)該是乙，他在五場(chǎng)比賽中得分分別為8,9,10,13,15，所以他的平均得分為＝×(8＋9＋10＋13＋15)＝11，其方差為s2＝×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(

28、15－11)2]＝6.8. [答案]　(1)7,7　(2)6.8 [易錯(cuò)提醒] 在使用莖葉圖時(shí)，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個(gè)圖中數(shù)字的特點(diǎn)，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．　　 樣本數(shù)據(jù)與優(yōu)化決策 [例3]　甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均環(huán)數(shù) 8.3 8.8 8.8 8.7 方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4 從這四個(gè)人中選擇一人參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是________． [解析]　由題目表格中數(shù)據(jù)可知，丙平均環(huán)數(shù)最高，且方差最小，說(shuō)

29、明成績(jī)好，且技術(shù)穩(wěn)定，所以最佳人選是丙． [答案]　丙 [方法技巧] 利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問(wèn)題的依據(jù) (1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定． (2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.如圖是某學(xué)校舉行的運(yùn)動(dòng)會(huì)上七位評(píng)委為某體操項(xiàng)目打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為________． 解析：依題意，所剩數(shù)據(jù)的

30、平均數(shù)是80＋×(4×3＋6＋7)＝85，所剩數(shù)據(jù)的方差是×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6. 答案：85,1.6 2.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)缦卤?單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________． 解析：甲＝乙＝9，s＝×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝， s＝×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝＞s，

31、故甲更穩(wěn)定． 答案：甲 3.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中a的值； (2)設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由； (3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估

32、計(jì)x的值，并說(shuō)明理由． 解：(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的頻率分別為0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30. (2)由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為

33、300 000×0.12＝36 000. (3)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9. 所以，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)． 4.某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表： (1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差； (2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差． 解：(

34、1)由題可知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差是40－19＝21. (2)這20名工人年齡的莖葉圖如圖所示： (3)這20名工人年齡的平均數(shù)為＝(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30， ∴這20名工人年齡的方差為s2＝ (xi－)2＝＝＝12.6. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 　　 重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過(guò)高考 [練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力] 1．某學(xué)校為了了解某年高考數(shù)學(xué)的考試成績(jī)，在高考后對(duì)該校1 200名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽取120名考生作為樣本，記這

35、項(xiàng)調(diào)查為①；從10名家長(zhǎng)中隨機(jī)抽取3名參加座談會(huì)，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①，②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是___________________________． 解析：在①中，文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好；在②中，抽取的樣本個(gè)數(shù)較少，宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法． 答案：分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 2．(2018·江蘇省淮安市高三期中)某校高三年級(jí)500名學(xué)生中，血型為O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．為研究血型與色弱之間的關(guān)系，現(xiàn)用分層抽樣的方法從這500名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，則應(yīng)抽取________

36、名血型為AB的學(xué)生． 解析：在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為＝，所以血型為AB的學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為50×＝6. 答案：6 3．(2018·常州模擬)某地區(qū)有高中學(xué)校10所，初中學(xué)校30所，小學(xué)學(xué)校60所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取20所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康檢查，則應(yīng)抽取初中學(xué)校________所． 解析：抽樣比為＝20%，所以應(yīng)抽取初中學(xué)校30×20%＝6所． 答案：6 4．(2018·徐州市高三年級(jí)期中)已知一組數(shù)據(jù)：87，x,90,89,93的平均數(shù)為90，則該組數(shù)據(jù)的方差為________． 解析：由題意(87＋x＋90＋89＋93)＝90，得到x＝91

37、，所以方差s2＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4. 答案：4 [練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力] 一、填空題 1．(2017·蘇州暑假測(cè)試)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差為8，則d＝________. 解析：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以a1，a2，a3，a4，a5的均值為a3，所以方差為[(－2d)2＋(－d)2＋0＋d2＋(2d)2]＝2d2＝8，解得d＝±2. 答案：±2 2．(2018·南通模擬)如圖是甲、乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測(cè)試中得分的莖葉圖，則成績(jī)較穩(wěn)定(方差較小)的那一位

38、同學(xué)的方差為________． 解析：甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90；乙＝(87＋89＋90＋91＋93)＝90.s＝[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝(4＋1＋4＋1)＝2；s＝[(87－90)2]＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝(9＋1＋1＋9)＝4. 答案：2 3．如圖是依據(jù)某城市年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況調(diào)查而繪制的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在[30,35)，[35,40)，[40,45]的網(wǎng)民人數(shù)成遞減的等差數(shù)列，則年齡在[35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為_

39、_______． 解析：由題意得，年齡在[20,25)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.01×5＝0.05，[25,30)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.07×5＝0.35，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的網(wǎng)民人數(shù)成遞減的等差數(shù)列，則其頻率也成等差數(shù)列，又[30,45]的頻率為1－0.05－0.35＝0.6，則年齡在[35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.6÷3＝0.2. 答案：0.2 4．(2018·南通中學(xué)高三月考)一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)： 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標(biāo)

40、準(zhǔn)型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．則z的值為________． 解析：這個(gè)月生產(chǎn)的轎車共有100＋300＋150＋450＋z＋600＝1 600＋z(輛)，A類轎車400輛，所以＝，得z＝400. 答案：400 5．(2018·鹽城模擬)已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，則數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的標(biāo)準(zhǔn)差為________． 解析：＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，′＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)， s2＝[x＋x＋x＋x＋x－5()2]＝2，s＝， s′2＝[(

41、2x1)2＋(2x2)2＋(2x3)2＋(2x4)2＋(2x5)2－5(2)2]＝4s2，所以s′＝2s＝2. 答案：2 6．(2018·連云港模擬)如圖是一次攝影大賽上7位評(píng)委給某參賽作品打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖．記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91分．復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無(wú)法看清，若記分員計(jì)算無(wú)誤，則數(shù)字x應(yīng)該是________． 解析：分類計(jì)算，(1)當(dāng)x＝1時(shí)，＝(89＋91＋91＋92＋92)＝91; (2)當(dāng)x＝2時(shí)＝×(89＋91＋92＋92＋92)＝91.2，不合題意，所以x＝1. 答案：1 7．在樣本頻率分布直方圖中，共有11

42、個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他10個(gè)小長(zhǎng)方形面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為________． 解析：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可設(shè)中間一組的頻率為x，則x＋4x＝1，所以x＝0.2，故中間一組的頻數(shù)為160×0.2＝32. 答案：32 8．某公司300名員工2017年年終獎(jiǎng)金情況的頻率分布直方圖如圖所示，由圖可知，員工中年終獎(jiǎng)金在1.4～1.6萬(wàn)元的共有________人． 解析：由頻率分布直方圖知年終獎(jiǎng)金低于1.4萬(wàn)元或者高于1.6萬(wàn)元的頻率為(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年終獎(jiǎng)金在1.4～1.6萬(wàn)元間的頻率為1

43、－0.76＝0.24，所以300名員工中年終獎(jiǎng)金在1.4～1.6萬(wàn)元間的員工人數(shù)為300×0.24＝72. 答案：72 9．高一(1)班有學(xué)生52人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為4的樣本．已知6號(hào)，32號(hào)，45號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是________． 解析：由題意得各組間距為＝13，因?yàn)樵诘谝唤M中抽取的是6，所以以下各組依次應(yīng)該抽取：6＋13＝19,6＋2×13＝32,6＋3×13＝45，即另一個(gè)編號(hào)為19. 答案：19 10．(2018·泰州質(zhì)檢)甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績(jī)(單位：環(huán))如下表： 選手 第1輪

44、 第2輪 第3輪 第4輪 第5輪 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 則甲、乙兩位選手中成績(jī)最穩(wěn)定的選手的方差是________． 解析：甲＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，乙＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，s＝×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝×(0.04＋0.01＋0.01＋0.04)＝0.02，s＝×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－1

45、0)2＋(9.8－10)2]＝×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244.因?yàn)閟＜s，所以甲的成績(jī)最穩(wěn)定，其方差為0.02. 答案：0.02 二、解答題 11．(2017·北京高考)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖： (1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率； (2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)

46、； (3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例． 解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4. 所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)值為0.4. (2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 故樣本中分?jǐn)?shù)小于50的頻率為0.1， 故分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100×0.1－5＝5. 所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間

47、[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為 400×＝20. (3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為 (0.02＋0.04)×10×100＝60， 所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×＝30. 所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60， 女生人數(shù)為100－60＝40， 男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2. 所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為3∶2. 12．隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)應(yīng)用軟件層出不窮．現(xiàn)從使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機(jī)抽取50個(gè)商家，對(duì)它們的“平均送達(dá)時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如下： (1)試估計(jì)使

48、用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)及平均數(shù)； (2)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題： ①能否認(rèn)為使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時(shí)間”不超過(guò)40分鐘的商家達(dá)到75%? ②如果你要從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會(huì)選擇哪款？說(shuō)明理由． 解：(1)依題意可得，使用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)為55. 使用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)為15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40. (2)①使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時(shí)間”不超過(guò)40分鐘的商家的比例估計(jì)值為0

49、.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%＞75%. 故可以認(rèn)為使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時(shí)間”不超過(guò)40分鐘的商家達(dá)到75%. ②使用B款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)為15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40， 所以選B款訂餐軟件． 第二節(jié)　概　率 本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.隨機(jī)事件的頻率與概率； 2.古典概型與幾何概型； 3.互斥事件與對(duì)立事件. 突破點(diǎn)(一)　隨機(jī)事件的頻率與概率　 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．事件的分類 2．頻率和概率 (1)若

50、在相同的條件下，隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則稱為事件A發(fā)生的頻率；當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率可以作為隨機(jī)事件A的概率的近似值． (2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，在相同的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們把這個(gè)常數(shù)稱為事件A的概率，記作P(A). 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 隨機(jī)事件的頻率與概率 事件A發(fā)生的頻率是利用頻數(shù)m除以試驗(yàn)總次數(shù)n所得到的值，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它在A的概率附近擺動(dòng)幅度越來(lái)越小，即概率是頻率的穩(wěn)定值，因此在試驗(yàn)次數(shù)足夠的情況下，給出不同事件發(fā)生的次數(shù)，可以利用頻率來(lái)估計(jì)相應(yīng)事件

51、發(fā)生的概率． [典例]　(2018·湖北七市聯(lián)考)某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1 000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者進(jìn)行調(diào)查．這1 000名購(gòu)物者2016年網(wǎng)上購(gòu)物金額(單位：萬(wàn)元)均在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，樣本分組為：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，購(gòu)物金額的頻率分布直方圖如下： 電子商務(wù)公司決定給購(gòu)物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購(gòu)物金額關(guān)系如下： 購(gòu)物金額分組 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9] 發(fā)放金額 50 100 150 200 (1)

52、求這1 000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)； (2)以這1 000名購(gòu)物者購(gòu)物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率，求一個(gè)購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率． [解]　(1)購(gòu)物者的購(gòu)物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表： x 0.3≤x＜0.5 0.5≤x＜0.6 0.6≤x＜0.8 0.8≤x≤0.9 y 50 100 150 200 頻率 0.4 0.3 0.28 0.02 這1 000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為： ＝96. (2)由獲得優(yōu)惠券金額y與購(gòu)物金額x的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由(1)有P(y＝150)＝P(0.6≤x＜0.8)＝0.28

53、，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，從而，獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率為P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3. 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1．某超市隨機(jī)選取1 000位顧客，記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購(gòu)買，“×”表示未購(gòu)買. 商品 顧客人數(shù)　 　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98

54、× √ × × (1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率； (2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率； (3)如果顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？ 解：(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時(shí)購(gòu)買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率可以估計(jì)為＝0.2. (2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1 000位顧客中有100位顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、乙、丙，其他顧客最多購(gòu)買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率可以估計(jì)為＝0.3. (3)與(1)同理，可得： 顧客同時(shí)購(gòu)買甲

55、和乙的概率可以估計(jì)為＝0.2， 顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率可以估計(jì)為＝0.6， 顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率可以估計(jì)為＝0.1. 所以，如果顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買丙的可能性最大． 2．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下： 所用時(shí)間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率； (2)分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各

56、時(shí)間段內(nèi)的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑． 解：(1)共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 用頻率估計(jì)概率，可得所求概率為0.44. (2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得所求各頻率為 所用時(shí)間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1

57、(3)記事件A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站； 記事件B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，故甲應(yīng)選擇L1； P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P(B2)＞P(B1)，故乙應(yīng)選擇L2. 突破點(diǎn)(二)　古典概型與幾何概型　 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．基本事件 在1次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件．基本事件的特

58、點(diǎn)：(1)任何兩個(gè)基本事件都是不可能同時(shí)發(fā)生的；(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的． 2．古典概型 具有以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型： (1)所有的基本事件只有有限個(gè)； (2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的． 3．古典概型的概率公式 如果1次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是，如果某個(gè)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，則事件A發(fā)生的概率為： P(A)＝＝. 4．幾何概型的定義 設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件A

59、的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn)，這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與d 的測(cè)度(長(zhǎng)度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無(wú)關(guān)．我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型． 5．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 6．幾何概型的概率公式 P(A)＝. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 古典概型 古典概型的概率計(jì)算往往與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合緊密，解決問(wèn)題的一般步驟如下： 第一步，閱讀題目，判斷試驗(yàn)是否為古典概型，若滿足有限性和等可能性，則進(jìn)行下一步． 第二步，在理解題意

60、的基礎(chǔ)上，若基本事件的個(gè)數(shù)較少，可用列舉法、列表法或樹狀圖法將基本事件一一列出，求出基本事件的總數(shù)n，并在這些基本事件中找出題目要求的事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m. 第三步，利用古典概型的概率公式求出事件的概率． [例1]　(1)(2017·蘇北三市三模)現(xiàn)有三張識(shí)字卡片，分別寫有“中”、“國(guó)”、“夢(mèng)”這三個(gè)字．將這三張卡片隨機(jī)排序，則能組成“中國(guó)夢(mèng)”的概率是________. (2)(2018·蘇州高三暑假測(cè)試)有五條線段，其長(zhǎng)度分別為2,3,4,5,7.現(xiàn)任取三條，則這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率是________． [解析]　(1)把這三張卡片排序有“中”“國(guó)”“夢(mèng)”，“中”“

61、夢(mèng)”“國(guó)”，“國(guó)”“中”“夢(mèng)”，“國(guó)”“夢(mèng)”“中”，“夢(mèng)”“中”“國(guó)”，“夢(mèng)”“國(guó)”“中”，共計(jì)6種，能組成“中國(guó)夢(mèng)” 的只有1種，概率為. (2)從長(zhǎng)度分別為2,3,4,5,7的五條線段中任取三條，有(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,7)，(2,4,5)，(2,4,7)，(2,5,7)，(3,4,5)，(3,4,7)，(3,5,7)，(4,5,7)共10個(gè)基本事件，記“這三條線段可以構(gòu)成三角形”為事件A，則事件A包含了(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，(3,5,7)，(4,5,7)共5個(gè)基本事件，所以這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率是. [答案]　(1)　(2) [

62、方法技巧] 1．古典概型計(jì)算三步曲 第一，本試驗(yàn)是不是等可能的； 第二，本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)； 第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個(gè)． 2．確定基本事件的方法 (1)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時(shí)，可列舉計(jì)算； (2)列表法、樹狀圖法．　　　 幾何概型 　　[例2]　(1)在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形的面積大于20 cm2的概率為________． (2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點(diǎn)M，則AM＜AC的概率為________． (3)

63、如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________． (4)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． [解析]　(1)設(shè)|AC|＝x，則|BC|＝12－x，所以x(12－x)＞20，解得2＜x＜10，故所求概率P＝＝. (2)過(guò)點(diǎn)C作CN交AB于點(diǎn)N，使AN＝AC，如圖所示．顯然當(dāng)射線CM處在∠ACN內(nèi)時(shí)，AM＜AC. 又

64、∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率為P＝＝. (3)因?yàn)閒(x)＝B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為×3×1＝，故P＝＝. (4)正方體的體積為：2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為：×πr3＝×π×13＝π，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：1－＝1－. [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)1－ [方法技巧] 1．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，可直接用概率的計(jì)算公式求解． 2．與角

65、度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段．如本例中的第(2)題極易求錯(cuò)． 3．與面積有關(guān)的幾何概型 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．　　 4．與體積有關(guān)的幾何概型 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求. 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)

66、位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b＜c時(shí)稱為“凹數(shù)”(如213,312)等．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是________． 解析：由1,2,3組成的三位數(shù)有123,132,213,231,312,321，共6個(gè)；由1,2,4組成的三位數(shù)有124,142,214,241,412,421，共6個(gè)；由1,3,4組成的三位數(shù)有134,143,314,341,413,431，共6個(gè)；由2,3,4組成的三位數(shù)有234,243,324,342,423,432，共6個(gè)．所以共有6＋6＋6＋6＝24個(gè)三位數(shù)．當(dāng)b＝1時(shí)，有214,213,314,412,312,413，共6個(gè)“凹數(shù)”；當(dāng)b＝2時(shí)，有324,423，共2個(gè)“凹數(shù)”．故這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝＝. 答案： 2.將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為________． 解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36