中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題六 二次函數(shù)的綜合探究（壓軸題）類型5 針對(duì)訓(xùn)練

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1、中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題六 二次函數(shù)的綜合探究（壓軸題）類型5 針對(duì)訓(xùn)練 1．對(duì)于直線l1：y＝ax＋b(a＜0，b＞0)，有如下定義：我們把直線l2：y＝－(x＋b)稱為它的“姊線”．若l1與x，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，l2與x，y軸分別相交于C，D兩點(diǎn)，我們把經(jīng)過點(diǎn)A，B，C的拋物線C叫做l1的“母線”． (1)若直線l1：y＝ax＋b(a＜0，b＞0)的“母線”為C：y＝－x2－x＋4，求a，b的值； (2)如圖，若直線l1：y＝mx＋1(m＜0)，G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM，若OM＝，求出l1的“姊線”l2與“母線”C的

2、函數(shù)解析式； (3)將l1：y＝－3x＋3的“姊線”繞著D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到新的直線l3：y＝kx＋n，若點(diǎn)P(x，y1)與點(diǎn)Q(x，y2)分別是“母線”C與直線l3上的點(diǎn)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|y1－y2|≤3，求k的取值范圍． 　　 解：(1)對(duì)于拋物線y＝－x2－x＋4，令x＝0，得到y(tǒng)＝4，∴B(0,4)， 令y＝0，得到－x2－x＋4＝0，解得x＝－4或2，∴A(2,0)，C(－4,0)． ∵y＝ax＋b的圖象過點(diǎn)A，B， ∴解得 (2)如答圖所示，連接OG，OH. ∵點(diǎn)G，H為斜邊中點(diǎn)，∴OG＝AB，OH＝CD. ∵l1：y＝mx＋1，∴l(xiāng)1的“姊線”l2為y＝－(x＋1)，

3、 ∴B(0,1)，A(－，0)，D(－1,0)，C(0，－)， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD， ∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO，∴OG＝OH. ∵OG＝GB，OH＝HC， ∴∠GOB＝∠ABO，∠HOC＝∠OCD. ∵∠ODC＋∠OCD＝90°，∴∠ABO＋∠OCD＝90°， ∴∠GOB＋∠HOC＝90°，∴∠HOG＝90°， ∴OG⊥OH， ∴△OGH為等腰直角三角形． ∵點(diǎn)M為GH中點(diǎn)，∴△OMG為等腰直角三角形， ∴OG＝OM＝，∴AB＝2OG＝， ∴OA＝＝， ∴A(，0)，∴C(0，)，D(－1,0)． ∴l(xiāng)1

4、的“姊線”l2的函數(shù)解析式為y＝x＋，“母線”C的函數(shù)的解析式為y＝－3x2－2x＋1. (3)l1：y＝－3x＋3的“姊線”的解析式為y＝x＋1，“母線”C的解析式為y＝－x2－2x＋3， ∴直線l3：y＝kx＋1， ∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|y1－y2|≤3， 不妨設(shè)x＝1，則y1＝0，y2＝k＋1，由題意k＋1＝±3，解得k＝2或－4， ∴滿足條件的k是取值范圍為－4≤k≤2. 2．我們定義：兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：y＝2x2＋4x－5的友好同軸二次函數(shù)為y＝－x2－2x－5. (1)請(qǐng)你分別寫出y＝－x2，

5、y＝x2＋x－5的友好同軸二次函數(shù)； (2)滿足什么條件的二次函數(shù)沒有友好同軸二次函數(shù)？滿足什么條件的二次函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)是它本身？ (3)如圖，二次函數(shù)L1：y＝ax2－4ax＋1與其友好同軸二次函數(shù)L2都與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，C分別在L1，L2上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)均為m(0＜m＜2)，它們關(guān)于L1的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為B′，C′，連接BB′，B′C′，C′C，CB. ①若a＝3，且四邊形BB′C′C為正方形，求m的值； ②若m＝1，且四邊形BB′C′C的鄰邊之比為1∶2，直接寫出a的值． 解：(1)∵1－(－)＝， ∴函數(shù)y＝－x2的友好同軸二次函數(shù)為y＝x2. ∵1

6、－＝，1×(÷)＝2， ∴函數(shù)y＝x2＋x－5的友好同軸二次函數(shù)為y＝x2＋2x－5. (2)∵1－1＝0，∴二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒有友好同軸二次函數(shù)． ∵1÷2＝，∴二次項(xiàng)系數(shù)為的二次函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)是它本身． (3)∵二次函數(shù)L1：y＝ax2－4ax＋1的對(duì)稱軸為直線x＝－＝2， ∴其友好同軸二次函數(shù)L2：y＝(1－a)x2－4(1－a)x＋1. ①∵a＝3，∴二次函數(shù)L1：y＝ax2－4ax＋1＝3x2－12x＋1，二次函數(shù)L2：y＝(1－a)x2－4(1－a)x＋1＝－2x2＋8x＋1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,3m2－12m＋1)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，－2m2＋8m＋1

7、)， ∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(4－m,3m2－12m＋1)， 點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(4－m，－2m2＋8m＋1)， ∴BC＝－2m2＋8m＋1－(3m2－12m＋1)＝－5m2＋20m，BB′＝4－m－m＝4－2m. ∵四邊形BB′C′C為正方形， ∴BC＝BB′，即－5m2＋20m＝4－2m， 解得m1＝，m2＝(不合題意，舍去)，∴m的值為. ②當(dāng)m＝1時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－3a＋1)， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,3a－2)， ∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(3，－3a＋1)， 點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(3,3a－2)， ∴BC＝|3a－2－(－3a＋1)|＝|6a－3|， BB′＝3－1＝2. ∵四邊形

8、BB′C′C的鄰邊之比為1∶2， ∴BC＝2BB′或BB′＝2BC，即|6a－3|＝2×2或2＝2|6a－3|，解得a1＝－，a2＝，a3＝，a4＝，∴a的值為－，，或. 3．在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：已知兩個(gè)函數(shù)，如果對(duì)于任意的自變量x，這兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值記為y1，y2，都有點(diǎn)(x，y1)和(x，y2)關(guān)于點(diǎn)(x，x)中心對(duì)稱(包括三個(gè)點(diǎn)重合時(shí))，由于對(duì)稱中心都在直線y＝x上，所以稱這兩個(gè)函數(shù)為關(guān)于直線y＝x的特別對(duì)稱函數(shù)．例如：y＝x和y＝x為關(guān)于直線y＝x的特別對(duì)稱函數(shù)． (1)若y＝3x＋2和y＝kx＋t(k≠0)為關(guān)于直線y＝x的特別對(duì)稱函數(shù)，點(diǎn)M(1，m)是y＝3

9、x＋2上一點(diǎn)． ①點(diǎn)M(1，m)關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，－3). ②求k，t的值． (2)若y＝3x＋n的圖象和它的特別對(duì)稱函數(shù)的圖象與y軸圍成的三角形面積為2，求n的值． (3)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d為關(guān)于直線y＝x的特別對(duì)稱函數(shù)． ①直接寫出a，b的值． ②已知點(diǎn)P(－3,1)，點(diǎn)Q(2,1)，連接PQ，直接寫出y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍． 解：(1)①∵點(diǎn)M(1，m)是y＝3x＋2上一點(diǎn)， ∴m＝5，∴M(1,5)， ∴點(diǎn)M關(guān)于(1,1)中心對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－3)． ②∵

10、y＝3x＋2和y＝kx＋t(k≠0)為關(guān)于直線y＝x的特別對(duì)稱函數(shù)，∴＝x， ∴(1＋k)x＋(t＋2)＝0，∴k＝－1，t＝－2. (2)設(shè)y＝3x＋n的特別對(duì)稱函數(shù)為y＝m′x＋n′， ∴＝x，∴(1＋m′)x＋n＋n′＝0，∴m′＝－1，n′＝－n， ∴y＝3x＋n的特別對(duì)稱函數(shù)為y＝－x－n， 聯(lián)立得解得 ∵y＝3x＋n的圖象和它的特別對(duì)稱函數(shù)的圖象與y軸圍成的三角形面積為2，∴|n－(－n)|×|－n|＝2，∴n＝±2. (3)①∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d為關(guān)于直線y＝x的特別對(duì)稱函數(shù)， ∴＝x， ∴(a＋1)x2＋(b－2)x＋c＋d＝0， ∴

11、a＝－1，b＝2，c＝－d； ②由①知，a＝－1，b＝2，c＝－d， ∴二次函數(shù)y＝－x2＋2x－d和y＝x2＋d， ∴這兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1和x＝0. ∵點(diǎn)P(－3,1)，點(diǎn)Q(2,1)，當(dāng)d＜0時(shí)，如答圖1， 當(dāng)拋物線C2：y＝x2＋d恰好過點(diǎn)P(－3,1)時(shí)，即9＋d＝1，d＝－8， 當(dāng)拋物線C1：y＝－x2＋2x－d恰好過點(diǎn)Q(2,1)時(shí)，即－4＋4－d＝1，∴d＝－1， y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍為－8≤d＜－1， 　　 如答圖2，當(dāng)0≤d＜1時(shí)，拋物線C2與線段PQ有兩個(gè)交點(diǎn)，而拋物線C1與線段PQ沒有交點(diǎn)， ∴y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍為0≤d＜1， 即：y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍為－8≤d＜－1或0≤d＜1.