四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 第3課時 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步測試 新人教A版選修2-1

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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 第3課時 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步測試 新人教A版選修2-1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知橢圓+=1(a>5)的兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB過點(diǎn)F1,則△ABF2的周長為(　　). A.10 B.20 C.2 D.4 【解析】因?yàn)閍>5,所以該橢圓焦點(diǎn)在x軸上. 又因?yàn)閨F1F2|=8,所以a2=b2+c2=41. 所以△ABF2的周長為4a=4. 【答案】D 2.橢圓+=1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2,N是MF1的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|ON|的值為(　　). A.4 B.2 C.8　

2、D. 【解析】由橢圓的定義,知|MF1|+|MF2|=2a=10, ∴|MF2|=10-2=8. 又O為F1F2的中點(diǎn),N為MF1的中點(diǎn), ∴ON為△MF1F2的中位線,∴|ON|=|MF2|=4. 【答案】A 3.已知橢圓x2sin α-y2cos α=1 (0≤α<2π)的焦點(diǎn)在y軸上,則α的取值范圍是(　　). A.　　　　　　　　　 B. C. D. 【解析】因?yàn)闄E圓x2sin α-y2cos α=1 (0≤α<2π)的焦點(diǎn)在y軸上,所以所以<α<. 【答案】D 4.橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1(-4,0),F2(4,0),點(diǎn)P在橢圓上,若△PF1F2的面積的最大值為

3、12,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　). A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 【解析】若△PF1F2的面積的最大值為12,則×8×b=12,所以b=3,a=5,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 【答案】A 5.已知方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是　　　　.? 【解析】由題意得解得1

4、a2=52. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 【答案】+=1 7.已知點(diǎn)P(6,8)是橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn),F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的兩個焦點(diǎn),若·=0.試求: (1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)sin ∠PF1F2的值. 【解析】(1)因?yàn)椤?0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,解得c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0), 所以2a=|PF1|+|PF2|=+=12,所以a=6,b2=80. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)因?yàn)镻F1⊥PF2, 所以=|PF1|·|PF2|=|F1F2|·yP=80,所以|PF1|·|PF2|=

5、160. 又因?yàn)閨PF1|+|PF2|=12,且點(diǎn)P(6,8)在第一象限內(nèi),所以|PF2|=4, 所以sin ∠PF1F2===. 拓展提升(水平二) 8.已知P為橢圓+=1上的點(diǎn),F1,F2為其兩個焦點(diǎn),則使∠F1PF2=90°的點(diǎn)P有(　　). A.4個　　　　 B.2個　　　　 C.1個　　　　 D.0個 【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),由·=0,得(x+2)(x-2)+y2=0.因?yàn)?=1,所以x2=-32,無意義,故不存在使∠F1PF2=90°的點(diǎn)P. 【答案】D 9.在△ABC中,點(diǎn)B(-2,0),C(2,0),A(x,y),給出△ABC滿足的條件,就能得到動點(diǎn)A的軌跡方

6、程,下表給出了一些條件及方程: 條件 方程 ①△ABC的周長為10 C1:y2=25 ②△ABC的面積為10 C2:x2+y2=4(y≠0) ③△ABC中,∠A=90° C3:+=1(y≠0) 則滿足條件①②③的點(diǎn)A的軌跡方程按順序分別是(　　). A.C3,C1,C2 B.C2,C1,C3 C.C1,C3,C2 D.C3,C2,C1 【解析】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, 因?yàn)锽(-2,0),C(2,0), 若①△ABC周長為10,則|AB|+|AC|=6>4=|BC|, 所以點(diǎn)A的軌跡為以B,C為焦點(diǎn),長軸長為6的橢圓(去除與x軸的交點(diǎn)),方程為+=1(y

7、≠0); 若②△ABC的面積為10,設(shè)A到BC所在直線距離為d,則×|BC|×d=10,即×4d=10,d=5. 所以|y|=5,y2=25,所以點(diǎn)A的軌跡方程為y2=25; 若③△ABC中,∠A=90°,則|OA|=2,即=2,x2+y2=4(y≠0). 所以滿足條件①②③的點(diǎn)A的軌跡方程按順序分別是C3,C1,C2. 【答案】A 10.已知橢圓E:+(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為　　　　.? 【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在橢圓上, ∴ ①-②,得+=0,即=-.

8、∵AB的中點(diǎn)為(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而=kAB==,∴=. 又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9. ∴橢圓E的方程為+=1. 【答案】+=1 11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,P是動點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-. (1)求動點(diǎn)P的軌跡方程. (2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N,問:是否存在點(diǎn)P,使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1). 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)

9、,由題意得·=-, 化簡得x2+3y2=4(x≠±1). 故動點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1). (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(3,yM),(3,yN), 則直線AP的方程為y-1=(x+1), 直線BP的方程為y+1=(x-1), 令x=3,得yM=,yN=, 所以△PMN的面積S△PMN=|yM-yN|(3-x0)=, 又直線AB的方程為x+y=0,|AB|=2, 點(diǎn)P到直線AB的距離d=, 所以△PAB的面積S△PAB=|AB|·d=|x0+y0|, 當(dāng)S△PAB=S△PMN時,得|x0+y0|=, 又|x0+y0|≠0,所以(3-x0)2=|-1|,解得x0=. 又因?yàn)?3=4,所以y0=±. 故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為.