2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第04節(jié) 空間中的垂直關(guān)系 Word版含答案

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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第04節(jié) 空間中的垂直關(guān)系 Word版含答案 考點(diǎn) 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 直線、平面 垂直的判 定與性質(zhì) xx·全國(guó)卷Ⅲ·T10·5分 線面垂直的判定 直觀想象 邏輯推理 xx·全國(guó)卷Ⅰ·T18·12分 線面垂直的證明與體積的計(jì)算 xx·全國(guó)卷Ⅰ·T18·12分 面面垂直的證明與側(cè)面積的計(jì)算 命題分析 從近幾年高考來(lái)看，線面垂直是必考點(diǎn)，常與體積、距離、側(cè)面積等綜合考查，考查邏輯推理和轉(zhuǎn)化的思想方法，難度適中. 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定 定理 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交

2、直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質(zhì) 定理 如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面那么這兩條直線平行 ?a∥b 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定 定理 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 ?β⊥α 性質(zhì) 定理 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面 ?AB⊥α 二面角 的定義 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角．這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面 二面角的度 量——二面 角的平面角 以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分

3、別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角 A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件　　　 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M的無(wú)數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分條件． 4．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________． 解析：∵PC⊥平面ABC， ∴PC垂直于直線AB，BC，AC； ∵AB⊥AC，AB⊥PC，A

4、C∩PC＝C， ∴AB⊥平面PAC， ∴與AP垂直的直線是AB. 答案：AB，BC，AC　AB 5．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對(duì)． 解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7對(duì)． 答案：7 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) [明技法] 　判定線面垂直的四種方法 [提能力] 【典例】 (xx·全國(guó)卷Ⅱ改編)如圖，菱形

5、ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝. 求證：D′H⊥平面ABCD. 證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF. 因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 由EF∥AC得＝＝. 所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3. 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF平面ABCD， 所以D′H⊥平面ABCD. [刷好題

6、] 如圖，在三棱錐P－ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC. (1)若AB⊥BC，且CP⊥PB，求證：CP⊥PA； (2)若過(guò)點(diǎn)A作直線l⊥平面ABC，求證：l∥平面PBC. 證明：(1)因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC. 因?yàn)镃P平面PBC，所以CP⊥AB. 又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，AB平面PAB，PB平面PAB，所以CP⊥平面PAB. 又PA平面PAB，所以CP⊥PA. (2)在平面PBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D. 因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC

7、＝BC，PD平面PBC，所以PD⊥平面ABC. 又l⊥平面ABC，所以l∥PD. 因?yàn)閘平面PBC，PD平面PBC， 所以l∥平面PBC. 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) [明技法] 1．判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定義； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)． 2．在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． [提能力] 【典例】 菱形ABCD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，F(xiàn)D⊥平面ABCD，F(xiàn)D＝. (1)求證：EF∥平面ABCD； (

8、2)求證：平面ACF⊥平面BDF. 證明：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，連接HD， ∴EH＝. ∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE， 平面ABCD∩平面BCE＝BC， ∴EH⊥平面ABCD， 又∵FD⊥平面ABCD，，F(xiàn)D＝， ∴FD∥EH，F(xiàn)D＝EH. ∴四邊形EHDF為平行四邊形．∴EF∥HD. ∵EF平面ABCD，HD平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)∵FD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴FD⊥AC， 又四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， 又FD∩BD＝D，∴AC⊥平面FBD， 又AC平面ACF，從而平面ACF⊥平

9、面BDF. [刷好題] 　(xx·濟(jì)寧月考)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且平面PAC⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA＝PC，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°. (1)求證：PB∥平面ACE； (2)求證：平面PBC⊥平面PAC. 證明：(1)連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OE， ∵底面ABCD是平行四邊形，∴O為BD中點(diǎn)， 又E為PD中點(diǎn)，∴OE∥PB， 又OE平面ACE，PB平面ACE， ∴PB∥平面ACE. (2)∵PA＝PC，O為AC中點(diǎn)，∴PO⊥AC， 又平面PAC⊥平面ABCD， 平面PAC∩平面ABCD＝AC，PO平

10、面PAC， ∴PO⊥平面ABCD， 又BC平面ABCD，∴PO⊥BC. 在△ABC中，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°， ∴AC＝ ＝＝， ∴AC2＝AB2－BC2，∴BC⊥AC. 又PO平面PAC，AC平面PAC，PO∩AC＝O， ∴BC⊥平面PAC， 又BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC. 空間位置關(guān)系的綜合問(wèn)題 [明技法] 空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化路線圖 線線平行(垂直)、線面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空間中三種基本平行(垂直)關(guān)系，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下： [提能力] 【典例】 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面

11、ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說(shuō)明理由． (1)證明：因?yàn)镻C⊥平面ABCD，DC平面ABCD. 所以PC⊥DC. 又因?yàn)镈C⊥AC，且PC∩AC＝C， 所以DC⊥平面PAC. (2)證明：因?yàn)锳B∥DC，DC⊥AC， 所以AB⊥AC. 因?yàn)镻C⊥平面ABCD， 所以PC⊥AB.又因?yàn)镻C∩AC＝C， 所以AB⊥平面PAC.又AB平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解：棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA∥平

12、面CEF.理由如下： 如圖，取PB中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF. 又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA. 又因?yàn)镻A平面CEF，且EF平面CEF， 所以PA∥平面CEF. [刷好題] 　(xx·濰坊模擬)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖(2)中△A1BE的位置，得到四棱錐A1－BCDE. (1)證明：CD⊥平面A1OC； (2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1－BCDE的體積為36，求a的值． (1)證明：在題圖(1)中，因?yàn)锳B＝BC＝AD＝a， E是AD的中點(diǎn)，∠BAD＝，所以BE⊥AC. 即在題圖(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 從而BE⊥平面A1OC. 又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC. (2)解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE， 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE， 又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱錐A1－BCDE的高． 由題圖(1)知，A1O＝AO＝AB＝a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1－BCDE的體積為V＝S·A1O＝×a2×a＝a3. 由a3＝36，得a＝6.