（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：壓軸大題突破練（二）直線與圓錐曲線（2）理

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1、（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：壓軸大題突破練（二）直線與圓錐曲線（2）理 1．(2018·洛陽模擬)已知拋物線C：y＝－x2，點(diǎn)A，B在拋物線上，且橫坐標(biāo)分別為－，，拋物線C上的點(diǎn)P在A，B之間(不包括點(diǎn)A，點(diǎn)B)，過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q. (1)求直線AP的斜率k的取值范圍； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 解　(1)由題意可知A，B， 設(shè)P(xP，－x)，－

2、橫坐標(biāo)為xQ＝， |PQ|＝(xQ－xP) ＝ ＝， |PA|＝＝(1－k)， 所以|PA|·|PQ|＝(1－k)3(1＋k)， 令f(x)＝(1－x)3(1＋x)，－10， 當(dāng)－b>0)的焦距為2c，離心率為，圓O：x2＋y2＝c2，A1，A2是橢圓的左、右頂點(diǎn)，AB是圓O

3、的任意一條直徑，△A1AB面積的最大值為2. (1)求橢圓C及圓O的方程； (2)若l為圓O的任意一條切線，l與橢圓C交于兩點(diǎn)P，Q，求|PQ|的取值范圍． 解　(1)設(shè)B點(diǎn)到x軸距離為h， 則＝＝2··|A1O|·h＝a·h， 易知當(dāng)線段AB在y軸時(shí)， hmax＝|BO|＝c，∴＝a·c＝2， ∵e＝＝， ∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝， ∴橢圓C的方程為＋＝1，圓O的方程為x2＋y2＝1. (2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求得|PQ|＝3； ②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m， ∵直線為圓的切線， ∴d＝＝1， ∴m2＝k2＋1， 聯(lián)立

4、 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 判別式Δ＝48(3k2＋2)>0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得 ∴弦長|PQ|＝|x1－x2| ＝， 令t＝4k2＋3≥3， 則|PQ|＝·∈. 綜上，|PQ|∈. 3．(2018·江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸為MN，點(diǎn)P(4,0)滿足·＝15. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與橢圓交于點(diǎn)A，B，是否存在常數(shù)λ，使得·＋λ·為定值？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解　(1)·＝(－4，b)·(－4，－b)＝16－b2＝15， 所以b＝1

5、， 又＝＝，所以a2＝4， 從而橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)l不為x軸時(shí)， 設(shè)l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 聯(lián)立l與C的方程可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝， ·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[(x1－4)(x2－4)＋y1y2] ＝(1＋λ)(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16 ＝＋16. 因?yàn)椤ぃ恕槎ㄖ担? 所以＝， 解得λ＝，此時(shí)定值為. 當(dāng)l為x軸時(shí)，A(－2,0)，B(2,0)． ·＋λ·＝－4＋·12＝. 綜上，存在λ＝，使得·＋λ·為定值. 4．(2018·宿州質(zhì)

6、檢)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e＝，以橢圓C的長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長為4. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在直線l0：x＝x0(x0>2)，使得A，B到直線l0的距離dA，dB滿足＝恒成立，若存在，求出x0的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解　(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， ∵＝，∴c＝a， 又∵4＝4， ∴a2＋b2＝5，由b2＝a2－c2＝a2， 解得a＝2，b＝1，c＝. ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)若直線l的斜率不存在， 則直線l0為任意的x＝x0(

7、x0>2)都滿足要求； 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝k(x－1)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令x1>1>x2)， 則dA＝x0－x1，dB＝x0－x2， |PA|＝(x1－1)，|PB|＝(1－x2)， ∵＝， ∴＝ ＝， 解得x0＝. 由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0， x1＋x2＝，x1x2＝， x0＝＝4. 綜上可知，存在直線l0：x＝4，使得A，B到直線l0的距離dA，dB滿足＝恒成立． 5．(2018·四省大聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F(1,0)，過直線l：x＝2左側(cè)的動(dòng)點(diǎn)P作PH⊥l于點(diǎn)H，∠HPF的角平

8、分線交x軸于點(diǎn)M，且|PH|＝|MF|，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線Γ. (1)求曲線Γ的方程； (2)過點(diǎn)F作直線m交曲線Γ于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在l上，且BC∥x軸，試問：直線AC是否恒過定點(diǎn)？請(qǐng)說明理由． 解　(1)設(shè)P(x，y)，由題意可知|MF|＝|PF|， 所以＝＝， 即＝，化簡整理得＋y2＝1， 即曲線Γ的方程為＋y2＝1. (2)由已知可得直線m的斜率不為0， ∴可設(shè)直線m的方程為x＝ny＋1， 聯(lián)立消去x， 得(n2＋2)y2＋2ny－1＝0，Δ>0恒成立， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－，x1＝ny1＋1， ∴直線AC的斜率為k＝， 直線AC的方程為y－y2＝(x－2)， 即y＝， 又＝ ＝＝， ∴直線AC的方程為 y＝＝， ∴直線AC過定點(diǎn)N.