2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2.2 分段函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、第2課時(shí)　分段函數(shù) 1．會(huì)用解析法及圖象法表示分段函數(shù)． 2．給出分段函數(shù)，能研究有關(guān)性質(zhì)． 3．對生活中的一些實(shí)例，會(huì)用分段函數(shù)表示． 1．分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)． 2．分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集． 溫馨提示：(1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)． (2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如y＝其“段”是不等長的． (3)分段函數(shù)的圖象要分段來畫． 1．某市空調(diào)公共汽車的標(biāo)價(jià)按下列規(guī)則判定：

2、 ①5千米以內(nèi)，票價(jià)2元； ②5千米以上，每增加5千米，票價(jià)增加1元(不足5千米的按5千米計(jì)算)． 已知兩個(gè)相鄰的公共汽車站間相距1千米，沿途(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)有11個(gè)汽車站． (1)從起點(diǎn)站出發(fā)，公共汽車的行程x(千米)與票價(jià)y(元)有函數(shù)關(guān)系嗎？ (2)函數(shù)的表達(dá)式是什么？ (3)x與y之間有何特點(diǎn)？ [答案]　(1)有函數(shù)關(guān)系 (2)y＝ (3)x在不同區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，與y所對應(yīng)的關(guān)系不同 2．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)分段函數(shù)由幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成．(　　) (2)函數(shù)f(x)＝是分段函數(shù)．(　　) (3)分段函數(shù)的圖象不一定是連續(xù)的．(　　

3、) (4)y＝|x－1|與y＝是同一函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 題型一分段函數(shù)求值 【典例1】　已知函數(shù)f(x)＝ (1)求f(f(f(－2)))的值； (2)若f(a)＝，求a. [思路導(dǎo)引]　根據(jù)自變量取值范圍代入對應(yīng)解析式求值． [解]　(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2， ∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝. (2)當(dāng)a>1時(shí)，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1； 當(dāng)－1≤a≤1時(shí)，f(a)＝a2＋1＝， ∴a＝±∈[－1,1]； 當(dāng)a<－1時(shí)，f(a)

4、＝2a＋3＝， ∴a＝－>－1(舍去)． 綜上，a＝2或a＝±. (1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求解．對于含有多層“f”的問題，要按照“由內(nèi)到外”的順序，逐層處理． (2)已知函數(shù)值，求自變量的值時(shí)，要先將“f”脫掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的方程求解． [針對訓(xùn)練] 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝則f[f(3)]＝(　　) A. B．3 C. D. [解析]　∵f(3)＝<1， ∴f[f(3)]＝2＋1＝. [答案]　D 2．已知函數(shù)f(x)＝若f(x)＝－3，則x＝________. [解析]　若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4

5、. 若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4， 解得x＝2或x＝－2(舍去)． 綜上可得，所求x的值為－4或2. [答案]?。?或2 題型二分段函數(shù)的圖象 【典例2】　(1)作出下列分段函數(shù)的圖象： ①y＝　　　②y＝|x＋1|. (2)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B(起點(diǎn))向點(diǎn)A(終點(diǎn))運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為x，△ABP的面積為y，求： ①y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； ②畫出y＝f(x)的圖象． [思路導(dǎo)引]　(1)利用描點(diǎn)法分段作圖；(2)先依據(jù)x的變化范圍求出關(guān)系式． [解]　(1)①函數(shù)圖象如圖1所示． ②y＝|x＋1

6、|＝，其圖象如圖2所示． (2)①y＝ ② 分段函數(shù)圖象的畫法 (1)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可． (2)對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象． [針對訓(xùn)練] 3.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，求f(x)的解析式并寫出f(x)的值域． [解]　由于f(x)的圖象由兩條線段組成， 因此可設(shè)f(x)＝ 將點(diǎn)(－1,0)，(0,1)代入f(x)＝ax＋b， 點(diǎn)(1，－1)代入f(x)＝c

7、x可得 f(x)＝ 由圖象可得f(x)的值域?yàn)?－1,1). 題型三分段函數(shù)的綜合問題 【典例3】　已知函數(shù)f(x)＝|x－3|－|x＋1|. (1)求f(x)的值域； (2)解不等式：f(x)>0； (3)若直線y＝a與f(x)的圖象無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [思路導(dǎo)引]　去掉絕對值符號(hào)，化簡f(x)，再分段求解． [解]　若x≤－1，則x－3<0，x＋1≤0， f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4； 若－10， f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2； 若x>3，則x－3>0，x＋1>0， f(x)＝(x－3)－(x

8、＋1)＝－4. ∴f(x)＝ (1)－10，即① 或② 或③ 解①得x≤－1，解②得－10的解集為(－∞，－1]∪(－1,1)∪?＝(－∞，1)． (3)f(x)的圖象如圖： 由圖可知，當(dāng)a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)時(shí)，直線y＝a與f(x)的圖象無交點(diǎn)． [變式]　若a∈R，試探究方程f(x)＝a解的個(gè)數(shù)． [解]　由例3(3)知y＝f(x)的圖象，作出直線y＝a，可以看出：當(dāng)a＝±4時(shí)，y＝a與y＝f(x

9、)有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)－44時(shí)，y＝a與y＝f(x)沒有交點(diǎn)． 綜上可知： 當(dāng)a＝±4時(shí)，方程f(x)＝a有無數(shù)個(gè)解． 當(dāng)－44時(shí)，方程f(x)＝a無解． 研究分段函數(shù)要牢牢抓住的2個(gè)要點(diǎn) (1)分段研究．在每一段上研究函數(shù)． (2)合并表達(dá)．因?yàn)榉侄魏瘮?shù)無論分成多少段，仍是一個(gè)函數(shù)，對外是一個(gè)整體． [針對訓(xùn)練] 4．已知f(x)＝ (1)畫出f(x)的圖象； (2)若f(x)≥，求x的取值范圍； (3)求f(x)的值域． [解]　(1)利用

10、描點(diǎn)法，作出f(x)的圖象，如圖所示． (2)由于f＝，結(jié)合此函數(shù)圖象可知，使f(x)≥的x的取值范圍是∪. (3)由圖象知，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2的值域?yàn)閇0,1]， 當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f(x)＝1. 所以f(x)的值域?yàn)閇0,1]. 題型四分段函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用 【典例4】　某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長溫度為15～20℃的新品種，如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚里溫度y(℃)隨時(shí)間x(h)變化的函數(shù)圖象，其中AB段是恒溫階段，BC段是雙曲線y＝的一部分，請根據(jù)圖中信息解答下列問題： (1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式； (

11、2)大棚內(nèi)的溫度為18℃時(shí)是否適宜該品種蔬菜的生長？ (3)恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里的適宜新品種蔬菜的生長溫度有多少小時(shí)？ [思路導(dǎo)引]　利用待定系數(shù)法求出x在每一段上的解析式，再分段研究． [解]　(1)設(shè)線段AD的解析式為y＝mx＋n(m≠0)， 將點(diǎn)A(2,20)，D(0,10)代入， 得，解得， ∴線段AD的解析式為y＝5x＋10(0≤x≤2)． ∵雙曲線y＝經(jīng)過B(12,20)， ∴20＝，解得k＝240， ∴BC段的解析式為y＝(12≤x≤24)． 綜上所述，y與x的函數(shù)解析式為： y＝. (2)當(dāng)x＝18時(shí)，y＝＝，由于<15， ∴大棚內(nèi)的溫度為18℃

12、時(shí)不適宜該品種蔬菜的生長． (3)令y＝15，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，解5x＋10＝15，得x＝1， 當(dāng)12≤x≤24時(shí)，解＝15，得x＝16. 由于16－1＝15(小時(shí))， ∴恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里的適宜新品種蔬菜的生長溫度有15小時(shí)． 對于應(yīng)用題，要在分析題意基礎(chǔ)上，弄清變量之間的關(guān)系，然后選擇適當(dāng)形式加以表示；若根據(jù)圖象求解析式，則要分段用待定系數(shù)法求出，最后用分段函數(shù)表示，分段函數(shù)要特別地把握準(zhǔn)定義域的各個(gè)“分點(diǎn)”． [針對訓(xùn)練] 5．A，B兩地相距150公里，某汽車以每小時(shí)50公里的速度從A地到B地，在B地停留2小時(shí)之后，又以每小時(shí)60公里的速度返回A地．寫

13、出該車離A地的距離s(公里)關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系，并畫出函數(shù)圖象． [解]　(1)汽車從A地到B地，速度為50公里/小時(shí)，則有s＝50t，到達(dá)B地所需時(shí)間為＝3(小時(shí))． (2)汽車在B地停留2小時(shí)，則有s＝150. (3)汽車從B地返回A地，速度為60公里/小時(shí)，則有s＝150－60(t－5)＝450－60t，從B地到A地用時(shí)＝2.5(小時(shí))． 綜上可得，該汽車離A地的距離s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為 s＝ 函數(shù)圖象如圖所示． 課堂歸納小結(jié) 1．分段函數(shù) (1)分段是針對定義域而言的，將定義域分成幾段，各段的對應(yīng)關(guān)系不一樣． (2)一般而言，分段函數(shù)的定義域部分

14、是各不相交的，這是由函數(shù)定義中的唯一性決定的． (3)研究分段函數(shù)時(shí)，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是 作分段函數(shù)的圖象時(shí)，可先將各段的圖象分別畫出來，從而得到整個(gè)函數(shù)的圖象． 2．與分段函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題 要理解題意，合理引進(jìn)變量，確定自變量分段的“段點(diǎn)”，注意在自變量分段的端點(diǎn)處要不重不漏. 1．已知f(x)＝則f[f(－7)]的值為(　　) A．100 B．10 C．－10 D．－100 [解析]　∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100. [答案]　A 2．下列圖形是函數(shù)y＝x|x|的圖象的是(　　) [解析]　∵f(x)

15、＝分別畫出y＝x2(取x≥0部分)及y＝－x2(取x<0部分)即可． [答案]　D 3．函數(shù)f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0,2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0,3] [解析]　當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤f(x)≤2，當(dāng)1

16、選項(xiàng)A，C；再將點(diǎn)代入，排除D項(xiàng)． [答案]　B 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f[f(a)]＝2，則a＝________. [解析]　當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)＝a2＋2a＋2>0，f[f(a)]<0，顯然不成立；當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝－a2，f[f(a)]＝a4－2a2＋2＝2，則a＝±或a＝0，故a＝. [答案]　 課后作業(yè)(十八) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．已知f(x)＝則f(－2)＝(　　) A．2 B．4 C．－2 D．2或4 [解析]　f(－2)＝－(－2)＝2，選A. [答案]　A 2．函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是(　　) [解析]　f(x)＝|x－1

17、|＝選B. [答案]　B 3．已知函數(shù)y＝使函數(shù)值為5的x的值是(　　) A．－2 B．2或－ C．2或－2 D．2或－2或－ [解析]　當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋1＝5，解得x＝－2；當(dāng)x>0時(shí)，令－2x＝5，得x＝－，不合題意，舍去． [答案]　A 4.已知函數(shù)f(x)的圖象是兩條線段(如圖所示，不含端點(diǎn))，則f等于(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　由圖可知，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝ ∴f＝－1＝－， ∴f＝f＝－＋1＝. [答案]　B 5．某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水量不超過10立方米的，按每立方米

18、m元收費(fèi)；用水量超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費(fèi)．某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水量為(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 [解析]　該單位職工每月應(yīng)繳水費(fèi)y與實(shí)際用水量x滿足的關(guān)系式為y＝由y＝16m，可知x>10，令2mx－10m＝16m，解得x＝13. [答案]　A 二、填空題 6．已知函數(shù)f(x)＝，則不等式xf(x－1)≤1的解集為________． [解析]　原不等式轉(zhuǎn)化為或解得－1≤x≤1. [答案]　[－1,1] 7．函數(shù)f(x)＝的值域是________． [解析]　當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤

19、f(x)≤1； 當(dāng)1

20、x|>1，則＝，得x＝±，符合|x|>1. 所以若f(x)＝，x的值為±. 10．已知函數(shù)f(x)＝1＋(－2

21、|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx [解析]　由已知得，xsgnx＝ 而|x|＝ 所以|x|＝xsgnx，故選D. [答案]　D 12.如圖，拋物線y1＝ax2與直線y2＝bx＋c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－2,4)，B(1,1)．記f(x)為max{y1，y2}，則f(x)的解析式為(　　) [解析]　由y1＝ax2過點(diǎn)B(1,1)得a＝1，∴y＝x2. 由y2＝bx＋c過點(diǎn)A(－2,4)，B(1,1)，有 解得∴y2＝－x＋2，結(jié)合圖象可得． f(x)＝，選A. [答案]　A 13．已知f(x)＝則f＋f等于(　　) A．－2 B．4 C．2

22、D．－4 [解析]　∵f(x)＝ ∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝， ∴f＋f＝＋＝4. [答案]　B 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)>1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)＝a－1>1， 解得a>4，符合a≥0； 當(dāng)a<0時(shí)，f(a)＝>1，無解． [答案]　(4，＋∞) 15．若定義運(yùn)算a⊙b＝則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域?yàn)開_______． [解析]　由題意得f(x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(－∞，1]． [答案]　(－∞，1] 16．成都市出租車的現(xiàn)行計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：路程在2 km以內(nèi)(含2 km)

23、按起步價(jià)8元收取，超過2 km后的路程按1.9元/km收取，但超過10 km后的路程需加收50%的返空費(fèi)(即單價(jià)為1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)． (1)將某乘客搭乘一次出租車的費(fèi)用f(x)(單位：元)表示為行程x(038.8， ∴該乘客換乘比只乘一輛車更省錢． 16