《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1.1 函數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1.1 函數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版必修第一冊（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1課時 函數(shù)的概念
1．理解函數(shù)的概念．
2．了解構(gòu)成函數(shù)的三要素．
3．能正確使用函數(shù)、區(qū)間符號．
1．函數(shù)的概念
(1)函數(shù)的定義
設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.
(2)函數(shù)的定義域與值域
函數(shù)y＝f(x)中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．
(3)對應(yīng)關(guān)系f：除解析式、圖象表格
2、外，還有其他表示
對應(yīng)關(guān)系的方法，引進(jìn)符號f統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系．
溫馨提示：(1)當(dāng)A，B為非空數(shù)集時，符號“f：A→B”表示A到B的一個函數(shù)．
(2)集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性．
(3)符號“f”它表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣．
2．區(qū)間概念(a，b為實數(shù)，且a
3、s確定嗎？
(3)下落后的某一時刻，能同時對應(yīng)兩個距離嗎？
[答案] (1)0≤t≤3,0≤s≤44.1 (2)確定 (3)不能
2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)區(qū)間表示數(shù)集，數(shù)集一定能用區(qū)間表示．( )
(2)數(shù)集{x|x≥2}可用區(qū)間表示為[2，＋∞]．( )
(3)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的一個x可以對應(yīng)著不同的y.( )
(4)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
題型一函數(shù)關(guān)系的判斷
【典例1】 (1)判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)．
①A＝N，B＝N*，對應(yīng)法則f
4、：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應(yīng)；
②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，對應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，對應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應(yīng)法則f：對A中元素求面積與B中元素對應(yīng)．
(2)設(shè)M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函數(shù)y＝f(x)的定義域為M，值域為N，對于下列四個圖象，不可作為函數(shù)y＝f(x)的圖象的是( )
[思路導(dǎo)引] 在“非空數(shù)集”A中“任取x”，在對應(yīng)關(guān)系“f”作用下，B中“有唯一”的“數(shù)f(x)”與之“對應(yīng)”
5、，稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)．
[解析] (1)①對于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)．
②對于A中的元素±1，在f的作用下與B中的1對應(yīng)，A中的元素±2，在f的作用下與B中的4對應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應(yīng)，是“多對一”的對應(yīng)，故是函數(shù)．
③對于A中的任一元素，在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如±1對應(yīng)1，±2對應(yīng)4，所以是函數(shù)．
④集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)．
(2)由函數(shù)定義可知，任意作一條直線x＝a，則與函數(shù)的圖象至多有一個交點，結(jié)合選項可知C中圖象不表示y是x的函數(shù)
6、．
[答案] (1)見解析 (2)C
(1)判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件
①A、B必須是非空數(shù)集．
②A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應(yīng)．
(2)根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的方法
①任取一條垂直于x軸的直線l.
②在定義域內(nèi)平行移動直線l.
③若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)．
[針對訓(xùn)練]
1．若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，則下列圖形給出的對應(yīng)中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)f：M→N的是( )
[解析] A中的對應(yīng)不滿足函數(shù)的存在性，即存在x∈M，但N中無與之對
7、應(yīng)的y；B、C均不滿足函數(shù)的唯一性，只有D正確．
[答案] D
2．下列對應(yīng)為從集合A到集合B的一個函數(shù)的是______．(填序號)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解析] ①中，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，②中同樣是集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，對于③，集合A中負(fù)整數(shù)沒有意義．
[答案]?、?
題型二用區(qū)間表示數(shù)集
【典例2】 把下列數(shù)集用區(qū)間表示，并在數(shù)軸上表示出來．
(1){x|x≥3}；
(
8、2){x|x<－5}；
(3){x|－4≤x<2或3
9、表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點．
[針對訓(xùn)練]
3．已知全集U＝R，A＝{x|－15}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．
[答案] (－∞，－1]∪(5，＋∞)
4．用區(qū)間表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集為______________________．
[解析] 不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集為{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
[答案] (－∞，－2]∪[3，＋∞)
題型三求函數(shù)的定義域
【
10、典例3】 求下列函數(shù)的定義域．
(1)y＝2＋；
(2)y＝(x－1)0＋；
(3)y＝·；
(4)y＝－.
[思路導(dǎo)引] 函數(shù)定義域即是使自變量x有意義的取值范圍．
[解] (1)當(dāng)且僅當(dāng)x－2≠0，即x≠2時，函數(shù)y＝2＋有意義，所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}．
(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得x>－1，且x≠1，所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>－1且x≠1}．
(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得1≤x≤3，所以這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤3}．
(4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足即即解得－3≤x≤2且x≠－1，即函數(shù)定義域為{x|－3≤x≤2且x≠－1}．
11、
[變式] (1)將本例(3)中“y＝·”改為“y＝”，則其定義域是什么？
(2)將本例(3)中“y＝·”改為“y＝”，則其定義域是什么？
[解] (1)要使函數(shù)有意義，只需(3－x)(x－1)≥0，解得1≤x≤3，即定義域為{x|1≤x≤3}．
(2)要使函數(shù)有意義，則解得1
12、f(x)是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義．
[針對訓(xùn)練]
5．求下列函數(shù)的定義域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝.
[解] (1)要使函數(shù)有意義，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函數(shù)的定義域為{x|x≥3或x≤－1}．
(2)要使函數(shù)有意義，則|x|－x≠0，
即|x|≠x，得x<0，所以函數(shù)的定義域為(－∞，0)．
(3)要使函數(shù)有意義，則解得－≤x≤，且x≠±3，即定義域為{x|－≤x≤，且x≠±3}．
課堂歸納小結(jié)
1．函數(shù)的本質(zhì)：兩個非空數(shù)集間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系．由于函數(shù)的定義域和對應(yīng)
13、關(guān)系一旦確定，值域隨之確定．
2．定義域是一個集合，所以需要寫成集合的形式，在已知函數(shù)解析式又對x沒有其他限制時，定義域就是使函數(shù)式有意義的x的集合．
3．對區(qū)間的幾點認(rèn)識
(1)區(qū)間是集合，是數(shù)集，區(qū)間的左端點必須小于右端點．
(2)用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點．
(3)在用區(qū)間表示集合時，開和閉不能混淆．
(4)“∞”是一個符號，不是一個數(shù)，它表示數(shù)的變化趨勢.
1．函數(shù)f(x)＝的定義域為( )
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2) D．[1，＋∞)
[解析] 由題意可知，要
14、使函數(shù)有意義，需滿足即x≥1且x≠2.
[答案] A
2．函數(shù)y＝＋的定義域為( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤－1} D．{x|0≤x≤1}
[解析] 由題意可知解得0≤x≤1.
[答案] D
3．函數(shù)f(x)＝的定義域為( )
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|－2
15、解析] 結(jié)合區(qū)間的定義知，用區(qū)間表示為[－1,0)∪(1,2]．
[答案] [－1,0)∪(1,2]
5．已知矩形的周長為1，它的面積S是其一邊長為x的函數(shù)，則其定義域為________(結(jié)果用區(qū)間表示)．
[解析] 由實際意義知x>0，又矩形的周長為1，所以x<，所以定義域為.
[答案]
課后作業(yè)(十五)
復(fù)習(xí)鞏固
一、選擇題
1．若函數(shù)y＝f(x)的定義域M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是( )
[解析] A中定義域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系，D中值域不是N＝{y
16、|0≤y≤2}．
[答案] B
2．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示從A到B的函數(shù)的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
[解析] 對于選項C，當(dāng)x＝4時，y＝>2不合題意．故選C.
[答案] C
3．下列對應(yīng)關(guān)系或關(guān)系式中，是A到B的函數(shù)的是( )
A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對應(yīng)關(guān)系如圖
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
[解析] A錯誤，x2＋y2＝1可化為y＝±，顯然對任意x∈A，y值不一定
17、唯一．B正確，符合函數(shù)的定義．C錯誤，2∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)．D錯誤，－1∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)．
[答案] B
4．函數(shù)f(x)＝的定義域為M，g(x)＝的定義域為N，則M∩N＝( )
A．{x|x≥－2} B．{x|－2≤x<2}
C．{x|－2
18、義域為( )
A．R B．{x|x>0}
C．{x|00，
∴x<5，又兩邊之和大于第三邊，
∴2x>10－2x，x>，
∴此函數(shù)的定義域為.
[答案] D
二、填空題
6．下列說法正確的是________(填所有正確說法的序號)．
①函數(shù)的定義域可以是空集；
②函數(shù)的定義域和值域確定后，對應(yīng)關(guān)系也就確定了；
③函數(shù)的定義域、值域都是非空的數(shù)集；
④函數(shù)值域中的每一個值在定義域中都有唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)．
[解析] 由函數(shù)定義知，定義域和值域都是非空的數(shù)集，故①錯誤，③正確；函數(shù)的定義域
19、和值域確定后，可以有不同的對應(yīng)關(guān)系，如y＝|x|，y＝x2，故②錯誤；函數(shù)值域中的每一個值在定義域中有一個或多個確定的數(shù)與之對應(yīng)，故④錯誤．
[答案]?、?
7．函數(shù)y＝的定義域是________．
[解析] 由已知得7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，故函數(shù)的定義域為[－1,7]．
[答案] [－1,7]
8．設(shè)集合A＝{x|x2－8x－20<0}，B＝[5,13)，則?R(A∩B)＝__________________(用區(qū)間表示)．
[解析] ∵A＝{x|x2－8x－20<0}＝{x|－2
20、∞，5)∪[10，＋∞)．
[答案] (－∞，5)∪[10，＋∞)
三、解答題
9．求下列函數(shù)的定義域．
(1)y＝；
(2)y＝＋.
[解] (1)由題意得
化簡得即
故函數(shù)的定義域為{x|x<0且x≠－3}．
(2)由題意可得
解得
故函數(shù)的定義域為{x|x≤7且x≠±}．
10．為了保護(hù)環(huán)境，某公交公司決定購買10臺全新的混合動力公交車，現(xiàn)有A、B兩種型號，其中每臺的價格，年省油量如下表：
型號
A
B
價格(萬元/臺)
a
b
節(jié)省的油量(萬升/年)
2.4
2
經(jīng)調(diào)查，購買一臺A型車比購買一臺B型車多20萬元，購買兩臺A型車比購買三臺B型車
21、少60萬元．
(1)請求出a和b；
(2)若購買A型車x臺，每年節(jié)省汽油y升，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域．
[解] (1)根據(jù)題意得：，解得.
(2)設(shè)購買A型車x臺，則購買B型車(10－x)臺，根據(jù)題意得y＝2.4x＋2(10－x)＝0.4x＋20
其中0≤x≤10，x∈N.
答：每年節(jié)約汽油y升與購買A型車x臺的函數(shù)關(guān)系式為y＝0.4x＋20(0≤x≤10，且x∈N)．
綜合運用
11．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a的交點個數(shù)有( )
A．必有一個 B．一個或兩個
C．至多一個 D．可能兩個以上
[解析] 當(dāng)a在f(x)定義域內(nèi)時，有一個
22、交點，否則無交點．
[答案] C
12．給出四個結(jié)論：①函數(shù)就是定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系；②若函數(shù)的定義域只含有一個元素，則值域也只有一個元素；③因f(x)＝5(x∈R)，這個函數(shù)值不隨x的變化范圍而變化，所以f(0)＝5也成立；④定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了．其中正確的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
[解析] 由函數(shù)的概念可知，①不正確，其余三個結(jié)論都正確．
[答案] C
13．在下列從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系中，不能確定y是x的函數(shù)的是( )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，對應(yīng)法則f：x→y＝；
②A＝{x|x>0，x∈R
23、}，B＝{y|y∈R}，對應(yīng)法則f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，對應(yīng)法則f：x→x2＋y2＝25；
④A＝R，B＝R，對應(yīng)法則f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，對應(yīng)法則f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，對應(yīng)法則f：x→y＝0.
A．①⑤⑥ B．②④⑤
C．②③④ D．①②③⑤
[解析] ①在對應(yīng)法則f下，A中不能被3整除的數(shù)在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)．②在對應(yīng)法則f下，A中的數(shù)在B中有兩個數(shù)與之對應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)．③在對應(yīng)法則f下，A中
24、的數(shù)(除去5與－5外)在B中有兩個數(shù)或沒有數(shù)與之對應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)．⑤A不是數(shù)集，所以不能確定y是x的函數(shù)．④⑥顯然滿足函數(shù)的特征，故能確定y是x的函數(shù)．故選D.
[答案] D
14．已知區(qū)間[－2a,3a＋5]，則a的取值范圍為________．
[解析] 由題意可知3a＋5>－2a，解得a>－1.故a的取值范圍是(－1，＋∞)．
[答案] (－1，＋∞)
15．函數(shù)y＝＋的定義域為____________________(用區(qū)間表示)．
[解析] 使根式有意義的實數(shù)x的集合是{x|3－2x－x2≥0}即{x|(3－x)(x＋1)≥0}＝{x|－1≤x≤3}，使分式有意義的實數(shù)x的集合是{x|x≠±2}，所以函數(shù)y＝＋的定義域是{x|－1≤x≤3}∩{x|x≠±2}＝{x|－1≤x≤3，且x≠2}．
[答案] [－1,2)∪(2,3]
16．已知函數(shù)y＝的定義域是R，求實數(shù)m的取值范圍．
[解]?、佼?dāng)m＝0時，y＝，其定義域是R.
②當(dāng)m≠0時，由定義域為R可知，mx2－6mx＋m＋8≥0對一切實數(shù)x均成立，于是有
解得0
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