《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊（16頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、3．3 冪函數(shù)
1．理解冪函數(shù)的概念．
2．掌握y＝xα(α＝－1，，1,2,3)的圖象與性質(zhì)．
3．理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問題．
1．冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
2．常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
溫馨提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>0時，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α<0時，y＝xα是減函數(shù)．
1．y＝2x2和y＝－是冪函數(shù)嗎？
[答案] 不是
2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)y＝x0(x≠0)是冪函數(shù)．( )
(2)冪函數(shù)的
2、圖象必過點(diǎn)(0,0)和(1,1)．( )
(3)冪函數(shù)的圖象都不過第二、四象限．( )
(4)當(dāng)α>0時，y＝xα是增函數(shù)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
題型一冪函數(shù)的概念
【典例1】 (1)在函數(shù)①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是冪函數(shù)的是( )
A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
(2)已知冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此冪函數(shù)的解析式，并指出其定義域．
[思路導(dǎo)引] 緊扣冪函數(shù)的定義求解．
[解析] (1)冪函數(shù)是形如y＝xα(α為常數(shù))的函數(shù)，①是α＝－
3、1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中x2的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù)．所以只有①②⑥是冪函數(shù)．故選C.
(2)∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3為冪函數(shù)，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
當(dāng)m＝2時，m2－2m－3＝－3，則y＝x－3，且有x≠0；
當(dāng)m＝－1時，m2－2m－3＝0，則y＝x0，且有x≠0.
故所求冪函數(shù)的解析式為y＝x－3或y＝x0，它們的定義域都是{x|x≠0}．
[答案] (1)C (2)見解析
判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法
判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)
4、的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.
[針對訓(xùn)練]
1．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是( )
A．y＝ B．y＝x
C．y＝22x D．y＝x－1
[解析] 函數(shù)y＝22x＝4x不是冪函數(shù)，故選C.
[答案] C
2．若冪函數(shù)f(x)滿足f(9)＝3，則f(100)＝________.
[解析] 設(shè)f(x)＝xα，由f(9)＝3，得9α＝3，
∴α＝，∴f(x)＝x，
∴f(100)＝100＝10.
[答案] 10
題型二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【典例2】 已知冪函數(shù)f(
5、x)＝xα的圖象過點(diǎn)P，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．
[思路導(dǎo)引] 求出α，結(jié)合圖象確定定義域和值域．
[解] 由f(2)＝，得2α＝，
解得α＝－2，所以f(x)＝x－2.
f(x)的圖象如圖所示，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)．
[變式] (1)本例條件不變，試判斷f(x)的奇偶性．
(2)本例中點(diǎn)P變?yōu)椋袛嗪瘮?shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性．
[解] (1)由f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)，
得f(x)是偶函數(shù)．
(2)由f(8)＝，得8α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x，其定義
6、域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函數(shù)，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)．
解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的2個原則
(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高)．
(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)來判斷．
[針對訓(xùn)練]
3．如圖，圖中曲線是冪函數(shù)y＝xα在第一象限的大致圖象，已知α取－2，－，，2四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的α的值依次為( )
7、
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
[解析] 令x＝2，則22>2>2>2－2，故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的α值依次為2，，－，－2.故選B.
[答案] B
4．如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則( )
A．－11
D．n<－1，m>1
[解析] 在(0,1)內(nèi)取x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點(diǎn)，則“點(diǎn)低指數(shù)大”．如圖，0
8、列各題中兩個值的大?。?
[思路導(dǎo)引] 構(gòu)造冪函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?
(2)因?yàn)閥＝x在定義域[0，＋∞)上是增函數(shù)，
所以解得－1≤m<.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
比較冪值大小的方法
(1)若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)．
(2)若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮借助圖象求解．
(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個底數(shù)相同，指數(shù)與另一個數(shù)的指數(shù)相同，那么這個數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進(jìn)而比較大小．
[針對訓(xùn)練]
5．比較下列各組數(shù)的大?。?
6．已知冪函數(shù)f(x)＝x，若f(a＋1)
9、2a)，則a的取值范圍是________．
[解析] ∵f(x)＝x＝(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又f(a＋1)0，冪函數(shù)在[0，＋∞
10、)上有意義，且是增函數(shù)．
(3)如果α<0，冪函數(shù)在x＝0處無意義，在(0，＋∞)上是減函數(shù).
1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是( )
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
[解析] 函數(shù)y＝5x是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝5x是正比例函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝(x＋1)3的底數(shù)不是自變量x，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝x5是冪函數(shù)．
[答案] B
2．設(shè)a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．c
11、0.1，c＝70.1，由冪函數(shù)y＝x0.1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可知c
12、稱，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，求f(x)的解析式．
[解] ∵冪函數(shù)y＝x3m－9在(0，＋∞)上是減函數(shù)，
∴3m－9<0，即m<3.
又∵m∈N*，∴m＝1,2.
又y＝33m－9的圖象關(guān)于y軸對稱，即該函數(shù)是偶函數(shù)，
∴3m－9是偶數(shù)．∴m＝1.
∴f(x)＝x－6.
課后作業(yè)(二十三)
復(fù)習(xí)鞏固
一、選擇題
1．下列函數(shù)中，其定義域和值域不同的函數(shù)是( )
[解析] y＝x＝，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，＋∞)，故定義域與值域不同．
[答案] D
2．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)>b>c B．c>a>b
C．a(chǎn)
13、c>a
[解析] 構(gòu)造冪函數(shù)y＝x，x>0，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知1>a>b；又c＝2>1，知aa>b.
[答案] B
3．函數(shù)y＝x的圖象大致是圖中的( )
[解析] ∵函數(shù)y＝x是奇函數(shù)，且α＝>1，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增．故選B.
[答案] B
4．若冪函數(shù)y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，則( )
A．m＝－2 B．m＝－1
C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1
[解析] 根據(jù)冪函數(shù)的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，則y＝x－4，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以
14、不符合題意，舍去；若m＝－2，則y＝x－3，其圖象不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱．
[答案] A
5．下列結(jié)論中，正確的是( )
A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)
B．冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限
C．當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，時，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)
D．當(dāng)α＝－1時，冪函數(shù)y＝xα在其整個定義域上是減函數(shù)
[解析] 當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時，冪函數(shù)y＝x－1的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故A錯誤；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故B錯誤；當(dāng)α>0時，y＝xα是增函數(shù)，故C正確；當(dāng)α＝－1時，y＝x－1在區(qū)間(
15、－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在整個定義域上不是減函數(shù)，故D錯誤．故選C.
[答案] C
二、填空題
6．若y＝ax是冪函數(shù)，則該函數(shù)的值域是________．
[解析] 由已知y＝ax是冪函數(shù)，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故該函數(shù)的值域?yàn)閇0，＋∞)．
[答案] [0，＋∞)
7．函數(shù)y＝3xα－2的圖象過定點(diǎn)________．
[解析] 依據(jù)冪函數(shù)y＝xα性質(zhì)，x＝1時，y＝1恒成立，所以函數(shù)y＝3xα－2中，x＝1時，y＝1恒成立，即過定點(diǎn)(1,1)．
[答案] (1,1)
8．已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時，函數(shù)y＝xα的圖象恒在直線y＝x的上方，則α的取值范
16、圍是________．
[解析] 由冪函數(shù)的圖象特征知α>1.
[答案] (1，＋∞)
三、解答題
9．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)，試求出此函數(shù)的解析式，判斷奇偶性．
[解] 設(shè)y＝xα(α∈R)，∵圖象過點(diǎn)，
∴2α＝，α＝－，∴f(x)＝x.
∵函數(shù)y＝x＝，定義域?yàn)?0，＋∞)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
10．已知冪函數(shù)y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2
17、解] 因?yàn)閙∈{x|－2
18、解析] ∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴3m－5<0(m∈N)，則m＝0或m＝1，當(dāng)m＝0時，f(x)＝x－5是奇函數(shù)，不合題意．當(dāng)m＝1時，f(x)＝x－2是偶函數(shù)，因此m＝1，故選B.
[答案] B
12．在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y＝xa(a≠0)和y＝ax－的圖象可能是( )
[解析] 當(dāng)a<0時，函數(shù)y＝ax－是減函數(shù)，且在y軸上的截距－>0，y＝xa在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴A、D項(xiàng)均不正確．對于B、C項(xiàng)，若a>0則y＝ax－是增函數(shù)，B項(xiàng)錯，C項(xiàng)正確，故選C.
[答案] C
13.如圖所示，曲線C1與C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論
19、正確的是( )
A．nm>0
D．m>n>0
[解析] 由圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故m<0，n<0.當(dāng)x＝2時，2m>2n，所以n3－2a>0或0>a＋1>3－2a
或a＋1<0<3－2a.
解得
2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊
