初三數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié) (2)

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1、 初三數(shù)學 二次函數(shù) 知識點總結(jié) 一、二次函數(shù)概念： 1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)． 2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： ⑴ 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2． ⑵ 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項． 二、二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小

2、；時，有最小值． 向下 軸 時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值． 2. 的性質(zhì)： 上加下減。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 軸 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 3. 的性質(zhì)： 左加右減。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增

3、大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 4. 的性質(zhì)： 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加

4、下減”． 方法二： ⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成 （或） ⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或） 四、二次函數(shù)與的比較 從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中． 五、二次函數(shù)圖象的畫法 五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）. 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點. 六、二次

5、函數(shù)的性質(zhì) 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為． 當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值． 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值． 七、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式：（，，為常數(shù)，）； 2. 頂點式：（，，為常數(shù)，）； 3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互

6、化. 八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù) 二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然． ⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； ⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大． 總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大?。? 2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸． ⑴ 在的前提下， 當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)； 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè)． ⑵ 在的前

7、提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)； 當時，，即拋物線的對稱軸就是軸； 當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)． 總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置． 的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異” 總結(jié)： 3. 常數(shù)項 ⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； ⑵ 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； ⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負． 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置． 總

8、之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的． 二次函數(shù)解析式的確定： 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式； 4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式． 九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關(guān)于軸對稱

9、 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°） 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是． 5. 關(guān)于點對稱 關(guān)于點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線

10、的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式． 十、二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）： 一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況. 圖象與軸的交點個數(shù)： ① 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離. ② 當時，圖象與軸只有一個交點； ③ 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當時，圖象落在軸的下

11、方，無論為任何實數(shù)，都有． 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； ⑵ 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號，或由二次函數(shù)中，，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； ⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. ⑸ 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二

12、次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系： 拋物線與軸有兩個交點 二次三項式的值可正、可零、可負 一元二次方程有兩個不相等實根 拋物線與軸只有一個交點 二次三項式的值為非負 一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根 拋物線與軸無交點 二次三項式的值恒為正 一元二次方程無實數(shù)根. 二次函數(shù)圖像參考： 十一、函數(shù)的應用 二次函數(shù)應用 二次函數(shù)考查重點與常見題型 1． 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如： 已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點， 則的值是

13、2． 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如： 如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B

14、 C D 3． 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如： 已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。 4． 考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如： 已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－ （1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。 【例題經(jīng)典】 由拋物線的位置確定系數(shù)的符

15、號 例1 （1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 (1) (2) 【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c

16、之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵． 例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ) A 1個 B. 2個 C. 3個 D．4個 答案：D 會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2

17、，3) D．(3，2) 答案：C 例4、如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合．設(shè)x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2． （1）寫出y與x的關(guān)系式； （2）當x=2，3.5時，y分別是多少？ （3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時， 三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、 對稱軸. 例5、已知拋物線y=x2+x-． （1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸． （2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長． 【點評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函

18、數(shù)與一元二次方程的關(guān)系． 例6、 “已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（c，－2）， 求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。 （1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。 （2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整。 點評： 對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點A（c，－2）”，就可以列出兩個方程

19、了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。 [解答] （1）根據(jù)的圖象經(jīng)過點A（c，－2），圖象的對稱軸是x=3，得 解得 所以所求二次函數(shù)解析式為圖象如圖所示。 （2）在解析式中令y=0，得，解得 所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標是（3+”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標是 令x=3代入解析式，得 所以拋物線的頂點坐標為 所以也可

20、以填拋物線的頂點坐標為等等。 函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。 用二次函數(shù)解決最值問題 例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積． 【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結(jié)合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力．同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間． 例2 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的

21、銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)． （1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達式為y=kx+b．則 解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達式為y=-x+40． （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元 w=（x-10）（40-x）=-

22、x2+50x-400=-（x-25）2+225． 產(chǎn)品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元． 【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設(shè)未知數(shù)在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 二次函數(shù)對應練習試題 一、選擇題 1. 二次函數(shù)的頂點坐標是( ) A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11）

23、D. （2，－3） 2. 把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是（ ） A. B. C. D. 3.函數(shù)和在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的( ) 4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論: ①a,b同號;②當和時,函數(shù)值相等;③④當時, 的值只能取0.其中正確的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個 5.已知二次函數(shù)的頂點坐標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個根分別是（　　　） Ａ．－１.３ B.-2

24、.3 C.-0.3 D.-3.3　 6. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點在（　 ） A．第一象限　　　B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 7.方程的正根的個數(shù)為（ ） A.0個 B.1個 C.2個. 3 個 8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為 A. B. C. 或 D. 或 二、填空題 9．二次函數(shù)的對稱軸是，則_______。 10

25、．已知拋物線y=-2（x+3）2+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_______. 11．一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點（－1，2），②當＜0時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 （只寫一個即可）。 12．拋物線的頂點為C，已知直線過點C，則這條直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為 。 13. 二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b= ,c= 。 14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中

26、心M處5米的地方，橋的高度是　　 (π取3.14).　　　　 三、解答題： 第15題圖 15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是,圖象經(jīng)過(1,-6),且與軸的交點為(0,). (1)求這個二次函數(shù)的解析式; (2)當x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0? (3)當x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大? 16.某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t（秒）符合關(guān)系式 （0

27、燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由. 17.如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D. （1）求此拋物線的解析式； （2）點P為拋物線上的一個動點，求使：5 ：4的點P的坐標。 18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負責處理）．當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸．該建材店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會

28、增加7.?5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元．設(shè)每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）． （1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量； （2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）； （3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？ （4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大．”你認為對嗎？請說明理由． 練習試題答案 一，選擇題、 1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 二、填空題、 9． 10．＜-3

29、 11．如等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15 三、解答題 15．(1)設(shè)拋物線的解析式為,由題意可得 解得 所以 (2)或-5 (2) 16．（1）由已知得，，解得當時不合題意，舍去。所以當爆竹點燃后1秒離地15米．（2）由題意得，＝，可知頂點的橫坐標，又拋物線開口向下，所以在爆竹點燃后的1.5秒至108秒這段時間內(nèi)，爆竹在上升． 17．（1）直線與坐標軸的交點A（3，0），B（0，－3）．則解得 所以此拋物線解析式為．（2）拋物線的頂點D（1，－4），與軸的

30、另一個交點C（－1，0）.設(shè)P，則.化簡得 當＞0時，得 ∴P（4，5）或P（－2，5） 當＜0時，即，此方程無解．綜上所述，滿足條件的點的坐標為（4，5）或（－2，5）． 18．（1）=60（噸）．（2），化簡得： ．（3）． 紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應定為每噸210元． （4）我認為，小靜說的不對． 理由：方法一：當月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額來說， 當x為160元時，月銷售額W最大．∴當x為210元時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對． 方法二：當月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元； 而當x為200元時，月銷售額為18000元．∵17325＜18000， ∴當月利潤最大時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對． 第 14 頁 共 14 頁