（江蘇專版）2018年高考數(shù)學二輪復習 第2部分 八大難點突破 難點5 復雜數(shù)列的通項公式與求和問題學案

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1、 難點五　復雜數(shù)列的通項公式與求和問題 (對應(yīng)學生用書第71頁) 數(shù)列在高考中占重要地位，應(yīng)當牢記等差、等比的通項公式，前n項和公式，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及常見求數(shù)列通項的方法，如累加、累乘、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法、取倒數(shù)等．數(shù)列求和問題中，對于等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和主要是運用公式；而非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的求和問題，一般用倒序相加法、通項化歸法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等．數(shù)列的求和問題多從數(shù)列的通項入手，通過分組、錯位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題． 一、數(shù)列的通項公式 數(shù)列的通項公式在數(shù)列中占有重要

2、地位，是數(shù)列的基礎(chǔ)之一，在高考中，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式以及它們的性質(zhì)是必考內(nèi)容，一般以填空題的形式出現(xiàn)，屬于低中檔題，若數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、向量、三角函數(shù)等知識點交融，難度就較大，也是近幾年命題的熱點． 1．由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項 由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項的基本思想是轉(zhuǎn)化，常用的方法： (1)an＋1－an＝f (n)型，采用疊加法． (2)＝f (n)型，采用疊乘法． (3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決． 2．由Sn與an的關(guān)系求通項an Sn與an的關(guān)系為：an＝ 【例1】　(2017·江蘇省南京市迎一模模擬)已

3、知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＋n＝2an(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求滿足不等式＞2 010的n的最小值． [解]　(1)證明：當n＝1時，2a1＝a1＋1，∴a1＝1. ∵2an＝Sn＋n，n∈N*，∴2an－1＝Sn－1＋n－1，n≥2， 兩式相減得an＝2an－1＋1，n≥2，即an＋1＝2(an－1＋1)，n≥2， ∴數(shù)列{an＋1}為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1，n∈N*； (2)bn＝

4、(2n＋1)an＋2n＋1＝(2n＋1)·2n， ∴Tn＝3·2＋5·22＋…＋(2n＋1)·2n， ∴2Tn＝3·22＋5·23＋…＋(2n＋1)·2n＋1， 兩式相減可得－Tn＝3·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n＋1)·2n＋1， ∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2， ∴＞2 010可化為2n＋1＞2 010， ∵210＝1 024,211＝2 048 ∴滿足不等式＞2 010的n的最小值為10. [點評]　利用an＝Sn－Sn－1求通項時，注意n≥2這一前提條件，易忽略驗證n＝1致誤，當n＝1時，a1若適合通項，則n＝1的情況應(yīng)并入n≥2時的通項；否則an應(yīng)

5、利用分段函數(shù)的形式表示． 二、數(shù)列的求和 常見類型及方法 (1)an＝kn＋b，利用等差數(shù)列前n項和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比數(shù)列前n項和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求{an}的前n項和； (4)an＝bn·cn，數(shù)列{bn}，{cn}分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，采用錯位相減法求和． 【例2】　(揚州市2017屆高三上學期期末)已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為An和Bn，且對任意n∈N*，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立． (1)若An＝n2，b1＝2，求Bn； (

6、2)若對任意n∈N*，都有an＝Bn及＋＋＋…＋＜成立，求正實數(shù)b1的取值范圍； (3)若a1＝2，bn＝2n，是否存在兩個互不相等的整數(shù)s，t(1＜s＜t)，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出s，t的值；若不存在，請說明理由. 【導學號：56394102】 [解]　(1)因為An＝n2，所以an＝ 即an＝2n－1， 故bn＋1－bn＝(an＋1－an)＝1，所以數(shù)列{bn}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列， 所以Bn＝n·2＋·n·(n－1)·1＝n2＋n. (2)依題意Bn＋1－Bn＝2(bn＋1－bn)，即bn＋1＝2(bn＋1－bn)，即＝2， 所以數(shù)列{bn}是以b1

7、為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝Bn＝×b1＝b1(2n－1)， 所以＝， 因為＝ ＝ 所以＋＋＋…＋ ＝，所以＜恒成立， 即b1＞3，所以b1≥3. (3)由an＋1－an＝2(bn＋1－bn)得：an＋1－an＝2n＋1， 所以當n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝2n＋2n－1＋…＋23＋22＋2＝2n＋1－2， 當n＝1時，上式也成立， 所以An＝2n＋2－4－2n，又Bn＝2n＋1－2， 所以＝＝2－， 假設(shè)存在兩個互不相等的整數(shù)s，t(1＜s＜t)，使，，成等差數(shù)列， 等價于，，成

8、等差數(shù)列，即＝＋， 即＝1＋，因為1＋＞1，所以＞1，即2s＜2s＋1， 令h(s)＝2s－2s－1(s≥2，s∈N*)，則h(s＋1)－h(huán)(s)＝2s－2＞0所以h(s)遞增， 若s≥3，則h(s)≥h(3)＝1＞0，不滿足2s＜2s＋1，所以s＝2， 代入＝＋得2t－3t－1＝0(t≥3)， 當t＝3時，顯然不符合要求； 當t≥4時，令φ(t)＝2t－3t－1(t≥4，t∈N*)，則同理可證φ(t)遞增，所以φ(t)≥φ(4)＝3＞0， 所以不符合要求． 所以，不存在正整數(shù)s，t(1＜s＜t)，使，，成等差數(shù)列． [點評]　裂項相消法求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項．從而達到求和的目的．要注意的是裂項相消法的前提是數(shù)列中的每一項均可分裂成一正一負兩項，且在求和過程中能夠前后相互抵消． 4