(京津專用)2022高考數學總復習 優(yōu)編增分練:8+6分項練10 立體幾何 理

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1、(京津專用)2022高考數學總復習 優(yōu)編增分練:8+6分項練10 立體幾何 理 1.已知a,b為異面直線,下列結論不正確的是(  ) A.必存在平面α,使得a∥α,b∥α B.必存在平面α,使得a,b與α所成角相等 C.必存在平面α,使得a?α,b⊥α D.必存在平面α,使得a,b與α的距離相等 答案 C 解析 由a,b為異面直線知,在A中,在空間中任取一點O(不在a,b上),過點O分別作a,b的平行線,則由過點O的a,b的平行線確定一個平面α,使得a∥α,b∥α,故A正確;在B中,平移b至b′與a相交,因而確定一個平面α,在α上作a,b′夾角的平分線,明顯可以作出兩條.過角平分

2、線且與平面α垂直的平面使得a,b′與該平面所成角相等,角平分線有兩條,所以有兩個平面都可以.故B正確;在C中,當a,b不垂直時,不存在平面α,使得a?α,b⊥α,故C錯誤;在D中,過異面直線a,b的公垂線的中點作與公垂線垂直的平面α,則平面α使得a,b與α的距離相等,故D正確.故選C. 2.(2018·河南省南陽市第一中學模擬)設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題中正確命題的個數為(  ) ①若m⊥α,α⊥β,則m∥β; ②若m⊥α,α∥β,n?β,則m⊥n; ③若m?α,n?β,m∥n,則α∥β; ④若n⊥α,n⊥β,m⊥β,則m⊥α. A.1 B.2

3、 C.3 D.4 答案 B 解析 對于①,若m⊥α,α⊥β,則m∥β或m?β,所以不正確; 對于②,若m⊥α,α∥β,則m⊥β,又由n?β,所以m⊥n正確; 對于③,若m?α,n?β,m∥n,則α∥β或α與β相交, 所以不正確; 對于④,若n⊥α,n⊥β,則α∥β,又由m⊥β,所以m⊥α是正確的, 綜上可知,正確命題的個數為2. 3.(2018·福建省廈門外國語學校模擬)如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E為棱BB1的中點,用過點A,E,C1的平面截去該正方體的下半部分,則剩余幾何體的正(主)視圖是(  ) 答案 A 解析 取DD1的中點F,連接AF

4、,C1F, 平面AFC1E為截面.如圖所示, 所以上半部分的正(主)視圖,如A選項所示,故選A. 4.已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是(  ) A. B.8 C. D.6 答案 A 解析 如圖所示,在棱長為2的正方體中, 題圖中的三視圖對應的幾何體為四棱錐P-ADC1B1, 其中P為棱A1D1的中點, 則該幾何體的體積 =2=2 =2×××DD1=. 5.(2018·瀘州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的表面積為(  ) A.136π B.144π C.36π D.34π 答案 D 解析 由三視圖可

5、知幾何體為四棱錐E-ABCD,直觀圖如圖所示. 其中,BE⊥平面ABCD,BE=4,AB⊥AD,AB=, C到AB的距離為2,C到AD的距離為2, 以A為原點,分別以AD,AB所在直線及平面ABCD過A的垂線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系A-xyz, 則A(0,0,0),B(0,,0),C(2,2,0),D(4,0,0),E(0,,4). 設外接球的球心為M(x,y,z), 則MA=MB=MC=MD=ME, ∴x2+y2+z2=x2+(y-)2+z2 =(x-2)2+(y-2)2+z2 =(x-4)2+y2+z2=x2+(y-)2+(z-4)2, 解得x=2,y

6、=,z=2. ∴外接球的半徑r=MA= =, ∴外接球的表面積S=4πr2=34π. 6.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠BCA=90°,∠BAC=60°,AC=4,E為AA1的中點,點F為BE的中點,點H在線段CA1上,且A1H=3HC,則線段FH的長為(  ) A.2 B.4 C. D.3 答案 C 解析 由題意知,AB=8,過點F作FD∥AB交AA1于點D,連接DH,則D為AE中點,FD=AB=4, 又==3,所以DH∥AC,∠FDH=60°, DH=AC=3,由余弦定理得 FH==,故選C. 7.我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”

7、曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個近似公式d≈ ,人們還用過一些類似的近似公式,根據π=3.141 59…判斷,下列近似公式中最精確的一個是(  ) A.d≈ B.d≈ C.d≈ D.d≈ 答案 D 解析 根據球的體積公式V=πR3=π3, 得d=,設選項中的常數為,則π=, 選項A代入得π==3.1, 選項B代入得π==3, 選項C代入得π==3.2, 選項D代入得π==3.142 857, D選項更接近π的真實值,故選D. 8.(2018·上饒模擬)在棱長為1的正方體ABC

8、D-A1B1C1D1內有兩個球O1,O2相外切,球O1與面ABB1A1、面ABCD、面ADD1A1相切,球O2與面BCC1B1、面CC1D1D、面B1C1D1A1相切,則兩球表面積之和的最大值與最小值的差為(  ) A.(2-)π B. C.(3-)π D. 答案 A 解析 設球O1,O2的半徑分別為r1,r2, 由題意得r1+r1+r2+r2=, 所以r1+r2=,令a=. 表面積和為S,所以S=4πr+4πr, 所以=r+r=r+(a-r1)2=22+, 又r1最大時,球O1與正方體六個面相切, 且max=,min=-=, 所以r1∈. 又<<, 所以當r

9、1=時,min=, 當r1=或時,max=a2-a+, 所以max-min=-a+ ==. 所以兩球表面積之和的最大值與最小值的差為(2-)π. 9.(2018·煙臺模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖右側曲線為半圓弧,則幾何體的表面積為________. 答案 3π+4-2 解析 由三視圖還原出原幾何體是一個半圓柱挖去一個三棱柱,尺寸見三視圖, S=π×1×2+2×+2××2 =3π-2+4. 10.(2018·漳州模擬)在直三棱柱A1B1C1-ABC中,A1B1=3,B1C1=4,A1C1=5,AA1=2,則其外接球與內切球的表面積的比值為________.

10、答案  解析 如圖1,分別取AC,A1C1的中點G,H,連接GH, 取GH的中點O,連接OA, 由題意,得A1B+B1C=A1C, 即△A1B1C1為直角三角形, 則點O為外接球的球心,OA為半徑, 則R=OA= =; 如圖2,作三棱柱的中截面, 則中截面三角形的內心是該三棱柱的內切球的球心, 中截面三角形的內切圓的半徑r==1,也是內切球的半徑,因為R∶r=∶2, 則其外接球與內切球的表面積的比值為=. 11.如圖所示,AB是⊙O的直徑,PA⊥⊙O所在的平面,C是圓上一點,且∠ABC=30°,PA=AB,則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________.

11、 答案 2 解析 因為PA⊥平面ABC,所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角.在Rt△PAC中,AC=AB=PA, 所以tan∠PCA==2. 12.(2018·大同、陽泉聯(lián)考)若四面體ABCD的三組對棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,給出下列結論: ①四面體ABCD每組對棱相互垂直; ②四面體ABCD每個面的面積相等; ③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°; ④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分. 其中正確結論的序號是________. 答案 ②④ 解析 ①將四

12、面體ABCD的三組對棱分別看作平行六面體的面對角線,由于三組對棱分別相等,所以平行六面體為長方體.由于長方體的各面不一定為正方形,所以同一面上的面對角線不一定垂直,從而每組對棱不一定相互垂直,①錯誤;②四面體ABCD的每個面是全等的三角形,面積是相等的,②正確;③由②可知,四面體ABCD的每個面是全等的三角形,從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個三角形內的三個內角,它們之和為180°,③錯誤;④四面體ABCD棱的中點即為長方體側面的中心,所以對棱中點連線都過長方體的中心且相互垂直平分,④正確. 13.(2018·南昌模擬)已知正三棱臺ABC-A1B1C1的上、

13、下底邊長分別為3,4,高為7,若該正三棱臺的六個頂點均在球O的球面上,且球心O在正三棱臺ABC-A1B1C1內,則球O的表面積為________. 答案 100π 解析 因為正三棱臺ABC-A1B1C1的上、下底邊長分別為3,4, 取正三棱臺的上、下底面的中心分別為E,E1, 則正三棱臺的高為h=EE1=7, 在上下底面的等邊三角形中, 可得AE=AD=3,A1E1=A1D1=4, 則球心O在直線EE1上,且半徑為R=OA=OA1, 所以=,且OE+OE1=7, 解得OE=4,所以R==5, 所以球O的表面積為S=4πR2=100π. 14.已知三棱錐O—ABC中,A,B,C三點均在球心為O的球面上,且AB=BC=1,∠ABC=120°,若球O的體積為,則三棱錐O—ABC的體積是________. 答案  解析 三棱錐O—ABC中,A,B,C三點均在球心為O的球面上,且AB=BC=1,∠ABC=120°,則AC=, ∴S△ABC=×1×1×sin 120°=,設球半徑為R,由球的體積V1=πR3=,解得R=4.設△ABC外接圓的圓心為G,∴外接圓的半徑為GA==1, ∴OG===, ∴三棱錐O —ABC的體積為 V2=S△ABC·OG=××=.

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