2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.1.1.2 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算學(xué)案（含解析）新人教版必修1

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1、2.1.1　指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(第二課時(shí)) 學(xué)習(xí)目標(biāo) ①理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念; ②掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化; ③掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì); ④培養(yǎng)學(xué)生觀察分析和抽象的能力,以及滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想. 合作學(xué)習(xí) 一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境 問題1:當(dāng)生物死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律,人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系,這個(gè)關(guān)系式應(yīng)該怎樣表示呢? 問題2:考古學(xué)家根據(jù)上式可以知道,當(dāng)生物體死亡了6000年,10000年,100000年后,它體內(nèi)碳14的含量P分別為

2、(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730.那么這些數(shù)(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730的意義究竟是什么呢?它和我們初中所學(xué)的指數(shù)有什么區(qū)別? 二、自主探索,嘗試解決 問題3:觀察以下式子,你能總結(jié)出什么規(guī)律?(a>0) ①5a10=3(a2)5=a2=a105; ②a8=(a4)2=a4=a82; ③4a12=4(a3)4=a3=a124; ④a10=(a5)2=a5=a102. 問題4:利用問題3中的規(guī)律,你能表示下列式子嗎? 453,375,5a7,nxm(x>0,m,n∈

3、N*,且n>1). 問題5:你能用方根的意義來解釋問題4中的式子嗎? 問題6:你能把問題3,4中得到的結(jié)論推廣到一般的情形嗎? 規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1). 三、信息交流,揭示規(guī)律 問題7:負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的? 問題8:你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎? 規(guī)定:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1). 問題9:你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義呢? 問題10:綜合上述問題7,8,9,如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義? 分?jǐn)?shù)指數(shù)

4、冪的意義就是: 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1),零的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義. 問題11:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中,為什么規(guī)定a>0,去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果? 問題12:既然指數(shù)的概念已從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢? 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì): 對(duì)任意的有理數(shù)r,s, (1)aras=　　　　(a>0,r,s∈R);? (2)(ar)s=　　　　(a>0,r,s∈R

5、);? (3)(ab)r=　　　　(a>0,b>0,r∈R).? 問題13:若a>0,α是一個(gè)無理數(shù),則aα該如何理解? 實(shí)數(shù)指數(shù)冪有意義,且有相同的運(yùn)算性質(zhì),即: aras=ar+s(a>0,r,s∈R); (ar)s=ars(a>0,r,s∈R); (ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 四、運(yùn)用規(guī)律,解決問題 【例1】(課本P51,例2)求值: ①823;②25-12;③(12)-5;④(1681)-34. 【例2】用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式. a3·a;a2·3a2;a3a(a>0). 【例3】計(jì)算下列各式(式中字母都是

6、正數(shù)): (1)(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56); (2)(m14n-38)8. 【例4】計(jì)算下列各式: (1)(325-125)÷425; (2)a2a·3a2(a>0). 五、變式演練,深化提高 1.計(jì)算: (1)(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5; (2)(0.0001)-14+(27)23-(4964)-12+(19)-1.5; (3)481×923; (4)23×31.5×612. 2.化簡(jiǎn)下列各式: (1)3a72a-3÷3a-83a15÷3a-3a-1; (2)a43-8a

7、13b4b23+23ab+a23÷(1-23ba)·3a; (3)[(a-32b2)-1·(ab-3)12(b12)7]13; (4)1+a-121+a-a+a-12a-1; (5)(a·3b2)-3÷b-4a-1. 六、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉 (先讓學(xué)生獨(dú)自回憶,然后師生共同總結(jié).) 1.　.? 2.　.? 3.　.? 七、作業(yè)精選,鞏固提高 課本P59習(xí)題2.1A組第2,3,4題. 參考答案 一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境 問題1:P=(12)5730. 問題2:初中所學(xué)的指數(shù)是整數(shù),而這里的指數(shù)是分?jǐn)?shù)形式. 二、自主探索,嘗試解決 問題3:①5a10=a105

8、,②a8=a82,③4a12=a124,④a10=a102的結(jié)果中a的指數(shù)2,4,3,5分別寫成了105,82,124,102,形式上變了,本質(zhì)沒變.根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié):當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí),根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式). 問題4:453=534,375=753,5a7=a75,nxm=xmn. 問題5:53的4次方根是534,75的立方根是753,a7的5次方根是a75,xm的n次方根是xmn.結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的. 三、信息交流,揭示規(guī)律 問題7:負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是a-n=1an(a≠0),n∈N*. 問題9:

9、零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是零的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義,例如0-2=102=10. 問題11:若沒有a>0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢?如(-1)13=3-1=-1,(-1)26=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果,這只說明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無意義的.因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí),切記要使底數(shù)大于零. 問題12:ar+s　ars　arbr 四、運(yùn)用規(guī)律,解決問題 【例1】解:①823=(23)23=23×23=22=4; ②25-12=(52)-12=52×(-12)=5-1=15; ③(12)-5=(2-1)-5=25=32; ④(1681)-

10、34=(23)4×(-34)=(23)-3=278. 【例2】解:a3·a=a3·a12=a3+12=a72; a2·3a2=a2·a23=a2+23=a83; a3a=(a·a13)12=(a43)12=a23. 【例3】解:(1)(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56)=[2×(-6)÷(-3)]a23+12-16·b12+13-56=4ab0=4a; (2)(m14n-38)8=(m14)8(n-38)8=m2n-3=m2n3. 【例4】解:(1)(325-125)÷425=(523-532)÷512=523-12-532-12=516-5=65-5; (2)a2a·3a2=a2a12a23=a2-12-23=a56=6a5. 五、變式演練,深化提高 1.(1)1615　(2)3147　(3)363　(4)6 2.(1)a16　(2)a　(3)a23　(4)2aa(1-a)　(5)1a 六、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉 1.分?jǐn)?shù)指數(shù)是根式的另一種寫法 2.無理數(shù)指數(shù)冪表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù) 3.掌握好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),其與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是一致的 5