（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 講重點(diǎn) 選填題專(zhuān)練 第4講 三角函數(shù)、平面向量教學(xué)案 理

《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 講重點(diǎn) 選填題專(zhuān)練 第4講 三角函數(shù)、平面向量教學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 講重點(diǎn) 選填題專(zhuān)練 第4講 三角函數(shù)、平面向量教學(xué)案 理（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講　三角函數(shù)、平面向量 調(diào)研一　三角函數(shù) ■備考工具—————————————— 1．任意角的三角函數(shù)的定義 設(shè)α是一個(gè)任意角，α的終邊上任意一點(diǎn)P(與原點(diǎn)不重合)的坐標(biāo)為(x，y)，它到原點(diǎn)的距離是r＝，則sinα＝，cosα＝，tanα＝. 2．三角函數(shù)在各象限的符號(hào) 記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．同角三角函數(shù)關(guān)系式 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝(α≠＋kπ，k∈Z)． 4．誘導(dǎo)公式的記憶規(guī)律 (1)誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限． (2)“奇”“偶”指的是誘導(dǎo)公式k·＋α中的整數(shù)k是奇

2、數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱(chēng)的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱(chēng)不變． (3)“符號(hào)看象限”指的是在k·＋α中，將α看成銳角時(shí)k·＋α所在的象限． 5．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象 函數(shù) y＝sinx cosx y＝tanx 圖象 6.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)(k∈Z) 函數(shù) 性質(zhì)　 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定義域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸：直線x＝kπ＋；對(duì)稱(chēng)中心：(kπ，0)，k∈Z 對(duì)稱(chēng)軸：直線x

3、＝kπ；對(duì)稱(chēng)中心：，k∈Z 無(wú)對(duì)稱(chēng)軸；對(duì)稱(chēng)中心：，k∈Z 最小正周期 2π 2π π 單調(diào)性 單調(diào)增區(qū)間：； 單調(diào)減區(qū)間：，k∈Z 單調(diào)增區(qū)間：[2kπ－π，2kπ]； 單調(diào)減區(qū)間：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 單調(diào)增區(qū)間：，k∈Z 最值 當(dāng)x＝2kπ－時(shí)，y取最小值－1；當(dāng)x＝2kπ＋時(shí)，y取最大值1 當(dāng)x＝2kπ＋π時(shí)，y取最小值－1；當(dāng)x＝2kπ時(shí)，y取最大值1 無(wú)最值 奇偶性 奇 偶 奇 7.y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換(A>0，ω>0) 【說(shuō)明】前一種方法第一步相位變換是向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個(gè)單位，而后一種方法

4、第二步相位變換是向左(φ>0)或向右(φ<0)平移個(gè)單位，要嚴(yán)格區(qū)分，對(duì)y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)同樣適用． 8．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì) (1)奇偶性：φ＝kπ時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)． (2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期為T(mén)＝. (3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sint和t＝ωx＋φ的單調(diào)性來(lái)研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得單調(diào)遞增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得單調(diào)遞減區(qū)間． (4)對(duì)稱(chēng)性：利用y＝si

5、nx的對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其對(duì)稱(chēng)中心． 利用y＝sinx的對(duì)稱(chēng)軸為x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求得其對(duì)稱(chēng)軸． 9．三角恒等變換中常用的公式 (1)兩角和與差的三角函數(shù)公式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(Sα＋β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(Cα＋β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(Cα－β) tan(α＋β)＝；(Tα＋β) tan(α－β)＝；(Tα

6、－β) (2)二倍角公式 sin2α＝2sinαcosα；(S2α) cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α) tan2α＝.(T2α) ■自測(cè)自評(píng)—————————————— 1．[2019·全國(guó)卷Ⅱ]下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是(　　) A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 解析：A中，函數(shù)f(x)＝|cos2x|的周期為，當(dāng)x∈時(shí)，2x∈，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故A正確；B中，函數(shù)f(x)＝|sin2x|的周期為，當(dāng)x∈時(shí)，2x∈，函數(shù)f(

7、x)單調(diào)遞減，故B不正確；C中，函數(shù)f(x)＝cos|x|＝cosx的周期為2π，故C不正確；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函數(shù)圖象知，在x≥0和x＜0時(shí)，f(x)均以2π為周期，但在整個(gè)定義域上f(x)不是周期函數(shù)，故D不正確．故選A. 答案：A 2．[2019·山西八校聯(lián)考]若cos＝，則cos＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：cos＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－. 答案：C 3．[2019·天津卷]已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函數(shù)，將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)

8、，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)．若g(x)的最小正周期為2π，且g＝，則f＝(　　) A．－2 B．－ C. D．2 解析：由f(x)為奇函數(shù)可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g(x)＝Asinωx.由g(x)的最小正周期為2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝Asinx.g＝Asin＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin2x，故f＝2sin＝. 答案：C 4．[2019·合肥調(diào)研]若將函數(shù)f(x)＝cos2x(1＋cosx)(1－cosx)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　)

9、 A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：因?yàn)閒(x)＝cos2x(1＋cosx)(1－cosx)＝cos2xsin2x＝sin22x＝－cos4x，所以g(x)＝－cos2x，所以當(dāng)－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z時(shí)，y＝g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z，故選A. 答案：A 5．[2019·山西第一次聯(lián)考]把函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列判斷錯(cuò)誤的是(　　) A．g(x)＝－sin2x＋cos2x B．函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) C．函數(shù)y＝g

10、(x)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 解析：解法一：f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，所以g(x)＝sin＝－sin2x＋cos2x＝sin，顯然A正確；令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)，所以直線x＝－＋(k∈Z)是函數(shù)y＝g(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)k＝1時(shí)，得對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝，B正確；令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)，所以點(diǎn)(k∈Z)是函數(shù)y＝g(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心，當(dāng)k＝0時(shí)，得對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)，D正確；令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)

11、誤．故選C. 解法二：f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，所以g(x)＝sin＝－sin2x＋cos2x＝sin，顯然A正確；當(dāng)x＝時(shí)，g＝sin＝sin＝－，所以B正確；當(dāng)x＝－時(shí)，g＝sin＝0，所以D正確；當(dāng)－

12、. 答案：B 7．[2019·全國(guó)卷Ⅰ]關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四個(gè)結(jié)論： ①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增 ③f(x)在[－π，π]有4個(gè)零點(diǎn) ④f(x)的最大值為2 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 解析：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，故①正確；當(dāng)＜x＜π時(shí)，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在上單調(diào)遞減，故②不正確；f(x)在[－π，π]的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)f(x)在[－π，π]只有3個(gè)

13、零點(diǎn)，故③不正確；∵y＝sin|x|與y＝|sinx|的最大值都為1且可以同時(shí)取到， ∴f(x)可以取到最大值2，故④正確．綜上，正確結(jié)論的編號(hào)是①④.故選C. 答案：C 8．[2019·全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．下述四個(gè)結(jié)論： ①f(x)在(0,2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn) ②f(x)在(0,2π)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn) ③f(x)在單調(diào)遞增 ④ω的取值范圍是 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(　　) A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 解析：如圖，根據(jù)題意知，xA≤2π＜xB， 根據(jù)圖象可知函數(shù)f(x

14、)在(0,2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以①正確；但可能會(huì)有3個(gè)極小值點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；根據(jù)xA≤2π＜xB，有≤2π＜，得≤ω＜，所以④正確；當(dāng)x∈時(shí)，＜ωx＋＜＋，因?yàn)椤堞兀?，所以＋＜＜，所以函?shù)f(x)在上單調(diào)遞增，所以③正確． 答案：D 9．[2019·北京卷]函數(shù)f(x)＝sin22x的最小正周期是________． 解析：∵f(x)＝sin22x＝，∴f(x)的最小正周期T＝＝. 答案： 10．[2019·江蘇卷]已知＝－，則sin的值是________． 解析：通解：＝＝－，解得tanα＝2或tanα＝－，當(dāng)tanα＝2時(shí)，sin2α＝＝＝，cos2α＝＝＝－，此時(shí)si

15、n2α＋cos2α＝；同理當(dāng)tanα＝－時(shí)，sin2α＝－，cos2α＝，此時(shí)sin2α＋cos2α＝，所以sin＝(sin2α＋cos2α)＝. 優(yōu)解：＝＝－， 則sinαcos＝－cosαsin， 又＝sin＝sincosα－cossinα＝sincosα，則sincosα＝，則sin＝sin＝sincosα＋cossinα＝sincosα＝×＝. 答案： 調(diào)研二　平面向量 ■備考工具—————————————— 一、平面向量的線性運(yùn)算與有關(guān)定理 1．向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平

16、行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫作a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 (1)結(jié)合律： λ(μa)＝λμa＝μ(λa)； (2)第一分配律： (λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)第二分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb 2．向量中的有關(guān)定理 (1)向量共線的判定定理和性質(zhì)定理： ①判定定理：

17、a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得b＝λa，則向量b與a共線． ②性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. ③A，B，C是平面上三點(diǎn)，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線AB上，則存在實(shí)數(shù)λ，使得＝＋λ(如圖所示)． (2)平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 3．平面向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算 (1)平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示： 運(yùn)算 坐標(biāo)表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2

18、，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 數(shù)乘 已知a＝(x1，y1)，則λa＝(λx1，λy1)，其中λ是實(shí)數(shù) 任一向量的坐標(biāo) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1) (2)平面向量共線的坐標(biāo)表示： 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 二、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 1．向量的夾角 (1)夾角的定義和范圍： (2)兩向量的夾角分別是銳角與鈍角的充要條件： ①a與b的夾角是銳角?a·b>0且a與b不共線． ②a與b的夾角是鈍角?a·b<0且a與b不共

19、線． 2．平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念 (1)數(shù)量積的定義，已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：0·a＝0. (2)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積． 3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)a⊥b?a·b＝0. (3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|. 特別地，a·a＝|a|2或

20、|a|＝. (4)cosθ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 4．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ，則 (1)a·b＝x1x2＋y1y2. (2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝. (3)cosθ＝. (4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. ■自測(cè)自評(píng)—————————————— 1．[2019·全國(guó)卷Ⅱ]已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，則·＝(　　) A．－3　　　　　　 B．－2 C．2 D．3 解析：因?yàn)椋剑?1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(

21、1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故選C. 答案：C 2．[2019·武昌調(diào)研]已知向量a＝(2,1)與b＝(2，x)不平行，且滿足(a＋2b)⊥(a－b)，則x＝(　　) A．－ B. C．1或－ D．1或 解析：因?yàn)?a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因?yàn)橄蛄縜＝(2,1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故選A. 答案：A 3．[2019·洛陽(yáng)聯(lián)考]在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且＝2，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)

22、．若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是(　　) A．(0,1) B. C. D. 解析：通解：＝x＋(1－x)＝x(－)＋，即－＝x(－)，∴＝x， ∴＝x.∵＝2，∴＝3，則0

23、y)，則(x－1)2＋(y－1)2＝2，點(diǎn)(x，y)在以點(diǎn)(1,1)為圓心、為半徑的圓上，|d|表示點(diǎn)(x，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故|d|的取值范圍為[0,2]． 答案：A 5．[2019·福州質(zhì)量抽測(cè)]已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，則△OBC的面積為(　　) A. B．3 C．1 D．2 解析：由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||·cos∠BAC＝||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O(shè)為△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故選C. 答案：C 6．[2019·全國(guó)

24、卷Ⅲ]已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，則cos〈a，c〉＝__________. 解析：設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，則c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝. 答案： 7．[2019·浙江卷]已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1.當(dāng)每個(gè)λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1時(shí)，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________． 解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖， 則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(

25、λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以當(dāng)時(shí)，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此時(shí)|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，則|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2. 答案：0　2 8．[2019·江西五校聯(lián)考]設(shè)向量a＝(3，－4)，a＋b＝(t,8)，c＝(－1，－1)，若b∥c，則t＝________. 解析：∵a＝(3，－4)，a＋b＝(t,8)，∴b＝(t－3,12)，又b∥c，∴(t－3)(－1)＝12×(－1)，得t＝15. 答案：15 調(diào)研三　

26、解三角形 ■備考工具—————————————— 1．正、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R (其中R是△ABC外接圓的半徑) a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC 變形形式 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝； a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； asinB＝bsinA； bsinC＝csinB； asinC＝csinA； ＝2R cosA＝； cosB＝； cosC＝ 2.三角形的面積公式 設(shè)△ABC的三邊

27、為a，b，c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為A，B，C，其面積為S. (1)S＝ah(h為BC邊上的高)； (2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB； (3)S＝. 3．三角形中的一些重要結(jié)論 (1)在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然． (2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊． (3)三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式： sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC； tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos； cos＝sin. (4)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC. (5)在△ABC中，A>B?sinA>sinB?c

28、osAcosB，sinB>cosC，sinC>cosA等． 4．解三角形實(shí)際問(wèn)題中常用的術(shù)語(yǔ) 術(shù)語(yǔ)名稱(chēng) 術(shù)語(yǔ)意義 圖形表示 仰角與俯角 在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫作俯角 方位角 從某點(diǎn)的正北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角叫作方位角，方位角的范圍是(0°，360°) 方向角 正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度 北偏東m°

29、 南偏西n° 坡角 坡面與水平面的夾角 設(shè)坡角為α，坡度為i，則i＝＝tanα 坡度 坡面的垂直高度h和水平寬度l的比 ■自測(cè)自評(píng)—————————————— 1．[2019·湖南四校聯(lián)考]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且＋＝1，則C＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由正弦定理及＋＝1，得＋＝1，整理可得a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理知cosC＝，所以cosC＝，又C∈(0，π)，所以C＝，故選B. 答案：B 2．[2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)一]在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，a＋2，a＋4，最小角的余弦值為，則這個(gè)三角形

30、的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：由條件知長(zhǎng)為a的邊對(duì)應(yīng)的角最小，設(shè)為A，則由余弦定理，得cosA＝＝，解得a＝3或a＝－2(舍去)，則三邊長(zhǎng)分別為3,5,7，且sinA＝，所以△ABC的面積S＝×5×7×＝，故選A. 答案：A 3．[2019·福州質(zhì)檢]在△ABC中，B＝30°，BC＝3，AB＝2，點(diǎn)D在邊BC上(與B，C均不重合)，點(diǎn)B，C關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為B′，C′，則△BB′C′的面積的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：由余弦定理得，AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcosB＝9＋12－2×3×2×＝3，∴AC＝，∴AC2＋BC2＝

31、AB2，∴AC⊥BC. ∵CC′∥BB′，∴點(diǎn)C′到直線B′B的距離等于點(diǎn)C到直線BB′的距離， ∴S△C′B′B＝S△CBB′. 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0)，B(3,0)，A(0，)． 設(shè)直線AD的方程為y＝kx＋， 則點(diǎn)B到直線AD的距離d＝， ∴|BB′|＝2d＝. ∵BB′⊥AD，∴直線BB′的方程為y＝－(k－3)，即x＋ky－3＝0， ∴點(diǎn)C(0,0)到直線BB′的距離d′＝， ∴S△C′B′B＝S△CBB′＝××＝. 令k＋1＝t，則k＝， ∵k<－，∴k＋1<0，即t<0， ∴S△C

32、′B′B＝＝＝＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)－t＝－，即t＝－2時(shí)，S△C′B′B取得最大值，為，故選D. 答案：D 4．[2019·安徽示范高中聯(lián)考]在△ABC中∠ABC＝90°，延長(zhǎng)AC到D，使得CD＝AB＝1，若∠CBD＝30°，則AC＝________. 解析：設(shè)AC＝x(x>0)，在△BCD中，由正弦定理得＝，所以BD＝2sin∠BCD， 又sin∠BCD＝sin∠ACB＝，所以BD＝. 在△ABD中，(x＋1)2＝1＋2－2··cos(90°＋30°)， 化簡(jiǎn)得x2＋2x＝，即x3＝2，故x＝，故AC＝. 答案： 5．[2019·南昌一模]已知銳角A滿足方程3cosA－8tanA＝

33、0，則cos2A＝________. 解析：由題意得，3cos2A－8sinA＝0，所以3sin2A＋8sinA－3＝0，解得sinA＝或sinA＝－3(舍去)，所以cos2A＝1－2sin2A＝. 答案： 6．[2019·浙江卷]在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D在線段AC上．若∠BDC＝45°，則BD＝________，cos∠ABD＝________. 解析：在Rt△ABC中，易得AC＝5，sinC＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD＝×＝，sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCD·sin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝. 答案：　 18