《中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題六 二次函數(shù)的綜合探究(壓軸題)類型4 針對(duì)訓(xùn)練》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題六 二次函數(shù)的綜合探究(壓軸題)類型4 針對(duì)訓(xùn)練(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題六 二次函數(shù)的綜合探究(壓軸題)類型4 針對(duì)訓(xùn)練
1.在平面直角坐標(biāo)系中xOy中,正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如圖的方式放置.點(diǎn)A1,A2,A3,…,An和點(diǎn)C1,C2,C3,…,Cn分別落在直線y=x+1和x軸上.拋物線L1過點(diǎn)A1,B1,且頂點(diǎn)在直線y=x+1上,拋物線L2過點(diǎn)A2,B2,且頂點(diǎn)在直線y=x+1上,…,按此規(guī)律,拋物線Ln過點(diǎn)An,Bn,且頂點(diǎn)也在直線y=x+1上,其中拋物線L2交正方形A1B1C1O的邊A1B1于點(diǎn)D1,拋物線L3交正方形A2B2C2C1的邊A2B2于點(diǎn)D2,…,拋物線L
2、n+1交正方形AnBnCnCn-1的邊AnBn于點(diǎn)Dn(其中n≥2且n為正整數(shù)).
(1)直接寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo):B1 (1,1),B2 (3,2),B3_(7,4)_ _;
(2)寫出拋物線L2,L3的解析式,并寫出其中一個(gè)解析式的求解過程,再猜想拋物線Ln的頂點(diǎn)坐標(biāo) (3×2n-2-1,3×2n-2);
(3)① 設(shè)A1D1=k1·D1B1,A2D2=k2·D2B2,試判斷k1與k2的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
②點(diǎn)D1,D2,…,Dn是否在一條直線上?若是,直接寫出這條直線與直線y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
解:(1)B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4).
3、(2)拋物線L2,L3的解析式分別為y2=-(x-2)2+3,y3=-(x-5)2+6.
拋物線L2的解析式的求解過程:
對(duì)于直線y=x+1,設(shè)x=0,可得y=1,∴A1(0,1).
∵四邊形A1B1C1O是正方形,
∴C1(1,0).又∵點(diǎn)A2在直線y=x+1上,
∴可得點(diǎn)A2(1,2),又∵B2的坐標(biāo)為(3,2),
∴拋物線L2的對(duì)稱軸為直線x=2,
∴拋物線L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),
設(shè)拋物線L2的解析式為y=a(x-2)2+3,
∵L2過點(diǎn)B2(3,2),∴當(dāng)x=3時(shí),y=2,
∴2=a×(3-2)2+3,解得a=-1,
∴拋物線L2的解析式為y=-(x-2)
4、2+3.
拋物線L3的解析式的求解過程:
∵B3的坐標(biāo)為(7,4),同上可求得點(diǎn)A3的坐標(biāo)為(3,4),
∴拋物線L3的對(duì)稱軸為直線x=5,
∴拋物線L3的頂點(diǎn)為(5,6).
設(shè)拋物線L3的解析式為y=a(x-5)2+6,
∵L3過點(diǎn)B3(7,4),∴當(dāng)x=7時(shí),y=4,
∴4=a×(7-5)2+6,解得a=-,
∴拋物線L3的解析式為y=-(x-5)2+6.
猜想拋物線Ln的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3×2n-2-1,3×2n-2).
猜想過程:
方法1:可由拋物線L1,L2,L3,…的解析式為y1=-2(x-)2+,y2=-(x-2)2+3,y3=-(x-5)2+6,…,歸納總
5、結(jié).
方法2:可由正方形AnBnCnCn-1頂點(diǎn)An,Bn的坐標(biāo)規(guī)律An(2n-1-1,2n-1)與Bn(2n-1,2n-1),再利用對(duì)稱性可得拋物線Ln的對(duì)稱軸為直線x=,即x==3×2n-2-1.又∵頂點(diǎn)在直線y=x+1上,
∴可得拋物線Ln的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3×2n-2-1,3×2n-2);
(3)①k1與k2的數(shù)量關(guān)系為k1=k2.
理由如下:同(2)可求得L2的解析式為y=-(x-2)2+3,
當(dāng)y=1時(shí),1=-(x-2)2+3,解得x1=2-,x2=2+,∴A1D1=2-=(-1),
∴D1B1=1-(2-)=-1,
∴A1D1=·D1B1,即k1=.
同理可求得A2D
6、2=4-2=2(-1),
D2B2=2-(4-2)=2-2=2(-1),
∴A2D2=·D2B2,即k2=,∴k1=k2.
②∵由①知,k1=k2,
∴點(diǎn)D1,D2,…,Dn在一條直線上;
∵拋物線L2的解析式為y=-(x-2)2+3,
∴當(dāng)y=1時(shí),x=2-,∴D1(2-,1);
同理,D2(5-2,2),
∴設(shè)直線D1D2的解析式為y=kx+b(k≠0),
則解得
∴直線D1D2的解析式為y=x+,
∴解得
這條直線與直線y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).
2.在平面直角坐標(biāo)系中,有一組有規(guī)律的點(diǎn):
A1(0,1),A2(1,0),A3(2,1),A4(3,0
7、),A5(4,1),….依此規(guī)律可知,
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有點(diǎn)An (n-1,1),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有點(diǎn)An(n-1,0).
拋物線C1經(jīng)過A1,A2,A3三點(diǎn),拋物線C2經(jīng)過A2,A3,A4三點(diǎn),拋物線C3經(jīng)過A3,A4,A5三點(diǎn),…,拋物線Cn經(jīng)過An,An+1,An+2三點(diǎn).
(1)直接寫出拋物線Cn的解析式;
(2)若點(diǎn)E(e,f1),F(xiàn)(e,f2)分別在拋物線C27,C28上,當(dāng)e=29時(shí),請(qǐng)判斷△A26EF是什么形狀的三角形并說明理由;
第2題圖
(3)若直線x=m分別交x軸,拋物線C2 017,C2 018于點(diǎn)P,M,N,作直線A2 018 M,A2 018 N,當(dāng)∠
8、PA2 018M=45°時(shí),求sin∠PA2 018N的值.
解:(1)根據(jù)頂點(diǎn)式容易求出C1,C2,C3,C4的解析式分別為:
y1=(x-1)2;
y3=(x-3)2;
……
y2=-(x-2)2+1;
y4=-(x-4)2+1;
……
可以發(fā)現(xiàn)這組拋物線解析式的特點(diǎn):
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),yn=(x-n)2;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),yn=-(x-n)2+1.
(2)△A26EF是等腰直角三角形.如答圖1,
由一般到特殊,可得拋物線C27的解析式為y27=(x-27)2,且過點(diǎn)A27,A28,A29 ,拋物線C28的解析式為y28=-(x-28)2+1,且過點(diǎn)A28,A29,A3
9、0.∵點(diǎn)E(e,f1),F(xiàn)(e,f2)分別在拋物線C27,C28上,e=29,
∴f1=(29-27)2=4, f2=-(29-28)2+1=0,
∴點(diǎn)E(e,f1),F(xiàn)(e,f2)坐標(biāo)分別為E(29,4),F(xiàn)(29,0);
∵A26的坐標(biāo)是(25,0),點(diǎn)F(29,0)與點(diǎn)A30重合,
∴A26A30=29-25=4,EF=4,且與y軸平行,
∠EF A26=90°,
∴△A26EF是等腰直角三角形.
圖1
圖2
第2題答圖
(3)由(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知,拋物線C2 017,C2 018的解析式分別為y2 017=(x-2 017)2,y2 018=-(x-
10、2 018)2+1.點(diǎn)A2 018坐標(biāo)為(2 017,0).
由(2)的研究經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),可以退回到簡單的拋物線C3,C4的情況來研究.
如答圖2,在點(diǎn)A2 018(2 017,0)的左側(cè),當(dāng)m=2 016時(shí),M(2 016,1),此時(shí)有∠PA2 018M=45°,N(2 016,-3),sin∠PA2 018N=;
在點(diǎn)A2 018(2 017,0)的右側(cè),當(dāng)m=2 018時(shí),M(2 018,1),此時(shí)有∠PA2 018M=45°,N(2 018,1),sin∠PA2 018N=.
綜上,當(dāng)∠PA2 018M=45°時(shí),sin∠PA2 018N=或.
3.(xx·江西模擬)已知拋物線C
11、n:yn=-x2+(n-1)x+2n(其中n為正整數(shù))與x軸交于An,Bn兩點(diǎn)(點(diǎn)An在Bn的左邊),與y軸交于點(diǎn)Dn.
(1)填空:①當(dāng)n=1時(shí),點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 (-2,0),點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2,0);
②當(dāng)n=2時(shí),點(diǎn)A2的坐標(biāo)為 (-2,0),點(diǎn)B2的坐標(biāo)為 (4,0);
(2)猜想拋物線Cn是否經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn),若經(jīng)過請(qǐng)寫出該定點(diǎn)坐標(biāo)并給予證明;若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由;
(3)①判斷△A2D2B4的形狀;
②猜想∠AnDnBn2的大小,并給予證明.
解:(1)①n=1時(shí),拋物線解析式為y=-x2+2,
當(dāng)y=0時(shí),-x2+2=0,解得x1=2,x2=-2,
∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為
12、(-2,0),點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2,0);
②當(dāng)n=2時(shí),拋物線解析式為y=-x2+x+4,
當(dāng)y=0時(shí),-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=4,
∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(4,0).
(2)yn=-x2+(n-1)x+2n=-(x+2)(x-2n),
當(dāng)x=-2時(shí),y=0,
所以拋物線Cn經(jīng)過定點(diǎn)(-2,0).
(3)①n=2,拋物線解析式為y=-x2+x+4,
當(dāng)x=0時(shí),y=4,則D2(0,4),
∵n=4時(shí),拋物線解析式為y=-x2+3x+8,
當(dāng)y=0時(shí),-x2+3x+8=0,解得x1=-2,x2=8,
∴點(diǎn)B4的坐標(biāo)為(8,0).
∵
13、A2D=22+42=20,B4D=82+42=80,B4A=102=100,
∴A2D+B4D=B4A,
∴△A2D2B4的形狀為直角三角形,∠A2D2B4=90°;
②∠AnDnBn2=90°.理由如下:
當(dāng)y=0時(shí),yn=-(x+2)(x-2n)=0,
解得x1=-2,x2=2n,
∴點(diǎn)An的坐標(biāo)(-2,0),點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為(2n,0);
∴點(diǎn)Bn2的坐標(biāo)為(2n2,0),
而Dn(0,2n),
∵AnD=(2n)2+22=4n2+4,Bn2D=(2n2)2+4n2=4n4+4n2,Bn2A=(2n2+2)2=4n4+8n2+4,
∴AnD+Bn2D=Bn2A,
∴△AnDnBn2為直角三角形,∠AnDnBn2=90°.