七年級上冊第一章 走進數(shù)學(xué)世界精講精練(2)(含答案)

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1、走進數(shù)學(xué)世界 【引言】 中學(xué)生朋友們，祝賀你們跨進了蘇中網(wǎng)校，數(shù)學(xué)世界歡迎你。 蘇中網(wǎng)校將結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的生活實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索、交流去獲取知識，建立數(shù)學(xué)模型，形成解題技能，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，掌握必要的基礎(chǔ)知識，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識與能力。我們將在輕松、愉快的氣氛中與數(shù)學(xué)交朋友，學(xué)會去分析生活中的有趣的數(shù)學(xué)問題，了解宇宙之大，粒子之微，驚嘆火箭之速，化工之巧，探索生物之謎，地球之變，讓我們走進數(shù)學(xué)世界去了解數(shù)學(xué)的奧秘。誠然我們從小學(xué)已經(jīng)開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科，知道了整數(shù)和分?jǐn)?shù)，學(xué)會了加、減、乘、除；認(rèn)識了三角形、長

2、方形、正方形、圓以及長方體、正方體、圓柱體和球體等圖形，數(shù)學(xué)無處不在，數(shù)學(xué)伴我們成長。下面我們準(zhǔn)備了十個例題，考查一下你的思維，是不是很聰明？ 【典型例題分析】 例1． 李白買酒歌 李白街上走，提壺去買酒， 遇店加一倍，見花喝一斗， 三遇店和花，喝光壺中酒， 試問壺中原有多少酒？ 算術(shù)頭腦分析：（倒推法）喝光壺中酒第三次見花前應(yīng)有酒1斗第三次遇店前應(yīng)有酒斗第二次見花前應(yīng)有酒（+1）斗第二次遇店前應(yīng)有酒（+1）斗第一次見花前應(yīng)有酒[（+1）+1]斗第一次遇店前應(yīng)有酒 [（+1）+1]斗，此即壺里原有的酒。 解1： [（+1）+1]=(斗) 答：略

3、 說明：算術(shù)方法注重的是結(jié)論，運用例推的思維方法就可以解決李白買酒的數(shù)學(xué)問題，其實我們也有一些聰明的孩子已經(jīng)掌握了代數(shù)的方法。 代數(shù)頭腦分析 代數(shù)方法是用字母來代替數(shù)，順著讀題的順序把每次買酒的數(shù)量用一個含字母的式子來表示，下面我們具體用分析如下：設(shè)壺中原有酒x斗第一次遇店后，壺中酒變?yōu)?x斗第一次見花后，壺中酒變?yōu)椋?x-1）斗第二次遇店后，壺中酒為2（2x-1）斗第二次見花后，壺中酒變?yōu)?（2x-1）-1=（4x-3）斗第三次遇店后為2（4x-3）斗第三次見花后為2（4x-3）-1=0 解2：8x-7=0，得斗 答：（略） 例2．我國四大發(fā)明之一的黑火藥，它所用的原料是硫磺，硝酸

4、鉀和木炭，其比例是2∶15∶3，要配制這種火藥640克，三種原料應(yīng)各取多少克？ 分析：在這個問題中，黑火藥是一個整體，它包含三種物質(zhì)硫磺、硝酸鉀和木炭。 用算術(shù)頭腦分析：三種原料混合在一起共重640克，由比例的性質(zhì)知： 硫磺占，即（克） 硝酸鉀占，即（克） 木炭占，即（克） 答：三種原料各取64克，480克，96克。 用代數(shù)頭腦分析：在比例問題中，通常設(shè)每一份為x 根據(jù)題意得：2x+15x+3x=640，解得x=32 所以2x=64（克） 15x=480（克） 3x=96（克） 答：（略） 例3．時鐘大家都很熟悉，請你觀察并計算一下，在兩點和三點之間，

5、時鐘上的分針和時針重合的時刻。 分析：針面是圓的，可以用兩種計時單位來計算。 解法一：把鐘面的圓盤邊緣分成60格，分針每分鐘走1格，時針每分鐘走格；設(shè)在兩點x分時，時針和分針重合。這時分針走了x格，時針走了x格，重合時時針比分針少走了10格（時針是從第10個格出發(fā)走的）。由題意得x-x=10，解得x=， 答：在兩點分時，時針與分針重合。 解法二：由于時針、分針是繞圓心旋轉(zhuǎn)，分針60分鐘可旋轉(zhuǎn)一圈360°，那么分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)度，設(shè)在兩點x分時，時針和分針重合。這時分針轉(zhuǎn)了6x度，時針轉(zhuǎn)了x度，重合時時針比分針少轉(zhuǎn)了60度（時針是從鐘面上2處開始旋轉(zhuǎn)的）由題意得，解得，答：

6、（略）。 同學(xué)們，你們可以仿造上面的例題編一個在三點和四點之間，分針和時針成一條直線的應(yīng)用題，再試著求一求，你感到難不難？ 例4．萊蒙托夫是俄國著名的詩人，愛好數(shù)學(xué)。有一次，他給一些軍官表演猜數(shù)游戲。他請一名軍官隨便想好一個數(shù)，不要說出來，然后請這個軍官將想好的這個數(shù)加上25，再加上125，減去37，再減去最初想好的這個數(shù)，把得到的數(shù)乘以5，最后再除以2，這時，萊蒙托夫說，我可以猜出你算出的結(jié)果，他問那個軍官：“此數(shù)是282.5對嗎？”那個軍官非常吃驚，因為萊蒙托夫并不知道他想的是什么數(shù)，卻得到了和他完全一樣的結(jié)果。奧秘在哪里呢？請你用字母表示這個數(shù)，就能解開這個謎。 解：設(shè)那個軍官想好

7、的數(shù)為a 由題意得：（a+25+125-37-a）×5÷2=282.5 例5．托爾斯泰的割草問題 割草隊要收割兩塊草地，其中一塊比另一塊大1倍，全隊在大的一塊草地上割了一上午，到了下午就分成兩半，一半人繼續(xù)留在大塊草地上，到晚上正好把大塊草地的草割完。另一半人轉(zhuǎn)移到小塊草地上，到了晚上還未割完，還剩下一小塊。第二天，這剩下的一小塊由一個割草隊員花了一整天剛好割完。問這個割草隊共有幾人？ 算術(shù)頭腦分析：在大塊草地上割草隊全體割了半天，全隊的一半人又割了半天，這就是，這一半人要花3個半天收割完這大塊草地。也就是說，全隊一半的人在半天時間內(nèi)收割了大塊草地的。由于大塊草地比小塊草地大一倍，

8、所以在小塊草地上，半隊人割半天后剩下的草地為大塊草地的。由于這剩下的一小塊地正好由一個割草隊員割完，即一個割草隊員一天可割大塊草地的。而全隊人在一天中共割了大塊草地的，所以割草隊的總?cè)藬?shù)為。 我們?nèi)绻脠D解法也很方便，如右圖： 大塊草地 小塊草地 代數(shù)頭腦分析： 設(shè)割草隊人數(shù)為x，每人每天割草面積為a，由題意可知： 大塊草地面積為： 小塊草地面積為： 由于大塊草地比小塊草地大一倍，故有： 兩邊都除以（>0），解得x=8 答：割草隊共有8人。 例6．立達中學(xué)第5中隊的少先隊員們?nèi)ミ\河公園植樹。已知樹苗的成活率在75%—80%

9、之間，為了確保1200棵樹成活，第5中隊的少年隊員們，最少要栽種多少棵樹苗？ 分析：樹苗的成活率在75%到80%之間，那么也就是說如果成活率低需要的樹苗就多，需1600棵；如果成活率高，需要的樹苗就少，需1500棵。因此為了確保1200棵樹成活，就要細(xì)心呵護小樹苗，讓成活率達到最高時，栽種的最少樹苗為1500棵。 例7．一幢八層樓房，由第一層到第二層有21級臺階，以后每上一層少2級臺階，求小強由第三層到達第八層共走了多少級臺階？ 分析：上樓走樓梯與種樹的道理一樣 由一層到八層共有7個樓梯，它們是： 21+19+17+15+13+11+9 由第三層

10、到達第八層共走了 17+15+13+11+9=65（級） 注意：由于缺乏生活經(jīng)驗，可能會出現(xiàn)走8個樓梯的錯誤。 例8．果子成熟后，從樹上落到地面。它落下的高度與經(jīng)過的時間有下面的關(guān)系： 時間t(秒) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 …… 高度h(米) 5×0.25 5×0.36 5×0.49 5×0.64 5×0.81 5×1 …… 請你猜測一下用t表示h的公式。并用公式計算一下果子經(jīng)過0.55秒落到地上，這個果子離地面的高度是多少米？（精確到0.01） 分析：通過列表給出的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：5×0.25=5×0. 52

11、 5×0.36= 5×0. 62 …… ∴公式h=5t2 當(dāng)t=0.55秒時，高度h=5×0. 552=1.5125≈1.51（米） 請同學(xué)們自己來完成解題過程，要注意表述完整、清晰。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 例9．將正方體用刀切去一塊，可得到下列哪些圖形？不能得到的圖形是哪一個？ 分析：這是一道空間想象能力的題目，要通過觀察，實踐、摸索、總結(jié)，才能夠全面地給出答案。我們不注重你的結(jié)論，而更看重的是你思考的過程，實踐出真知，讓我們動手，動腦，試一試吧！ 例10．閱讀科學(xué)家的故事。

12、哥德巴赫猜想與陳景潤 早在1742年6月7日數(shù)學(xué)家哥德巴赫寫信告訴歐拉，說他想發(fā)表一個猜想：任何一個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和。同年6月30日歐拉給他回信說：每一個偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信這個論斷是完全正確的。 我們可以驗證這個結(jié)論，例如： 6=3+3； 8=3+5； 10=3+7=5+5； 12=5+7； 14=3+11； 16=3+13=5+11； 18=5+13=7+11； 20=3+17=7+13； 22=3+19=5+17=11+11； 24=5+19=7+17=11+13； 26=3+23=5+21=7+19=13+13；

13、 …… 同學(xué)們也可自己試一試，任意取一個偶數(shù)（例如1000，1998），將它寫成兩個素數(shù)之和。 有人對一個一個偶數(shù)都進行了驗算，一直算到3億多，都表明這個猜想是對的，但是這還不能說明哥德巴赫猜想對于全部大偶數(shù)都是正確的，它的正確性還有待于研究。 歐拉和哥德巴赫一生都沒能證明這個論斷，以后的200年里，也沒有哪位數(shù)學(xué)家給出證明。因此，直到今日，這只能稱為一個猜想，這個猜想也就是著名的哥德巴赫猜想。這是一個世界上有名的難題，被譽為數(shù)學(xué)王冠上的一顆明珠。1900年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，提出了23個他認(rèn)為最重要的沒有解決的數(shù)學(xué)問題，這23個問題預(yù)

14、示著20世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的方向，許多數(shù)學(xué)家分別在解決這些問題方面作了巨大的努力，取得了豐碩的成果，哥德巴赫猜想問題就是希爾伯特第8問題（素數(shù)問題）的一部分。 我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤潛心研究了一系列著名的數(shù)論問題，特別是在哥德巴赫猜想問題的研究上，得到了目前世界上最好的結(jié)果，1966年5月，他證明了：每一個充分大的偶數(shù)都可以表示為一個素數(shù)和一個不超過2個素因子的積的和。 這個結(jié)果就是國際上公認(rèn)的以陳景潤的名字命名的陳氏定理。陳景潤寫出的（1，2）的證明長達200頁，他的證明引起國際數(shù)學(xué)界的關(guān)注，稱他的論文是解析數(shù)論的名作，是篩法的光輝頂點，是對研究哥德巴赫猜想的重大貢獻。 至今為止，對哥德巴赫猜

15、想的研究還沒有結(jié)束，還有從（1，2）到（1，1）這最艱難的一步。英國數(shù)學(xué)家哈代（1877—1947）1921年在哥本哈根數(shù)學(xué)會上說：“哥德巴赫猜想可能是沒有解決的數(shù)學(xué)問題中最困難的一個”?，F(xiàn)在這顆皇冠上的明珠正在峰頂上閃耀，但她只屬于那些勤奮踏實、不畏艱險、勇于攀登的攀登者。 【同步練習(xí)】 1． 小華買了60分和80分的郵票共10枚，花了7元2角，那么60分和80分的郵票各買了幾枚？ 2． 銀行計算利息是存入的錢數(shù)（本金）與存入的時間數(shù)（期數(shù)）及每期的利率的積。某人將1萬元按一年定期儲蓄存入銀行，月利率是1.88‰（讀作千分之一點八八），到期后交利息稅20%，問此人最后可

16、得利息為多少元？ 3． 運用加、減、乘、除四種運算，如何由四個數(shù)2，7，10，4（每個數(shù)只能用一次）得到24，你能想出幾個算式？寫出來。 4． 今年5月1日是星期三，你能否推算出今年10月1日是星期幾？ 5． 如圖，線與線的交點個數(shù)由1+2+3+4+5得15個， （1） 圖中的三角形個數(shù)為多少個？ （2） 是點多呢？還是三角形多？ （3） 你能寫出數(shù)三角形個數(shù)的方法嗎？如果再增加一排，會有多少個三角形呢？ 1 2 3 4 5 6． 電影院的座位數(shù)如下表所示： （1） 如果電影院有20排座位，那么電影院共有多少座位。

17、 每排座位數(shù) 排 數(shù) 2 18 1 3 4 5 20 22 24 26 （2） 記為第n排的座位數(shù)，試用n的代數(shù)式表示。 7． 某中隊48人去游樂場游覽，游樂場售票處規(guī)定：門票一人券每張10元，十人券每張70元，他們動腦筋想出了一種購買門票花費最少的辦法，請你想一想最少要花多少元？ 8． “從1999年11月1日起，全國儲蓄存款開始征收利息稅，利息稅的稅率為20%（即儲蓄利息的20%，由各銀行儲蓄點代扣代收）”，某人在2002年1月5日存入人民幣30000元，年利率為2.25%，一年到期后應(yīng)繳納利息稅多少元？

18、 9． 某服裝店同時賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計算，其中一套盈利20%，另一套虧本20%，問這次出售服裝，是賺錢還是賠錢？ 10．媽媽讓小明給客人燒水沏茶。他計算了一下時間，洗水壺需用1分，燒開水需用15分，洗茶壺需用1分，洗茶杯需用1分，拿茶葉需用2分。小明估算了一下，完成這些工作需花20分。為了使客人早喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分就能沏茶了？ 【練習(xí)答案】 1． 買60分郵票4枚，80分郵票6枚 2． 180.48元 3． （10-2）×（7-4）； 2×4×（10-7）； 7×（4÷2）+10；等

19、4． 今年10月1日是星期二 5． （1）共計27個 （2）此圖中三角形的個數(shù)多 （3）數(shù)三角形的個數(shù)要掌握規(guī)律，從小到大來數(shù) 有一個小三角形的有1+3+5+7=16個 由4個小三角形組成的有1+2+3+1=7個 由9個小三角形組成的有1+2=3個 由16個小三角形組成的有1個 如果再增加一排，會有48個 6．（1）740 （2） 7．買五張十人券共花費350元，如果把多余的兩張再帶兩個人進游樂場，收每人7元的話，只要花費336元。 8． 135元 9． 原價分別為140元和210元，共計350元，現(xiàn)兩套賣得168×2=336（元）因此賠了。 10．16分鐘。這樣安排， 洗水壺（1分）燒開水（15分） 利用燒開水同時：洗茶壺（1分）洗茶杯（1分）拿茶葉（2分）。