2020屆高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)階段性測(cè)試題六 數(shù)列 北師大版

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1、階段性測(cè)試題六(數(shù)列) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分． 滿分150分．考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共50分) 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(2020·洛陽一模)在等比數(shù)列{an}中，a2020＝8a2020，則公比q的值為(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．8 [答案]　A [解析]　∵a2020＝8a2020， ∴q3＝＝8，∴q＝2. 2．(2020·濰坊3月聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，已知S6＝2，S9＝

2、5，則S15等于(　　) A．15 B．30 C．45 D．60 [答案]　A [解析]　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則， 解得， 所以S15＝15×(－)＋×＝15. 3．(2020·淮南模擬)等比數(shù)列{an}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，且a1>0，則a3等于(　　) A．3 B. C．4　　　 D. [答案]　C [解析]　設(shè)公比為q，則a5－a1＝a1(q4－1)＝15. ① a4－a2＝a1(q3－q)＝6. ② 兩式相除得＝，解得q＝2或. ∵a4－a2

3、>0，∴q＝2代入①式得a1＝1.∴a3＝4. 4．(2020·信陽一模)已知{an}是等差數(shù)列，a4＝15，S5＝55，則過點(diǎn)P(3，a3)，Q(4，a4)的直線斜率為(　　) A．4 B. C．－4 D．－ [答案]　A [解析]　∵{an}為等差數(shù)列， ∴S5＝＝5a3＝55， ∴a3＝11， ∴kPQ＝＝a4－a3＝15－11＝4. 5．(2020·天津理)已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為(　　) A．－110 B．－90 C．90 D．110 [答案]　D

4、 [解析]　本題主要考查等比中項(xiàng)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和． 由條件：a＝a3·a9即(a1＋6d)2＝(a1＋2d)·(a1＋8d) ∴a1＝20，S10＝10×20＋×(－2)＝110.故選D. 6．(2020·原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn＝an－m(a≠0且a≠1)，那么使“數(shù)列{an}是等比數(shù)列”成立的條件是(　　) A．m＝1 B．m≥1 C．m≤1 D．m為任意實(shí)數(shù) [答案]　A [解析]　∵an＝Sn－Sn－1＝(an－m)－(an－1－m) ＝an－1(a－1)(n≥2)． ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件是an＝an－1(a－1)滿足a1，即

5、a1＝a－1＝S1＝a－m， 即m＝1. 7．(2020·合肥一模)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，若a1＝1，則S4＝(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 [答案]　C [解析]　不妨設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 則4a1,2a2，a3成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為2(2q)＝4＋q2， 得q＝2. S4＝＝15. 8．(文)(2020·鄭州一模)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝1－2n，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列{}的前11項(xiàng)和為(　　) A．－45 B．－50 C．－55 D．－66 [答案]　D [解析]　由等差

6、數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式得a1＝－1， 所以其前n項(xiàng)和 Sn＝＝＝－n2. 則＝－n.所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列，所以其前11項(xiàng)的和為11×(－1)＋×(－1)＝－66. (理)(2020·鄭州一模)已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝1，若{}為等差數(shù)列，則a11＝(　　) A．0 B. C. D．2 [答案]　B [解析]　由已知可得＝，＝是等差數(shù)列{}的第3項(xiàng)和第7項(xiàng)，其公差d＝＝， 由此可得＝＋(11－7)d＝＋4×＝. 解之得a11＝. 9．(文)(2020·四川文)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，

7、則a6＝(　　) A．3×44 B．3×44＋1 C．45 D．45＋1 [答案]　A [解析]　該題考查已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an＋1的關(guān)系，求通項(xiàng)公式an.注意的問題是用an＝Sn－Sn－1時(shí)(n≥2)的條件． an＋1＝3Sn　 ① an＝3Sn－1　 ② ①－②得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an， 即an＋1＝4an， ∴＝4(n≥2)．當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝3a1＝3， ∴＝3≠＝4(n≥2)， ∴an為從第2項(xiàng)

8、起的等比數(shù)列，且公比q＝4， ∴a6＝a2·q4＝3·44. (理)(2020·四川理)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8＝(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 [答案]　B [解析]　本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及累加法求通項(xiàng)，由b3＝－2，b10＝12，∴d＝2，∴bn＝－6＋2(n－1)＝2n－8. 由關(guān)系式：b7＝a8－a7，各式相加：b1＋b2＋…b7＝a8－a1＝a8－3 b6＝a7－a6， … b1＝a2－a1， ∴＝a8－3，∴a8＝3，故選B. 10．若數(shù)列{a

9、n}的通項(xiàng)公式為an＝5()2n－2－4()n－1(n∈N＋)，{an}的最大項(xiàng)為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x＋y等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案]　A [解析]　an＝5·[()n－1]2－4·()n－1 ＝5[()n－1－]2－， ∴當(dāng)()n－1＝，即n＝2時(shí)，an最小， 當(dāng)()n－1＝1時(shí)，即n＝1時(shí)，an最大． ∴x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 第Ⅱ卷(非選擇題　共100分) 二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上) 11．(2020·許昌月考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足－＝1，則

10、數(shù)列{an}的公差是________． [答案]　2 [解析]　Sn＝，∴＝， 由－＝1得－＝1， ∴a3－a2＝2，∴數(shù)列{an}的公差為2. 12．(2020·九江調(diào)研)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若數(shù)列{an＋c}恰為等比數(shù)列，則c的值為________． [答案]　1 [解析]　∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴數(shù)列{an＋1}是以首項(xiàng)a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，∴c＝1. 13．(2020·湖北理)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4

11、升，則第5節(jié)的容積為________升． [答案]　 [解析]　本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算． 設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則 ∴解得 ∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝. 14．(2020·延安模擬)等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． [答案]　an＝24－n [解析]　由a4＝a1·q3，a6＝a3q3得 ＝q3＝×＝. ∴q＝，又a1(1＋q2)＝10，∴a1＝8. ∴an＝a1·qn－1＝8×()n－1＝24－n. 15．(文)(2020·蕪湖一模)已知數(shù)列{an}滿足a1

12、＝33，an＋1－an＝2n，則的最小值為________． [答案]　 [解析]　an－an－1＝2(n－1) …… a2－a1＝2， 相加得an－a1＝2＋4＋…＋2(n－1) ＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝2·＝n(n－1)， ∴an＝n2－n＋33， ∴＝n＋－1，n＝6時(shí)，＝6＋－1＝為最?。? (理)(2020·溫州一模)若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N＋)，則＋＋…＋＝________. [答案]　2n2＋6n [解析]　令n＝1得＝4，即a1＝16， 當(dāng)n≥2時(shí)，＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2， 所以

13、an＝4(n＋1)2， 當(dāng)n＝1時(shí)，也適合， 所以an＝4(n＋1)2(n∈N＋)． 于是＝4(n＋1)， 故＋＋…＋＝2n2＋6n. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分12分)(2020·商丘模擬)已知等差數(shù)列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n項(xiàng)和Sn. [分析]　本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式． [解析]　設(shè){an}的公差為d，則 ， 即， 解得或. 因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)， 或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)． 17．(本小題滿

14、分12分)(文)(2020·重慶文)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Sn. [解析]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4， 即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍)，∴q＝2， ∴an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n. (2)數(shù)列bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴Sn＝＋n×1＋×2 ＝2n＋1－2＋n2－n＋n＝2n＋1＋n2－2. (理)(2020·浙江文)已知公差不為0的等差

15、數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1為a(a∈R)，且，，成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)對(duì)n∈N*，試比較＋＋＋…＋與的大?。? [解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可知()2＝·， 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，從而a1d＝d2， 因?yàn)閐≠0，所以d＝a1＝a， 故通項(xiàng)公式an＝na. (2)記Tn＝＋＋…＋，因?yàn)閍2n＝2n·a， 所以Tn＝(＋＋…＋) ＝·＝[1－()n] 從而，當(dāng)a>0時(shí)，Tn< 當(dāng)a<0時(shí)，Tn>. 18．(本小題滿分12分)(2020·青島質(zhì)檢)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常數(shù)，n＝1

16、,2,3，…)，且a1、a2、a3成公比不為1的等比數(shù)列． (1)求c的值； (2)求{an}的通項(xiàng)公式． [解析]　(1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c， 因?yàn)閍1、a2、a3成等比數(shù)列， 所以(2＋c)2＝2(2＋3c)， 解得c＝0或c＝2. 當(dāng)c＝0時(shí)，a1＝a2＝a3，不符合題意，故c＝2. (2)當(dāng)n≥1時(shí)，由于a2－a1＝c，a3－a2＝2c， …… an－an－1＝(n－1)c， 所以an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c. 又a1＝2，c＝2，故an＝2＋n(n－1)＝n2－n＋2(n＝2,3，…)． 當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以an＝

17、n2－n＋2. 19．(本小題滿分12分)(2020·安陽一模)已知數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，且n，an，Sn成等差數(shù)列(n∈N＋)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn>57時(shí)n的取值范圍． [解析]　(1)∵n，an，Sn成等差數(shù)列， ∴Sn＝2an－n，Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1－1(n≥2)， ∴an＝2an－1＋1(n≥2)， 兩邊加1得an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)， ∴＝2(n≥2)． 又由Sn＝2an－n得a1＝1. ∴數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，

18、 ∴an＋1＝2·2n－1， 即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)由(1)知，Sn＝2an－n＝2n＋1－2－n， ∴Sn＋1－Sn＝2n＋2－2－(n＋1)－(2n＋1－2－n) ＝2n＋1－1>0， ∴Sn＋1>Sn，{Sn}為遞增數(shù)列． 由題設(shè)，Sn>57，即2n＋1－n>59. 又當(dāng)n＝5時(shí)，26－5＝59，∴n>5. ∴當(dāng)Sn>57時(shí)，n的取值范圍為n≥6(n∈N＋)． 20．(本小題滿分13分)(2020·濰坊調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}是公差大于0的等差數(shù)列，a3，a5分別是方程x2－14x＋45＝0的兩個(gè)實(shí)根． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (

19、2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解析]　(1)因?yàn)榉匠蘹2－14x＋45＝0的兩個(gè)根分別為5、9，所以由題意可知a3＝5，a5＝9，所以d＝2， 所以an＝a3＋(n－3)d＝2n－1. (2)由(1)可知，bn＝＝n·， ∴Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n·， ① ∴Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n· ② ①－②得，Tn＝＋＋＋…＋＋－n·＝1－，所以Tn＝2－. 21．(本小題滿分14分)(2020·蘇州一模)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝a(a>0)．?dāng)?shù)列{bn}滿足bn＝anan＋1(n∈N*)．

20、 (1)若{an}是等差數(shù)列，且b3＝12，求a的值及{an}的通項(xiàng)公式； (2)若{an}是等比數(shù)列，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn； (3)當(dāng){bn}是公比為a－1的等比數(shù)列時(shí)，{an}能否為等比數(shù)列？若能，求出a的值；若不能，請(qǐng)說明理由． [解析]　(1)∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，a2＝a， ∴an＝1＋(n－1)(a－1)． 又∵b3＝12，∴a3a4＝12，即(2a－1)(3a－2)＝12， 解得a＝2或a＝－. ∵a>0，∴a＝2.∴an＝n. (2)∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a2＝a(a>0)， an＝an－1，∴bn＝anan＋1＝a2n－1. ∵＝a2， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為a，公比為a2的等比數(shù)列． 當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝n； 當(dāng)a≠1時(shí)，Sn＝＝. (3)數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列． ∵bn＝anan＋1，∴＝＝， 則＝a－1. ∴a3＝a－1. 假設(shè)數(shù)列{an}能為等比數(shù)列． 由a1＝1，a2＝a，得a3＝a2. ∴a2＝a－1， ∵此方程無解，∴數(shù)列{an}一定不能為等比數(shù)列．