2020屆高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)階段性測試題五 平面向量 北師大版

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1、階段性測試題五(平面向量) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分． 滿分150分．考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共50分) 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(2020·臨川模擬)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝(　　) A．0　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 [答案]　B [解析]　|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8， ∴|2a－b|＝2. 2．(2020·蕪湖一模)已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|

2、a＋b|不超過5，則k的取值范圍是(　　) A．[－4,6] B．[－6,4] C．[－6,2] D．[－2,6] [答案]　C [解析]　∵|a＋b|＝|(3，k＋2)|＝≤5，∴(k＋2)2≤42，∴－6≤k≤2.∴選C. 3．(2020·麗水一模)已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，則a與b(　　) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 [答案]　A [解析]　已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)， a·b＝－30＋30＝0，則a與b垂直． 4．(2020·威海一模)如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則等于(

3、　　) A．a(chǎn)＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b [答案]　B [解析]?。剑剑? ＝＋(－)＝＋ ＝a＋b. 5．a(chǎn)，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　C [解析]　本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，在解決問題時(shí)需要先設(shè)出向量坐標(biāo)，然后求得參數(shù)，該題較為簡單． 由題可知，設(shè)b＝(x，y)，則2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)， 所以cos〈a，b〉＝＝，故選C. 6．(

4、文)(2020·寶雞模擬)已知a、b均為非零向量，命題p：a·b>0，命題q：a與b的夾角為銳角，則p是q成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　當(dāng)a與b夾角為0°時(shí)，a·b>0；∴p?/ q， 當(dāng)a與b夾角α為銳角時(shí)，a·b＝|a|·|b|cosα>0， ∴q?p.因此p是q成立的必要不充分條件． (理)(2020·寶雞模擬)已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夾角是銳角，則λ的取值范圍是(　　) A. B. C．{0} D.∪(0，＋∞) [答案]

5、　D [解析]　由條件得，c＝(1＋λ，3＋λ)，從而 ?λ∈∪(0，＋∞)． 7．(文)(2020·九江一模)已知向量m＝(1,1)，n＝(1，t)，若m·n＝3，則向量m與向量n夾角的余弦值為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　∵m·n＝3，∴1＋t＝3，∴t＝2， ∴n＝(1,2)，|m|＝，|n|＝， ∴cos＝＝＝，故選D. (理)(2020·九江一模)已知向量a與b的夾角為，|a|＝，則a在b方向上的投影為(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　∵a在b方向上的投影為|a|cos<

6、a，b> ＝cos＝.故應(yīng)選C. 8．設(shè)向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，則β－α等于(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　A [解析]　由|2a＋b|＝|a－2b|知 3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0. 而|a|＝1，|b|＝1，故a·b＝0， 即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π， 故－π<α－β<0，故β－α＝，選A. 9．(文)(2020·泉州一模)已知向量m，n滿足m＝(2,0)，n＝(，)．在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D為BC邊的中點(diǎn)，則|

7、|等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [答案]　A [解析]　由D為BC邊的中點(diǎn)得， ||＝|＋|. 又∵(＋)＝(4m－4n) ＝2m－2n＝(1，－) ∴||＝2，故選A. (理)(2020·泉州一模)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且(＋)·＝0，則△ABC一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 [答案]　C [解析]　∵(＋)·＝0， ∴(＋)(－)＝0， ∴2－2＝0，即||＝|| 又A，B，C成等差數(shù)列，∴B＝60°. 從而C＝A＝60°.故△ABC為等邊三角形．

8、 10．(文)(2020·遼寧理)若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為(　　) A.－1 B．1 C. D．2 [答案]　B [解析]　本小題考查內(nèi)容為向量數(shù)量積及向量模的計(jì)算． |a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c ＝3－2(a·c＋b·c) (a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2 ＝1－(a·c＋b·c)≤0， ∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1. (理)(2020·四川文)在集合{1,2,3,4,5}中任取一個(gè)偶數(shù)a和一個(gè)奇數(shù)b

9、構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量α＝(a，b)．從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為n，其中面積等于2的平行四邊形的個(gè)數(shù)為m，則＝(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　向量a的坐標(biāo)有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)．共6種情況，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形共有C＝15個(gè)． 以a，b為鄰邊所作平行四邊形的面積為 S＝|a||b|sin＝|a||b| ＝|a||b|＝. 分別以a＝(2,1)，b＝(4,1)；a＝(2,1)，b＝(4,3)

10、；a＝(4,5)，b＝(2,3)為鄰邊的平行四邊形面積為2，故m＝3，所以＝＝. [點(diǎn)評(píng)]　本題綜合考查了平面向量的數(shù)量積、排列組合知識(shí)及分析問題、解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大． 第Ⅱ卷(非選擇題　共100分) 二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上) 11．(2020·沈陽調(diào)研)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，則a·b等于________． [答案]　1 [解析]　∵a＝(1,1)，b＝(－1,2)，∴a·b＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 12．已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2

11、.若a·b＝0，則實(shí)數(shù)k的值為________． [答案]　 [解析]　a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝k－2＋(1－2k)cos＝2k－. ∵a·b＝0，∴2k－＝0，即k＝. 13．(文)(2020·湖南文)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________． [答案]　(－4，－2) [解析]　考查向量坐標(biāo)數(shù)乘運(yùn)算等． 由a與b方向相反可設(shè)a＝λ(2,1)，λ<0， 所以由|a|＝2＝|λ|，知λ＝－2， 所以a＝(－4，－2)． (理)(2020·湖南理)在邊長為1的正三角形A

12、BC中，設(shè)＝2，＝3，則·＝________. [答案]　－ [解析]　本小題考查內(nèi)容為向量的加減法與向量數(shù)量積的計(jì)算． 如圖，令＝a，＝b，＝(a＋b)，＝＋＝(b－a)＋＝b－a， ∴·＝· ＝a·b－＋－a·b ＝－－a·b ＝－－×＝－. 14．(2020·黃山模擬)設(shè)向量 a，b的夾角為θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，則sinθ＝________. [答案]　 [解析]　設(shè)b＝(x，y)， ∵a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)， ∴即∴b＝(1,1)， ∴cosθ＝＝＝. 又∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝＝. 15．(2020·濟(jì)南調(diào)研

13、)在直角坐標(biāo)系xOy中，i，j分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，則實(shí)數(shù)m＝________. [答案]　0或－2 [解析]　本題考查了向量的運(yùn)算． 由已知可得＝－＝i＋(m－1)j. 當(dāng)A＝90°時(shí)，·＝(i＋j)·(2i＋mj) ＝2＋m＝0，m＝－2. 當(dāng)B＝90°時(shí)，·＝－(i＋j)·[i＋(m－1)·j] ＝－(1＋m－1)＝－m＝0，m＝0. 當(dāng)C＝90°時(shí)，·＝－(2i＋mj)·[－i－(m－1)j]＝2＋m(m－1)＝m2－m＋2＝0， 此時(shí)m不存在．故m＝0或－2. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)

14、寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本小題滿分12分)(2020·鄭州模擬)已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，是否能以a，b為平面內(nèi)所有向量的一組基底？若能，試將向量c用這一組基底表示出來；若不能，請(qǐng)說明理由． [解析]　∵a＝(3，－2)，b＝(－2,1)． ∴a·b＝3×1－(－2)×(－2)＝－1≠0. ∴a與b不共線，故一定能以a，b作為平面內(nèi)的所有向量的一組基底． 設(shè)c＝λa＋ub即 (7，－4)＝(3λ，－2λ)＋(－2u，u) ＝(3λ－2u，－2λ＋u)， ∴，解得. ∴c＝a－2b. 17．(本小題滿分12分)(2020

15、·徐州模擬)已知平面內(nèi)A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求實(shí)數(shù)m，n的值． [解析]　由于C、A、B三點(diǎn)在一條直線上，則∥， 又＝－＝(7，－1－m)， ＝－＝(n＋2,1－m)， ∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0. 整理得mn＋n－5m＋9＝0， 又⊥， ∴－2n＋m＝0. 聯(lián)立方程組解得或. 18．(本小題滿分12分)(2020·鹽城一模)已知向量a＝(sinθ，)，b＝(1，cosθ)，θ∈(－，)． (1)若a⊥b，求θ； (2)求|a＋b|的最大值． [解析]　(1)因?yàn)閍⊥b，所以sinθ＋cosθ＝0

16、. 得tanθ＝－. 又θ∈(－，)，所以θ＝－. (2)因?yàn)閨a＋b|2＝(sinθ＋1)2＋(cosθ＋)2 ＝5＋4sin(θ＋)． 所以當(dāng)θ＝時(shí)，|a＋b|2的最大值為5＋4＝9. 故|a＋b|的最大值為3. 19．(本小題滿分12分)(2020·洛陽模擬)已知向量a＝(，)，b＝(2，cos2x)． (1)若x∈(0，]，試判斷a與b能否平行？ (2)若x∈(0，]，求函數(shù)f(x)＝a·b的最小值． [解析]　(1)若a與b平行，則有·cos2x＝·2，因?yàn)閤∈(0，]，sinx≠0，所以得cos2x＝－2，這與|cos2x|≤1相矛盾，故a與b不能平行． (2

17、)由于f(x)＝a·b＝－＝ ＝＝2sinx＋， 又因?yàn)閤∈(0，]，所以sinx∈(0，]， 于是2sinx＋≥2＝2， 當(dāng)2sinx＝，即sinx＝時(shí)取等號(hào)． 故函數(shù)f(x)的最小值等于2. 20．(本小題滿分13分)已知向量＝，＝，定義函數(shù)f(x)＝·. (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并指出其最大值和最小值； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面積S. [解析]　(1)f(x)＝·＝(－2sinx，－1)·(－cosx，cos2x)＝sin2x－cos2x ＝sin， ∴f(x)的最大值和最小值分別是和

18、－. (2)∵f(A)＝1， ∴sin＝. ∴2A－＝或2A－＝. ∴A＝或A＝. 又∵△ABC為銳角三角形， ∴A＝， ∵bc＝8， ∴△ABC的面積S＝bcsinA ＝×8×＝2. 21．(本小題滿分14分)(2020·西安模擬)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量＝(sinα，1)，＝(cosα，0)，＝(－sinα，2)，點(diǎn)P滿足＝. (1)記函數(shù)f(α)＝·，α∈(－，)，討論函數(shù)f(α)的單調(diào)性，并求其值域； (2)若O，P，C三點(diǎn)共線，求|＋|的值． [解析]　(1)＝(cosα－sinα，－1)，設(shè)＝(x，y)， 則＝(x－cosα，y)． 由＝得x＝2cosα

19、－sinα，y＝－1， 故＝(2cosα－sinα，－1)． ＝(sinα－cosα，1)，＝(2sinα，－1)． f(α)＝·＝(sinα－cosα，1)·(2sinα，－1) ＝2sin2α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α) ＝－sin(2α＋)， 又α∈(－，)，故0<2α＋<， 當(dāng)0<2α＋≤，即－<α≤時(shí)，f(α)單調(diào)遞減； 當(dāng)<2α＋<，即<α<時(shí)，f(α)單調(diào)遞增， 故函數(shù)f(α)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)， 單調(diào)遞減區(qū)間為(－，]， 因?yàn)閟in(2α＋)∈(－，1]， 故函數(shù)f(α)的值域?yàn)閇－，1)． (2)＝(2cosα－sinα，－1)，＝(－sinα，2)， 由O，P，C三點(diǎn)共線可得 (－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，得tanα＝. sin2α＝＝＝. ∴|＋|＝ ＝＝. [點(diǎn)評(píng)]　本題是三角函數(shù)與平面向量的綜合問題，這類試題的難度一般不大，但解題時(shí)要細(xì)心，要正確利用平面向量的相關(guān)知識(shí)，特別是平面向量中的共線、垂直關(guān)系． 高考資源網(wǎng) w w 高 考 資源 網(wǎng)