2020年高考數(shù)學 易錯點點睛與高考突破 專題03 二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)

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1、 2020年高考數(shù)學 易錯點點睛與高考突破 專題03 二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù) 2．已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=2x-x2． (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在實數(shù)a、b(a≠b)使f(x)在[a，b]上的值域為[],若存在，求a和b，若不存在，說明理由． ∴x1=-1,x2=-,x3=(舍)，∴a=-,b=-1. 綜合①,②知存在實數(shù)a,b,使f(x)在[a,b]上的值域為[]，有a=1,b=或a=-1或b-. 3.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a、b、c∈R，且滿足a＞b＞c,f(1)=0. (1)證明

2、：函數(shù)f(x)與g(x)的圖像交于不同的兩點A、B; (2)若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在[2，3]上的最小值為9，最大值為21，試求a、b的值. (3)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍. . 難點 2 三個“二次”的綜合問題 1.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，且a>0)，設(shè)方程f(x)=x的兩個實根為x1和x2， (1)如果x1＜2-1． (2)如果|x1|＜2,|x2-x1|=2,求b的取值范圍． 2．設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R，a≠0)滿足條件

3、： ①當x∈R,f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x； ②當x∈(0，2)時,f(x)≤； ③f(x)在R上的最小值為0． (1)求f(x)的表達式； (2)求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈就有f(x+t)≤x恒成立． 3．已知f(x)=ax2+2bx+4c(a、b、c∈R) (1)當a≠0時，若函數(shù)f(x)的圖像與直線y=±x均無公共點，求證：4ac-b2＞. (2)若a+c=0,f(x)在[-2，2]上的最大值為，最小值為-求證：≤2． (3)當b=4，c=時，對于給定負數(shù)a，有一個最大正數(shù)M(a)使得x∈[0，M(a)]時都有|f(x)|≤

4、5，問a為何值時，M(a)最大，并求出這個最大值M(a)證明你的結(jié)論． (4)若f(x)同時滿足下列條件①a>0；②當|x|≤2時，有|f(x)|≤2；③當|x|≤1時,f(x)最大值為2，求f(x)的解析式． M(a)= 難點3 含參數(shù)的對數(shù)函數(shù)與不等式的綜合問題 1．已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，當點(x，y)在y=f(x)圖像上運動時，點P( ,2y)在函數(shù)y=g(x)的圖像上運動． (1)求y=g(x)的解析式； (2)當t=4，且x∈[0，1]時，求g(x)-f(x)的最小值； (3)若在x∈[0，1]時恒有g(shù)(x)＞f(x)成立，求t的取值

5、范圍． (3)由g(x)>f(x)，即2log2(2x+t)>log2(x+1)，在x∈[0，1]時恒成立，即(x)=4x2+4(t-1)x+t2-1>0在[0，1]上恒成立．即即1＜t≤或t＞ 綜合，得t>1． 即滿足條件t的取值范圍是(1，+∞) 2．設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3a(a＞0且a≠1)的反函數(shù)為y=f-1(x)，已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f-1(x)的圖像關(guān)于點(a，0)對稱． (1)求函數(shù)y=g(x)的解析式； (2)是否存在實數(shù)a，使當x∈[a+2，a+3]時，恒有|f-1(x)-g(-x)|≤1成立?若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

6、 【易錯點點睛】 易錯點1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用 1．(2020模擬題精選)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(-1，1)上是增函數(shù)，求t 的取值范圍． 由①,②得a=1. 3．已知函數(shù)f(x)的二項式系數(shù)為a，且不等式f(x)>-2x的解集為(1，3)． (1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍． 【特別提醒】 利用二次函數(shù)圖像可以求解一元二次不等式和討論一元二次方程的實根分布情況，還可以討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．對于根的分布問題，一般需從三個方面

7、考慮：①判別式；②區(qū)間端點函數(shù)值的正負；③對稱軸x=-與區(qū)間端點的關(guān)系．另外，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值要抓住頂點的橫坐標與閉區(qū)間的相對位置確定二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解. 【變式探究】 1 若函數(shù)f(x)=x2+bx+c 對任意實數(shù)f(1+x)=f(-x)，則下面不等關(guān)系成立的是 ( ) A．f(2)>f(0)>f(-2) B．f(-2)＞f(2)＞(0) C．f(0)＞f(-2)＞f(2) D. f(-2)＞f(0)>f(2) 3 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(1，b∈R)． (1)若f(-1)=0，則對任意實數(shù)均有f(x)≥0成立，求f(x)的表達

8、式． 4 已知二次函數(shù)f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值為3，求a的值． 答案：解析：原函數(shù)式可化為f(x)=lga由已知，f(x)有最大值3，∴l(xiāng)ga<0并且 整理得4（lga）2-3lga-1=0解得lga=1,lga= 易錯點2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用 1．(2020模擬題精選)函數(shù)y=e｜lnx｜-|x-1|的圖像大致是 ( ) 2．(2020模擬題精選)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個函數(shù)中，當0恒成立的函數(shù)的個數(shù)是 ( ) A.0

9、 B．1 C．2 D．3 3．(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a≠1)在區(qū)間(0, )內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ) A.(-∞，-) B．(-，+∞) C．(0，+∞) D．(-∞，-) 【錯誤答案】 選A或C 【錯解分析】 選A，求f(x)的單調(diào)區(qū)間時沒有考慮函數(shù)定義域?qū)е洛e誤；選C，求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時沒有注意內(nèi)、外層函數(shù)均遞減時，原函數(shù)才是增函數(shù)．事實上 (0，+∞)是f(x)的遞減區(qū)間． 【正確解答】 D ∵f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a≠1)在

10、區(qū)間(0，)內(nèi)恒有f(x)>0，若a>1，則由f(x)>0 x>或x<-1．與題設(shè)矛盾.∴00x>0 (2)解法1 由｜m-f-1(x)｜+ln(f′(x))<0得-ln+ln(ex-a)

11、清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，然后轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性加以解決，注意不可忽視定義域，忽視指數(shù)和對數(shù)的底數(shù)對它們的圖像和性質(zhì)起的作用. 【變式探究】 1 已知函數(shù)f(x)=(ex+e2-x)(x<1)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則 ( ) A．f-1()

12、答案： B解析：f(x)=ax+loga(x+1)是單調(diào)遞增（減）函數(shù). (∵y=ax與y=loga(x+1)單調(diào)性相同).且在[0，1]的最值分別在端點處取得，最值之和：f(0)+f(1)=ao+loga1+log22=2, ∴l(xiāng)oga2+1=0, ∴a=選B. 3 對于0 其中成立的是 ( ) A.①與③ B.①與④ C.②與③ D．②與④ 答案： D 解析： 選D。 4.已知函數(shù)f(x)=l

13、oga[(-2)x+1]在區(qū)間[1，2]上恒為正，求實數(shù)a的取值范圍． 答案：在區(qū)間[1，2]上使f(x)>0恒成立。 解析：（1）當a>1時，只要 即與1矛盾. (2)當0

14、 B．45．6 C．46．8 D．46．806 2．甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x=2000，若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格)． (1)將乙方的年利潤W(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量． (2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失余額y=0．002t2.在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格S是多少?

15、v=-. 又v′=--令v′=0得S=20，當S<20時，v′>0；當S>20時，v′<0， ∴S=20時，v取得最大值． 因此甲方向乙方要求賠付價格S=20(元／噸)時，獲得最大凈收入． 3．(2020模擬題精選)某段城鐵線路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km在列車運行時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達B站并停車1分鐘，8時12分到達C站，在實際運行時，假設(shè)列車從A站正點發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度vkm／h，勻速行駛，列車從A站到達某站的時間與時刻表上相應(yīng)時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差． (1)分別寫出列車在B、C

16、兩站的運行誤差； (2)若要求列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求v的取值范圍． 當0時，(*)式變形為7-+11-≤2， 解得

17、此人距山崖的水平距離多遠時，觀看塔的視角∠BPC最大(不計此人的身高)? tan ∠BPC= 設(shè)u= ∴ux2-(288u-64)x+160×640u=0 ① ∵u≠0 ∵x∈R.△=(288u-64)2-4×160×640u2≥0. 解得 u≤2． 當u=2時，x=320．即此人距山崖320米時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大． 【錯解分析】 上述解答過程中利用x∈R由判別式法求u的最大值是錯誤的，因為x當且僅當x=時上式取得等號．故當x=320時tan∠BPC最大． 由此實際問題知，0<∠

18、BPC<，所以tan∠BPC最大時，∠BPC最大，故當此人距山崖水平距離為320米時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大． 5．(2020模擬題精選)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本(即固定投入)為0．5萬元，但每生產(chǎn)100件需要增加投入0．25萬元，市場對此產(chǎn)品的需要量為500件，銷售收入為函數(shù)為R(x)=5x-(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百件)． (1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)f(x)． (2)年產(chǎn)量是多少時，當年公司所得利潤最大? (3)年產(chǎn)量是多少時，當年公司不虧本?(取=4．65)． 【特別提醒】 與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保、稅收、市場

19、信息等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題，解答這類問題的關(guān)鍵是建立相關(guān)函數(shù)的解析式，然后應(yīng)用函數(shù)知識加以解決.在求得數(shù)學模型的解后應(yīng)回到實際問題中去，看是否符合實際問題. 【變式探究】 1 把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是 ( ) A．cm2 B.4cm2 C．3cm2 D.2cm2 答案： D 解析： S= 2 將一張2mx6m的硬鋼板按圖紙的要求進行操作，沿線裁去陰影部分，把剩余部分按要求焊接成一個有蓋的長方體水箱(其中①與③、②與④分別是全等的矩形，且⑤+⑥=

20、⑦)，設(shè)水箱的高為xm，容積為ym3)． (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； 3 (2020模擬題精選)某租賃公司擁有汽車100輛．當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元． (1)當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車? 5 (2020模擬題精選)如圖，在直線y=0和y=a(a>0)之間表示的是一條河流，河流的一側(cè)河岸(x軸)是一條公路，公路上的公交車站P(x，0)隨時都有公交車來往．家住A(0，a)的某學生在位于

21、公路上B(2a，0)處的學校就讀，每天早晨學生都要從家出發(fā),可以先乘船渡河到達公路上公交車站，再乘公交車去學校，或者直接乘船渡河到達公路上B(2a，0)處的學校．已知船速為v0(v0＞0)，車速為2v0(水流速度忽略不計)． (Ⅰ)設(shè)該學生從家出發(fā)，先乘船渡河到達公路上的站P(x，0)，再乘公交車去學校，請用x來表示他所用的時間t； 答案：設(shè)該學生從家出發(fā)，先乘船渡河到達公路上的車站P(x,0),再乘公交車去學校，則他所用的時間 t=f(x)= (Ⅱ)若≤x≤a，請問該學生選擇哪種上學方式更加節(jié)約時間，并說明理由．(取=1．414，=2．236) 答案：若該學生選擇先乘船渡河到達

22、公路上的車站p(x,0),再乘公交車去學校，則他所用的時間為 2 已知f(x)=，則下列正確的是 ( ) A.奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B.偶函數(shù)，在R上為增函數(shù) C.奇函數(shù)，在R上為減函數(shù) D.偶函數(shù)，在R上為減函數(shù) 答案： A 解析：∵函數(shù)f(x)= 3 若不等式x2+2x+a≥-y2-2y對任意實數(shù)x、y都成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≥3 答案： C解析：原不等式即為a≥2-[x+1]2+(y+1)2]恒成立，只需a大于或等于2-[（x+1）2+(y+1)2]的最大值為2

23、，即a≥2. 4 若函數(shù)f(x)=logax(0