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1、考點49 幾何證明選講
一、選擇題
A
B
D
G
O
F
C
E
1.（2020·北京高考理科·T5）如圖，AD,AE,BC分別與圓O切于點D,E,F，延長AF與圓O交于另一點G.給出下列三個結論：①AD+AE=AB+BC+CA;②;③.其中正確結論的序號
是（ ）
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
【思路點撥】利用切割線定理、割線定理、弦切角定理.
【精講精析】選A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE，故①正確；因為，，，故②正確； ，， 不相似，
2、故③不正確.
二、填空題
2．（2020·陜西高考理科·T15B）（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，則BE= ．
【思路點撥】尋找兩個三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求解．
【精講精析】答案：
因為，所以∠AEB=，
又因為∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,
所以，在Rt△AEB中，．
3．（2020·陜西高考文科·T15B）（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，則AE= ．
【思路點撥】尋找兩個三角形相似的條件，再根據(jù)相似三角形
3、的對應邊成比例求解．
【精講精析】答案：2
因為，所以∠AEB=，
又因為∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以，所以．
4.（2020·廣東高考理科·Ｔ15）（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓于,且，是圓上一點使得，，則 .
【思路點撥】利用相似三角形對應邊成比例，求得的值.
【精講精析】答案：
,～,,從而..
5.（2020·廣東高考文科·Ｔ15）（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2. E,F分別為AD，BC上的點，且EF=3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為
4、 .
【思路點撥】利用相似三角形面積比等于相似比的平方求解.
【精講精析】答案：
延長AD、BC相交于點G..由已知GAB∽GDC，GEF∽GDC,所以，，
從而,,所以梯形ABCD與梯形EFCD的面積比為3：=,從而得梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為
6．（2020·湖南高考理科·T11）如圖2，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC=4，AD，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長
為______
【思路點撥】本題主要考查平面幾何的推理和證明.考查圓的切割弦以及三角形的相似和直角三角形的射影定理.
【精講精析】答案：.連結AB、AO、CE、OE，則是邊長為
5、2的等邊三角形，，AD=，所以得到AF=.
7.（2020.天津高考理科.T12）如圖，已知圓中兩條弦與相交于點，是延長線上一點，且若與圓相切，則線段的長為_________
【思路點撥】利用相交線及切線的比例關系求解。
【精講精析】答案：
設BE=x,則AF=4x,FB=2x,因為,所以,又
三、解答題
8.（2020·江蘇高考·Ｔ21A）（選修4-1：幾何證明選講）如圖，圓與圓內切于點，其半徑分別為與，圓的弦交圓于點（不在上），
求證：為定值。
【思路點撥】本題考察的是圓的切線的性質、三角形相似的判定及其性質，
容易題。解決本題的關鍵是弦切角定理的應用
【精講精析】由弦
6、切角定理可得
9.（2020·新課標全國高考理科·Ｔ22）如圖，，分別為的
邊， 上的點，且不與的頂點重合.已知的長為，
AC的長為n,，的長是關于的方程的兩個根.
（Ⅰ）證明：，，，四點共圓；
（Ⅱ）若，且，求，，，所在圓的半徑.
【思路點撥】第（Ⅰ）問的證明流程為連接∽
四點共圓；第（Ⅱ）問，利用平面幾何的性質，設法尋求圓心位置，然后求得半徑.
【精講精析】（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，
即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
7、
所以C,B,D,E四點共圓.
（Ⅱ） m=4, n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中點G,DB的中點F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.
故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5
10.（2020·遼寧高考理科·Ｔ22）（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC=ED．
（I）證明：CD//AB；
（II）延長CD到F，延長DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點共圓．
【思路點撥】（I）可證，即得CD//AB；（II）利用三角形全等及平行線的知識可證得，得結論．
【精講精析】（I）因為，所以.
因為 四點在同一圓上，所以，
故，所以∥.
（II）由（I）知，，因為，故，
從而.
連接，則，故.
又∥，，所以.
所以.
故四點共圓.
2020年高考數(shù)學 考點49幾何證明選講
