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1、選修1-2 3.2復(fù)數(shù)的加法和減法
一、選擇題
1．|(3＋2i)－(4－i)|等于( )
A. B.
C．2 D．－1＋3i
[答案] B
[解析] 原式＝|－1＋3i|＝＝.
2．(2020·南安高二檢測(cè))復(fù)數(shù)(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
[答案] A
[解析] 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i
＝－1＋i.
3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對(duì)應(yīng)向量和，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則||＝( )
A. B．2
C. D．4
[答案] B
[解析]
2、||＝|－|＝|1＋3i－1－i|＝|2i|＝2.
4．設(shè)f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，則f(z1－z2)等于( )
A．1－5i B．－2＋9i
C．－2－i D．5＋3i
[答案] D
[解析] f(z1－z2)＝(z1－z2)－2i
＝(3＋4i＋2＋i)－2i＝5＋3i.
5．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1＋z2為純虛數(shù)，則有( )
A．a(chǎn)－c＝0且b－d≠0
B．a(chǎn)－c＝0且b＋d≠0
C．a(chǎn)＋c＝0且b－d≠0
D．a(chǎn)＋c＝0且b＋d≠0
[答案] D
[解析] z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，若z1
3、＋z2為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，即a＋c＝0且b＋d≠0.
6．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋2i，z2＝1－3i，則復(fù)數(shù)z＝z1－z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，點(diǎn)(2,5)在第一象限．
7．已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4＋i,3＋4i,3－5i，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是( )
A．2－3i B．4＋3i
C．4－8i D．1＋4i
[答案] C
[解析] 設(shè)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.由于四邊形ABCD為平行四邊形
4、，故＝，即－＝－，故＝＋－，即z＝(4＋i)＋(3－5i)－(3＋4i)＝4－8i.
8．若x是純虛數(shù)，y是實(shí)數(shù)，且2x－1＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，則x＋y等于( )
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
[答案] D
[解析] 由已知可得2x＋i＝(y－3)i，y＝－1，故x＝－i.
9．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，則|z－2－2i|的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] B
[解析] ∵|z＋2－2i|＝1，∴z在以(－2,2)為圓心，半徑為1的圓上，而|z－2－2i|是該圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(2,2)的距離
5、，故最小值為3，如圖：
10．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1、z2、z3，若復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為△ABC的( )
A．內(nèi)心 B．垂心
C．重心 D．外心
[答案] D
[解析] 由幾何意義知，z到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離都相等，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是△ABC的外心．
二、填空題
11．(2020·金華高二檢測(cè))在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋3i，－i,2＋i，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________．
[答案] 3＋5i
[解析] 設(shè)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi，則由＝得：－i－1－3i＝2
6、＋i－x－yi，整理得－1－4i＝(2－x)＋(1－y)i，所以有，x＝3，y＝5.
12．已知|z|＝1，則|1－i－z|的最大值是________，最小值是________．
[答案] 3 1
[解析] |z|＝1，所以z在半徑為1的圓上，|1－i－z|＝|z－(－1＋i)|即圓上一點(diǎn)到點(diǎn)(－1，)的距離，dmax＝3，dmin＝1.
13．已知z＝1＋i，設(shè)ω＝z－2|z|－4，則ω＝________.
[答案] －(3＋2)＋i
[解析] ∵z＝1＋i，∴|z|＝，
∴ω＝z－2|z|－4＝(1＋i)－2－4
＝－(3＋2)＋i.
14．在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1
7、－i，將向左平移一個(gè)單位后得到向量，則點(diǎn)P0對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________．
[答案]?。璱
[解析] 由題意＝＋，而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1－i，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1＋(1－i)＝－i.所以P0點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－i.
三、解答題
15．計(jì)算：
(1)(3＋5i)＋(3－4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
[解析] (1)6＋i (2)－7＋7i (3)－4＋4i
16．若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z)．
[解析] ∵f(z)＝2z＋－3i，
∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3
8、i
＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i.
又知f(＋i)＝6－3i，∴2＋z－2i＝6－3i，
設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，
∴2(a－bi)＋(a＋bi)－2i＝6－3i，
即3a－(b＋2)i＝6－3i，
由復(fù)數(shù)相等的定義得，
解得：
∴z＝2＋i.
故f(－z)＝f(－2－i)
＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.
17．已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.
[解析] 解法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝，代入方程z＋|z|＝2＋8i，得x＋yi＋＝2＋8i，
由復(fù)數(shù)相等的條件，得
解得x＝－15，y＝8
9、，所以復(fù)數(shù)z＝－15＋8i.
解法二：原式可化為z＝2－|z|＋8i
因?yàn)閨z|∈R，所以2－|z|是z的實(shí)部，于是有|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，所以|z|＝17，
代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.
18．計(jì)算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－…－(2002－2020i)＋(2020－2020i)－(2020－2020i)．
[解析] (1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…－(2002－2020i)＋(2020－2020i)－(2020－2020i)＝[(1－2)＋(3－4)＋(5－6)＋…＋(2020－2020)]＋(－2＋3－4＋5－6＋…＋2020－2020＋2020)i＝－1003＋1003i.
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