2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1講 坐標(biāo)系教案 理 選修4-4

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1、2020高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教案：選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1講　坐標(biāo)系 第1講　坐標(biāo)系 【2020年高考會(huì)這樣考】 考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及有關(guān)圓的極坐標(biāo)問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)本講時(shí)，要抓住極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，這樣就可以把極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題解決，同時(shí)復(fù)習(xí)以基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法為主. 基礎(chǔ)梳理 1．極坐標(biāo)系的概念 在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O叫做極點(diǎn)；自點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(如圖)．設(shè)M是平面上的任一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離

2、|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的∠xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)． 2．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，則或 3．直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 (1)直線過極點(diǎn)：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直線過點(diǎn)M(a,

3、0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 4．圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r； (2)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos_θ； (3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin_θ. 雙基自測(cè) 1．點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為________． 解析　直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式． 答案　 2．若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ＋4cos

4、θ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為________． 解析　∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0. 答案　x2＋y2－4x－2y＝0 3．(2020·西安五校一模)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________． 解析　ρ＝2sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－1的直角坐標(biāo)方程為x＝－1，聯(lián)立方程，得解得即兩曲線的交點(diǎn)為(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此這兩

5、條曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 答案　 4．在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin θ＝3，則點(diǎn)到直線l的距離為________． 解析　∵直線l的極坐標(biāo)方程可化為y＝3，點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(，1)， ∴點(diǎn)到直線l的距離為2. 答案　2 5．(2020·廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，直線ρsin＝2被圓ρ＝4截得的弦長(zhǎng)為________． 解析　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化為x＋y－2＝0.圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，由圓中的弦長(zhǎng)公式得：2 ＝2 ＝4. 答案　4 考向一　極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 【例1】?(2020·廣州測(cè)試(二))設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直

6、線l過點(diǎn)A且與極軸所成的角為，則直線l的極坐標(biāo)方程為________________． [審題視點(diǎn)] 先求直角坐標(biāo)系下的直線方程再轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程． 解析　∵點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，∴點(diǎn)A的平面直角坐標(biāo)為(，1)，又∵直線l過點(diǎn)A且與極軸所成的角為，∴直線l的方程為y－1＝(x－)tan ，即x－y－2＝0，∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理為ρcos＝1或ρsin＝1或ρsin＝1. 答案　ρcos＝1或ρcos θ－ρsin θ－2＝0或ρsin＝1或ρsin＝1. (1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一

7、． (2)在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍．要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性． 【訓(xùn)練1】 (2020·佛山檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－)．若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是________． 解析　由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)可得，ρcos θ＝1, ρsin θ＝－，解得ρ＝2，θ＝2kπ－(k∈Z)，故點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(k∈Z)． 答案　(k∈Z) 考向二　圓的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 【例2】?(2020·廣州測(cè)試)在極坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)(1,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cos θ于

8、A、B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. [審題視點(diǎn)] 先將直線與曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，再利用圓的知識(shí)求|AB|. 解析　注意到在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)(1,0)且與極軸垂直的直線的直角坐標(biāo)方程是x＝1，曲線ρ＝4cos θ的直角坐標(biāo)方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圓心(2,0)到直線x＝1的距離等于1，因此|AB|＝2＝2. 答案　2 解決此類問題的關(guān)鍵還是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程． 【訓(xùn)練2】 (2020·深圳調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，P，Q是曲線C：ρ＝4sin θ上任意兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)度的最大值為________． 解析　由曲線C：ρ＝4sin

9、θ，得ρ2＝4ρsin θ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲線C：ρ＝4sin θ在直角坐標(biāo)系下表示的是以點(diǎn)(0,2)為圓心、以2為半徑的圓，易知該圓上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即是圓的直徑長(zhǎng)，因此線段PQ長(zhǎng)度的最大值是4. 答案　4 考向三　極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用 【例3】?如圖，在圓心的極坐標(biāo)為A(4,0)，半徑為4的圓中，求過極點(diǎn)O的弦的中點(diǎn)的軌跡． [審題視點(diǎn)] 在圓上任取一點(diǎn)P(ρ0，θ0)，建立P點(diǎn)與P的中點(diǎn)M的關(guān)系即可． 解　設(shè)M(ρ，θ)是所求軌跡上任意一點(diǎn)．連接OM并延長(zhǎng)交圓A于點(diǎn)P(ρ0，θ0)，則有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圓心為(4,0)，半徑為

10、4的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.故所求軌跡方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓． 求軌跡的方法與普通方程的方法相同，但本部分只要求簡(jiǎn)單的軌跡求法． 【訓(xùn)練3】 從極點(diǎn)O作直線與另一直線ρcos θ＝4相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使|OM|·|OP|＝12，求點(diǎn)P的軌跡方程． 解　設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ，θ)，則M(ρ0，θ)． ∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝. 又M在直線ρcos θ＝4上，∴cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ.這就是點(diǎn)P的軌跡方程． 高考中極坐標(biāo)問題的求解策略 從近兩年新課標(biāo)高考試題可以看出，高考對(duì)該部分重點(diǎn)考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及圓的極坐標(biāo)問題，但各省市的要求不盡相同． 【示例1】? (2020·安徽)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到圓ρ＝2cos θ的圓心的距離為 (　　)． A．2 B. C. D. 【示例2】? (2020·廣東)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ(cos θ＋sin θ) ＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________．