【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學(xué) 第一章章末綜合檢測 蘇教版必修5

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1、 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．把答案填在題中橫線上) 1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于__________． 解析：在△ABC中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定理＝，得b＝＝＝4. 答案：4 2．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC＝________. 解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， ∴設(shè)b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k＞0)， 解得a＝k，b＝k，c＝k， ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3

2、. 答案：7∶5∶3 3．三角形兩邊之差為2，夾角的余弦值為，面積為14，那么這個(gè)三角形的此兩邊長分別是________． 答案：5和7 4．(2020年高考課標(biāo)全國卷)在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，則BD＝________. 解析： 如圖，設(shè)AB＝k，則AC＝k. 再設(shè)BD＝x，則DC＝2x. 在△ABD中，由余弦定理得 k2＝x2＋2－2·x··＝x2＋2＋2x.① 在△ADC中，由余弦定理得 2k2＝4x2＋2－2·2x··＝4x2＋2－4x， ∴k2＝2x2＋1－2x.② 由①②得x2－4x－1＝0

3、，解得x＝2＋(負(fù)值舍去)． 答案：2＋ 5．在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，則此三角形解的情況是________． 解析：∵bsinA＝100×＝50，bsinA＜a＜b， ∴有兩解． 答案：有兩解 6．已知△ABC的三邊a，b，c滿足b2＝ac，P＝sinB＋cosB，則P的取值范圍為________． 解析：由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2accosB. 又∵b2＝ac， ∴ac＝a2＋c2－2accosB， ∴(1＋2cosB)ac＝a2＋c2≥2ac， ∴cosB≥， ∴0＜B≤， ∴P＝sinB＋cosB＝sin(B＋)， ∵0＜B≤，

4、∴＜B＋≤＋， ∴sin＜sin(B＋)≤1， ∴＜sin(B＋)≤1， ∴P的取值范圍是(1，]． 答案：(1，] 7．若在測量中，某渠道斜坡的坡度i＝3∶4，設(shè)α為坡角，那么cosα為________． 解析：由已知tanα＝，則cosα＝. 答案： 8．等腰△ABC中，一腰上的高為，這條高與底邊的夾角為60°，則這個(gè)三角形的外接圓半徑等于________． 解析：由已知，得三角形的底角為30°，腰長為2. R＝×＝2. 答案：2 9．鈍角三角形邊長為a，a＋1，a＋2，其最大角不超過120°，則a的取值范圍是________． 答案：[，3) 10．在△ABC

5、中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則acosC＋ccosA的值為________． 解析：將a＝2RsinA，c＝2RsinC，代入acosC＋ccosA＝2RsinAcosC＋2RsinCcosA＝2Rsin(A＋C)＝2RsinB＝b. 答案：b 11．如果滿足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的三角形恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是________． 解析：設(shè)AB＝x，由余弦定理得 122＝x2＋k2－2kxcos60°， 化簡得：x2－kx＋k2－144＝0， 因方程的兩根之和x1＋x2＝k＞0，故方程有且只有一個(gè)根等價(jià)于k2－4(k2－144)＝0或k2－144

6、≤0， 解得0＜k≤12或k＝8. 答案：0＜k≤12或k＝8 12．在△ABC中，若C＝30°，AC＝3，AB＝3，則△ABC的面積為________． 解析：由正弦定理得：＝，sinB＝sinC＝·＝，所以B＝60°或120°. 當(dāng)B＝60°時(shí)，S△＝AB×AC＝·3·3＝； 當(dāng)B＝120°時(shí)，S△＝AB×AC·sin30°＝. 答案：或 13．在△ABC中，若AB＝6，BC＝3，AC＝5，則·＝________. 解析：由余弦定理，得cos∠ABC＝， ·＝||·||cos(180°－∠ABC) ＝6×3×(－)＝－10. 答案：－10 14．(2020年高考江

7、蘇卷)在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若＋＝6cos C，則＋的值是________． 解析：由＋＝6cos C，得b2＋a2＝6abcos C. 化簡整理得2(a2＋b2)＝3c2，將＋切化弦， 得·＝· ＝·＝. 根據(jù)正、余弦定理得＝ ＝＝＝4. 答案：4 二、解答題(本大題共6小題，共計(jì)90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)已知三角形的三條邊長分別為a＝2，b＝2，c＝＋，解此三角形． 解：由余弦定理的推論，得cosA＝＝＝，所以A＝45°， cosB＝＝＝， 所以B＝30°，于是C＝180°－45°－

8、30°＝105°. 16．(本小題滿分14分)在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C對邊，a＝2，B＝45°，面積S△ABC＝4. (1)求b； (2)求的值． 解：(1)由S＝acsinB＝4， 即·2·csin45°＝4，所以c＝4. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝20， 所以b＝2. (2)由于b＝2，B＝45°，所以＝ . 根據(jù)正弦定理＝＝＝， 由等比定理得＝. 17．(本小題滿分14分)已知△ABC中，cosA＝，且(a－2)∶b∶(c＋2)＝1∶2∶3，試判斷三角形的形狀． 解：令＝＝＝k， 則a＝k＋2，b＝2k，c＝3k－2， 又

9、cosA＝，由cosA＝＝， 得k＝0(舍去)或k＝4. 此時(shí)，a＝6，b＝8，c＝10. ∴c2＝a2＋b2， ∴△ABC為直角三角形． 18．(本小題滿分16分)△ABC中，角A、B、C對應(yīng)邊分別為a、b、c.求證：＝. 證明：法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， 得a2－b2＝b2－a2＋2c(acosB－bcosA)， 即a2－b2＝c(acosB－bcosA)， 變形得＝＝cosB－cosA， 由正弦定理＝＝得＝，＝， ∴＝＝. 法二：＝ ＝cosB－cosA， ∵＝＝， ∴＝，＝， cosB＝，co

10、sA＝， 代入上式得 ＝·－· ＝－＝＝. ∴等式成立． 19．(本小題滿分16分)(2020年高考遼寧卷)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)·sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大??； (2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀． 解：(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.① 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 故cos A＝－，A＝120°. (2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 又sin

11、 B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝. 因?yàn)?°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C. 所以△ABC是等腰的鈍角三角形． 20．(本小題滿分16分) 如圖所示，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)B，C分別在A的正東方20 km處和54 km處．某時(shí)刻，監(jiān)測點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波，8 s后監(jiān)測點(diǎn)A,20 s后監(jiān)測點(diǎn)C相繼收到這一信號．在當(dāng)時(shí)氣象條件下，聲波在水中的傳播速率是1.5 km/s. (1)設(shè)A到P的距離為x km，用x分別表示B，C到P的距離，并求x的值； (2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(結(jié)果

12、精確到0.01 km)． 解：(1)依題意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)， PC－PB＝1.5×20＝30(km)．因此PB＝(x－12)km， PC＝PB＋30＝x－12＋30＝(18＋x)km. 在△PAB中，AB＝20 km， cos∠PAB＝＝ ＝. 同理，cos∠PAC＝， 由于cos∠PAB＝cos∠PAC，即＝， 解得x＝(km)． (2) 如圖所示，作PD⊥a，垂足為D.在Rt△PDA中， PD＝PA·cos∠APD＝ PA·cos∠PAB ＝x·＝≈17.71(km)． 即靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為17.71 km.