【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第九篇 解析幾何 第5講　橢　圓教案 理 新人教版

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1、第5講　橢　圓 【2020年高考會這樣考】 1．考查橢圓的定義及利用橢圓的定義解決相關問題． 2．考查橢圓的方程及其幾何性質． 3．考查直線與橢圓的位置關系． 【復習指導】 1．熟練掌握橢圓的定義及其幾何性質會求橢圓的標準方程． 2．掌握常見的幾種數(shù)學思想方法——函數(shù)與方程、數(shù)形結合、轉化與化歸等．體會解析幾何的本質問題——用代數(shù)的方法解決幾何問題． 基礎梳理 1．橢圓的概念 在平面內到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1

2、F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)： (1)若a＞c，則集合P為橢圓； (2)若a＝c，則集合P為線段； (3)若a＜c，則集合P為空集． 2．橢圓的標準方程和幾何性質 標準方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 圖　形 續(xù)表 性　　質 范　圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸　　對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 軸 長

3、軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的關系 c2＝a2－b2 一條規(guī)律 橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)間的關系： 給出橢圓方程＋＝1時，橢圓的焦點在x軸上?m＞n＞0；橢圓的焦點在y軸上?0＜m＜n. 兩種方法 (1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2、b2的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程． (2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關于a、b、c的方程組，解出a2、b2，從而寫出橢圓的標準方程． 三種技巧 (1)橢圓上任意一點M到焦點F的

4、所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a＋c，最小距離為a－c. (2)求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)． (3)求橢圓方程時，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標準方程，判斷的依據(jù)是：①中心是否在原點；②對稱軸是否為坐標軸． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為(　　)． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D．以上都不對 解析　∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，則c

5、2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，從而可得a＝5，b＝4，∴橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 答案　C 2．(2020·合肥月考)設P是橢圓＋＝1上的點，若F1、F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于(　　)． A．4 B．5 C．8 D．10 解析　依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 答案　D 3．(2020·蘭州調研)“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示橢圓”的 (　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　要使方程＋＝1表示橢圓，應滿足解得－3＜m＜5

6、且m≠1，因此“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示橢圓”的必要不充分條件． 答案　B 4．(2020·淮南五校聯(lián)考)橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為(　　)． A．－21 B．21 C．－或21 D.或21 解析　若a2＝9，b2＝4＋k，則c＝ ， 由＝即＝，得k＝－； 若a2＝4＋k，b2＝9，則c＝ ， 由＝，即＝，解得k＝21. 答案　C 5．(2020·全國新課標)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________． 解析　根據(jù)橢圓焦點在x

7、軸上，可設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)．∵e＝，∴＝，根據(jù)△ABF2的周長為16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以橢圓方程為＋＝1. 答案　＋＝1 　 考向一　橢圓定義的應用 【例1】?(2020·青島模擬)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. [審題視點] 關鍵抓住點P為橢圓C上的一點，從而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用⊥，進而得解． 解析　由題意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)

8、2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2| ＝×2b2＝b2＝9. ∴b＝3. 答案　3 橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通過整體代入可求其面積等． 【訓練1】 已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是(　　)． A．2 B．6 C．4 D．12 解析　由橢圓的定義知：|B

9、A|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a， ∴周長為4a＝4(F是橢圓的另外一個焦點)． 答案　C 考向二　求橢圓的標準方程 【例2】?(1)求與橢圓＋＝1有相同的離心率且經(jīng)過點(2，－)的橢圓方程． (2)已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5、3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程． [審題視點] 用待定系數(shù)法求橢圓方程，但應注意橢圓的焦點位置是否確定． 解　(1)由題意，設所求橢圓的方程為＋＝t(t＞0)， ∵橢圓過點(2，－)，∴t＝＋＝2， 故所求橢圓標準方程為＋＝1. (2)設所求的橢圓方程為 ＋＝1(a＞b＞0)或

10、＋＝1(a＞b＞0)， 由已知條件得 解得a＝4，c＝2，b2＝12. 故所求方程為＋＝1或＋＝1. 運用待定系數(shù)法求橢圓標準方程，即設法建立關于a、b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時，考慮是否兩解，有時為了解題需要，橢圓方程可設為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由題目所給條件求出m、n即可． 【訓練2】 (1)求長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)的橢圓的標準方程． (2)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個三等分點M，N與F構成正三角形，求橢圓的方程． 解　(1)若橢圓的焦點在x軸上， 設方程為＋＝1(a＞b＞0)，

11、 ∵橢圓過點A(3,0)，∴＝1，a＝3， ∵2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程為＋y2＝1. 若橢圓的焦點在y軸上， 設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)， ∴橢圓過點A(3,0)，∴＋＝1，∴b＝3， 又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程為＋＝1. 綜上所述，橢圓方程為＋y2＝1或＋＝1. (2)由△FMN為正三角形，則c＝|OF|＝|MN|＝×b＝1.∴b＝.a2＝b2＋c2＝4.故橢圓方程為＋＝1. 考向三　橢圓幾何性質的應用 【例3】?(2020·北京)已知橢圓G：＋y2＝1.過點(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點． (1)求橢圓G的焦點坐標和離心

12、率； (2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值． [審題視點] (1)由橢圓方程可直接求出c，從而求出離心率．(2)可設出直線方程與橢圓方程聯(lián)立得一元二次方程，由弦長公式列出|AB|長的表達式從而求出|AB|的最大值． 解　(1)由已知得，a＝2，b＝1， 所以c＝＝. 所以橢圓G的焦點坐標為(－，0)，(，0)， 離心率為e＝＝. (2)由題意知，|m|≥1. 當m＝1時，切線l的方程為x＝1，點A，B的坐標分別為，，此時|AB|＝. 當m＝－1時，同理可得|AB|＝. 當|m|＞1時，設切線l的方程為y＝k(x－m)． 由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋

13、4k2m2－4＝0. 設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝. 又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1， 即m2k2＝k2＋1. 所以|AB|＝＝ ＝ ＝. 由于當m＝±1時，|AB|＝， 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因為|AB|＝＝≤2， 且當m＝±時，|AB|＝2，所以|AB|的最大值為2. (1)求橢圓的離心率，其法有三：一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．

14、(2)弦長公式l＝|x1－x2|＝ . 【訓練3】 (2020·武漢質檢)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果一個橢圓通過A，B兩點，它的一個焦點為點C，另一個焦點在AB上，則這個橢圓的離心率為________． 解析　 設另一個焦點為F，如圖所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△ABC為直角三角形， ∴1＋1＋＝4a，則a＝， 設|FA|＝x， ∴∴x＝，∴1＋2＝4c2， ∴c＝，e＝＝－. 答案?。? 考向四　橢圓中的定值問題 【例4】?(2020·重慶)如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e＝， 一條準線的方程為x＝2. (1)求該橢圓的標準方程； (2

15、)設動點P滿足：O＝O＋2O，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為－ .問：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|＋|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標；若不存在，說明理由． [審題視點] (1)由離心率和準線方程即可求出橢圓方程．(2)充分利用橢圓的定義和性質，利用設而不求的方法求出P點． 解　(1)由e＝＝，＝2， 解得a＝2，c＝，b2＝a2－c2＝2， 故橢圓的標準方程為＋＝1. (2)設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則由O＝O＋2O得 (x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)， 即

16、x＝x1＋2x2，y＝y(tǒng)1＋2y2. 因為點M、N在橢圓x2＋2y2＝4上， 所以x＋2y＝4，x＋2y＝4， 故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2) ＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2) ＝20＋4(x1x2＋2y1y2)． 設kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率， 由題設條件知kOM·kON＝＝－， 因此x1x2＋2y1y2＝0， 所以x2＋2y2＝20. 所以P點是橢圓＋＝1上的點， 設該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2， 則由橢圓的定義|PF1|＋|PF2|為定值． 又因c＝＝， 因此兩焦點的坐標為F1(－

17、，0)，F(xiàn)2(，0)． 本題考查橢圓方程的求法和橢圓中的定點、定值等綜合問題，可先設出動點P，利用設而不求的方法求出P點的軌跡方程，從而找出定點． 【訓練4】 (2020·安徽)如圖， 已知橢圓E經(jīng)過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝. (1)求橢圓E的方程； (2)求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程． 解　(1)設橢圓E的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 由e＝，即＝，得a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2. ∴橢圓方程可化為＋＝1. 將A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c＝2， ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)知F1(

18、－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，∴直線AF1的方程為 y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直線AF2的方程為x＝2. 由點A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù)． 設P(x，y)為l上任一點，則＝|x－2|. 若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率為負，舍去)． 于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0， ∴直線l的方程為2x－y－1＝0. 規(guī)范解答16——怎樣求解與弦有關的橢圓方程問題 【問題研究】 求橢圓的方程是高考的重中之重，幾乎每年必考，有的是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，多數(shù)以解答題的形式出現(xiàn)．雖然考向二中學習了求橢圓方程的方法，

19、但在解答題中往往結合弦長等知識來求橢圓方程，難度中等偏上． 【解決方案】 解決這類問題首先根據(jù)題設條件設出所求的橢圓方程，再由直線與橢圓聯(lián)立，結合根與系數(shù)的關系及弦長公式求出待定系數(shù)． 【示例】?(本題滿分12分)(2020·天津)設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2.點P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率e； (2)設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程． 第(1)問由|PF2|＝|F1F2|建立關于a、c的方程；第(2)問可以求出點A、B

20、的坐標或利用根與系數(shù)的關系求|AB|均可，再利用圓的知識求解． [解答示范] (1)設F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c＞0)，因為|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(4分) (2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝(x－c)． A、B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c.(6分) 得方程組的解為 不妨設A，B(0，－c)， 所以|AB|＝＝c.(8分) 于是|MN|＝|AB|＝2c. 圓心(－1，)到直線PF2的距離

21、d＝＝.(10分) 因為d2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16. 整理得7c2＋12c－52＝0. 得c＝－(舍)，或c＝2. 所以橢圓方程為＋＝1.(12分) 用待定系數(shù)法求橢圓方程時，可盡量減少方程中的待定系數(shù)(本題只有一個c)，這樣可避免繁瑣的運算而失分． 【試一試】 已知直線y＝－x＋2和橢圓＋＝1(a＞b＞0)相交于A、B兩點，M為線段AB的中點，若|AB|＝2，直線OM的斜率為，求橢圓的方程． [嘗試解答]　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． 則 ①－②得：＝－. ∴kAB＝－×＝－.③ 又kOM＝＝，④ 由③④得a2＝4b2. 由得：x2－4x＋8－2b2＝0， ∴x1＋x2＝4，x1·x2＝8－2b2. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝ ＝2. 解得：b2＝4. 故所求橢圓方程為：＋＝1.