【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第8講　函數(shù)與方程教案 理 新人教版

《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第8講　函數(shù)與方程教案 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第8講　函數(shù)與方程教案 理 新人教版（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講　函數(shù)與方程 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．考查具體函數(shù)的零點(diǎn)的取值范圍和零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 2．利用函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍． 3．利用二分法求方程的近似解． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 (1)準(zhǔn)確理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，方程的根、函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，三者之間的區(qū)別與聯(lián)系，能夠?qū)崿F(xiàn)彼此之間的靈活轉(zhuǎn)化，并能利用特殊點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理來判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間；(2)靈活運(yùn)用函數(shù)圖象，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．函數(shù)的零點(diǎn) (1)函數(shù)零點(diǎn)的定義 對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)． (2)

2、幾個(gè)等價(jià)關(guān)系 方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． (3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零點(diǎn)的分布 根的分布(m＜n ＜p為常數(shù)) 圖象 滿足條件 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2 f(m)＜0 m＜x1＜x2＜n

3、 m＜x1＜ n＜x2＜p 只有一根在 (m，n)之間 或f(m)·f(n) ＜0 3.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定義 對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． (2)給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下： ①確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)＜0，給定精確度ε；②求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；③計(jì)算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)； (ⅱ)若

4、f(a)·f(c)＜0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))． ④判斷是否達(dá)到精確度ε.即：若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)②③④. 一個(gè)口訣 用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的口訣為：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看．同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷． 兩個(gè)防范 (1)函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)即方程f(x)＝0的實(shí)根，是數(shù)不是點(diǎn)． (2)若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不間斷的，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)·f(b)＜0，滿足

5、這些條件一定有零點(diǎn)，不滿足這些條件也不能說就沒有零點(diǎn)．如圖， f(a)·f(b)＞0，f(x)在區(qū)間(a，b)上照樣存在零點(diǎn)，而且有兩個(gè)．所以說零點(diǎn)存在性定理的條件是充分條件，但并不必要． 三種方法 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法： (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)； (2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)； (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同

6、的零點(diǎn)． 雙基自測(cè) 1．(2020·福建)若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)． A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得：判別式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故選C. 答案　C 2．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)(　　)． A．至少有一個(gè) B．至多有一個(gè) C．有且只有一個(gè) D．可能有無數(shù)個(gè) 答案　B 3．如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中交

7、點(diǎn)橫坐標(biāo)的是(　　)． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 答案　B 4．(2020·新課標(biāo)全國(guó))在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 (　　)． A. B. C. D. 解析　因?yàn)閒＝e＋4×－3＝e－2＜0，f＝e＋4×－3＝e－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為. 答案　C 5．(人教A版教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析　函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上遞增．由已知條件f(0)f(1)<0，即a(a＋2)<0，解得

8、－2

9、零點(diǎn)是否唯一等． 【訓(xùn)練1】 函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3的零點(diǎn)一定在區(qū)間(　　)． A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析　法一　函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3的定義域?yàn)?0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上遞增連續(xù)，又f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，∴函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3有唯一的零點(diǎn)且零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi)． 法二　方程log3x＋x－3＝0可化為log3x＝3－x，在同一坐標(biāo)系中作出y＝log3x和y＝3－x的圖象如圖所示，可觀察判斷出兩圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間(2,3)內(nèi)． 答案　C 考向二　有關(guān)二次函數(shù)的零

10、點(diǎn)問題 【例2】?是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸恒有一個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)．若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由． [審題視點(diǎn)] 可用零點(diǎn)定理去判斷，注意對(duì)函數(shù)端點(diǎn)值的檢驗(yàn)． 解　∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋＞0 ∴若實(shí)數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可． f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1) ＝4(1－a)(5a＋1)≤0. 所以a≤－或a≥1. 檢驗(yàn)：(1)當(dāng)f(－1)＝0時(shí)，a＝1.所以f(x)＝x2＋x. 令f(x

11、)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1. (2)當(dāng)f(3)＝0時(shí)，a＝－，此時(shí)f(x)＝x2－x－. 令f(x)＝0，即x2－x－＝0， 解之得x＝－或x＝3. 方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－. 綜上所述，a＜－或a＞1. 解決二次函數(shù)的零點(diǎn)問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組． 【訓(xùn)練2】 關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，當(dāng)a為何實(shí)數(shù)時(shí) (1)有兩不同正根； (2)不同兩根在(1,3)之間； (

12、3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)內(nèi)有且只有一解 解　設(shè)f(x)＝x2－2ax＋a＋2， Δ＝4a2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)＝4(a－2)(a＋1)． (1)由已知條件解得a>2. (2)由已知條件解得22. (4)由已知條件f(1)f(3)<0解得

13、或≤a<3. 考向三　函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用 【例3】?已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x>0，其中e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)若g(x)＝m有零點(diǎn)，求m的取值范圍； (2)確定t的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根． 分析：(1)可結(jié)合圖象也可解方程求之．(2)利用圖象求解． [審題視點(diǎn)] 畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)范圍． 解　(1)法一　 ∵g(x)＝x＋≥2＝2e， 等號(hào)成立的條件是x＝e. 故g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有零點(diǎn)． 法二　作出g(x)＝x＋的圖象如圖：

14、 可知若使g(x)＝m有零點(diǎn)，則只需m≥2e. 法三　解方程由g(x)＝m， 得x2－mx＋e2＝0. 此方程有大于零的根，故 等價(jià)于，故m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異的實(shí)根，即g(x)＝f(x)中函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出g(x)＝x＋(x>0)的圖象． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋t－1 ＝－(x－e)2＋t－1＋e2. 其對(duì)稱軸為x＝e，開口向下，最大值為t－1＋e2. 故當(dāng)t－1＋e2>2e，即t>－e2＋2e＋1時(shí)，g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，即g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根． ∴t的取值范圍是(－e2

15、＋2e＋1，＋∞)． 　此類利用零點(diǎn)求參數(shù)的范圍的問題，可利用方程，但有時(shí)不易甚至不可能解出，而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩函數(shù)圖象求解，使得問題簡(jiǎn)單明了，這也體現(xiàn)了，當(dāng)不是求零點(diǎn)，而是利用零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或有零點(diǎn)時(shí)求參數(shù)的范圍，一般采用數(shù)形結(jié)合法求解． 【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在區(qū)間(－1,1)上有一個(gè)零點(diǎn)． (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在區(qū)間(－1,1)上的根． 解　(1)若a＝0，則f(x)＝－4與題意不符，∴a≠0， ∴f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)＜0，∴1＜a＜2. (2)若a＝，則f(x)＝x3－x＋

16、， ∴f(－1)＞0，f(1)＜0，f(0)＝＞0， ∴零點(diǎn)在(0,1)上，又f＝0， ∴f(x)＝0的根為. 難點(diǎn)突破6——如何利用圖象求解函數(shù)零點(diǎn)問題 數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法之一，也是高考考查的熱點(diǎn)問題，利用函數(shù)圖象判斷方程是否有解，有多少個(gè)解是常見?？嫉念}型，數(shù)形結(jié)合法是求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的有效方法，其基本思路是把函數(shù)分成兩個(gè)函數(shù)的差，分析的基本思想是分析后的函數(shù)圖象比較容易做出，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 一、判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 【示例】? (2020·陜西)函數(shù)f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內(nèi)(　　)． A．沒有零點(diǎn) B．有且僅有一個(gè)零點(diǎn) C．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D．有無窮多個(gè)零點(diǎn) 二、判斷零點(diǎn)的范圍 【示例】? (2020·山東)已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________.