【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五篇平面向量 專題二　高考三角函數(shù)與平面向量命題動向教案 理 新人教版

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1、專題二　高考三角函數(shù)與平面向量命題動向 高考命題分析 縱觀近年各省的高考數(shù)學(xué)試題，出現(xiàn)了一些富有時代氣息的三角函數(shù)與平面向量考題，它們形式獨特、背景鮮明、結(jié)構(gòu)新穎，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和處理交匯性問題的能力．在新課標(biāo)高考試卷中一般有2～4題，分值約占全卷的14%～20%，因此，加強這些試題的命題動向研究，對指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)無疑有十分重要的意義．現(xiàn)聚焦高考三角函數(shù)與平面向量試題，揭秘三角函數(shù)與平面向量高考命題動向，挖掘三角函數(shù)與平面向量常見的考點及其求解策略，希望能給考生帶來幫助和啟示． 高考命題特點 新課標(biāo)高考涉及三角函數(shù)與平面向量的考題可以說是精彩紛呈，奇花斗艷，其特點如

2、下： (1)考小題，重基礎(chǔ)：有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點在于基礎(chǔ)知識：解析式；圖象與圖象變換；兩域(定義域、值域)；四性(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)；簡單的三角變換(求值、化簡及比較大小)．有關(guān)向量的考查主要是向量的線性運算以及向量的數(shù)量積等知識． (2)考大題，難度明顯降低：有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過公式變形轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)很少，而著重考查基礎(chǔ)知識和基本技能與方法的題目卻在增加．大題中的向量，主要是作為工具來考查的，多與三角、圓錐曲線相結(jié)合． (3)考應(yīng)用，融入三角形與解析幾何之中：既能考查解三角形、圓錐曲線的知識與方法，又能考查運用三角公式進行恒等變換的技能，

3、深受命題者的青睞．主要解法是充分利用三角形內(nèi)角和定理、正、余弦定理、面積公式、向量夾角公式、向量平行與垂直的充要條件，向量的數(shù)量積等． (4)考綜合，體現(xiàn)三角的工具作用：由于近幾年高考試題突出能力立意，加強對知識性和應(yīng)用性的考查，故常常在知識交匯點處命題，而三角知識是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，故考查與立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等綜合性問題時突出三角與向量的工具性作用． 高考動向透視 考查三角函數(shù)的概念及同角三角函數(shù)的 　　　 基本關(guān)系 高考對本部分內(nèi)容的考查主要以小題的形式出現(xiàn)，即利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系進行求值、變形，或是利用三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)進

4、行求值、求參數(shù)的值、求值域、求單調(diào)區(qū)間及圖象判斷等，而大題常常在綜合性問題中涉及三角函數(shù)的定義、圖象、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等，在這類問題的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齊次化切”等． 【示例1】?(2020·福建)若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，則tan α的值等于 (　　)． A. B. C. D. 解析　由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝，即－sin2α＝－，sin2α＝，又因為α∈，所以sin α＝，即α＝，所以tan α＝tan ＝，故選D. 答案　D 本題考查了三角恒等變換中二倍角公式的靈活運用．

5、 考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要包括：正弦(型)函數(shù)、余弦(型)函數(shù)、正切(型)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、圖象的變換等五大塊內(nèi)容，在近年全國各地的高考試卷中都有考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的試題，而且對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查不但有客觀題，還有主觀題，客觀題常以選擇題的形式出現(xiàn)，往往結(jié)合集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查圖象的相關(guān)性質(zhì)；解答題主要在與三角恒等變換、不等式等知識點的交匯處命題，難度中等偏下． 【示例2】?(2020·浙江) 已知函數(shù)f(x)＝Asin，x∈R，A＞0,0＜φ＜，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P，Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標(biāo)

6、為(1，A)． (1)求f(x)的最小正周期及φ的值； (2)若點R的坐標(biāo)為(1,0)，∠PRQ＝，求A的值． 解　(1)由題意得，T＝＝6. 因為P(1，A)在y＝Asin的圖象上， 所以sin＝1. 又因為0＜φ＜， 所以φ＝. (2)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0，－A)， 由題意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)，如圖，連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得cos∠PRQ＝＝＝－，解得A2＝3.又A＞0，所以A＝. 本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角運算等基礎(chǔ)知識． 高考對三角函數(shù)的單調(diào)性考查，常以小題形

7、式呈現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)在大題的某一小問中，屬中檔題．對于形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))，Aω≠0的單調(diào)區(qū)間的求法是：先考慮A，ω的符號，再將ωx＋φ視為一個整體，利用y＝sin x的單調(diào)區(qū)間，整體運算，解出x的范圍即可． 【示例3】?(2020·安徽)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數(shù)，若f(x)≤對x∈R恒成立，且f＞f(π)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)． A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析　因為當(dāng)x∈R時，f(x)≤恒成立，所以f＝sin＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因為f＝sin(π

8、＋φ)＝－sin φ＞f(π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ＜0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin，所以由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． 答案　C 本題的亮點是引入?yún)?shù)φ與不等式恒成立問題，求解此類問題的關(guān)鍵是：利用隱蔽條件“正弦函數(shù)的有界性”，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)φ的方程，求出參數(shù)φ的值，注意利用已知條件剔除增根；求出函數(shù)的解析式即可求其單調(diào)遞增區(qū)間，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性可加快求解此類問題的速度． 【訓(xùn)練】 (2020·新課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f(－x)＝f

9、(x)，則(　　)． A．f(x)在單調(diào)遞減 B．f(x)在單調(diào)遞減 C．f(x)在單調(diào)遞增 D．f(x)在單調(diào)遞增 解析　f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，由最小正周期為π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)為偶函數(shù)，|φ|＜可得φ＝，所以f(x)＝cos 2x在單調(diào)遞減． 答案　A 高考對三角函數(shù)最值的考查，常以小題形式呈現(xiàn)，屬中檔題．有時也在大題中的某一步呈現(xiàn)，屬中檔偏難題，高考常考查以下兩種類型：①化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求其最值；②化成二次函數(shù)形式后利用配方法求其最

10、值． 【示例4】?(2020·重慶)設(shè)a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2滿足f＝f(0)，求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值． 解　f(x)＝asin xcos x－cos2x＋sin2 x＝sin 2x－cos 2x. 由f＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2. 因此f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 當(dāng)x∈時，2x－∈，f(x)為增函數(shù)， 當(dāng)x∈時，2x－∈，f(x)為減函數(shù)， 所以f(x)在上的最大值為f＝2. 又因為f＝，f＝， 故f(x)在上的最小值為f＝. 本小題主要考查基本三角函數(shù)公式，以及運用三角函數(shù)公式對相關(guān)

11、函數(shù)的解析式進行化簡的能力，同時考查數(shù)形結(jié)合思想． 【訓(xùn)練】 (2020·上海)函數(shù)y＝2sin x－cos x的最大值為________． 解析　注意到y(tǒng)＝＝sin(x－θ)．其中cos θ＝，sin θ＝，因此函數(shù)y＝2sin x－cos x的最大值是. 答案　 三角恒等變換是研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形的基礎(chǔ)，在前幾年的高考中單獨命題的情況很少，但在今年的高考中加強了對三角恒等變換的考查，大多是結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形進行命題，但有的省份對三角恒等變換進行了單獨命題，由此可見，高考加大了對三角恒等變換的考查力度，高考命題考查的重點性質(zhì)

12、是公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式． 【示例5】?(2020·天津)已知函數(shù)f(x)＝tan. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)設(shè)α∈，若f＝2cos 2α，求α的大小． 解　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定義域為，f(x)的最小正周期為. (2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α， ＝2(cos2α－sin2α)， 整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因為α∈，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α

13、＝. 由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝. 本小題主要考查兩角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力． 【訓(xùn)練】 (2020·浙江)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　對于cos＝cos＝coscos＋sinsin，而∈，∈. 因此sin＝，sin＝， 則cos＝×＋×＝.故選C. 答案　C 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用是歷年來高考考查的重點、熱點問題，新課標(biāo)高考更加注重對知識點的綜合應(yīng)用意識的考查，而

14、且新課標(biāo)高考在考查的內(nèi)容以及形式上不斷推陳出新，三角函數(shù)不僅可以與集合、函數(shù)與方程、不等式等結(jié)合命題，而且還可以結(jié)合線性規(guī)劃知識命題，給今后的命題提出了新的挑戰(zhàn)． 【示例6】?設(shè)函數(shù)f(θ)＝sin θ＋cos θ，其中，角θ的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(x，y)，且0≤θ≤π. (1)若點P的坐標(biāo)為，求f(θ)的值； (2)若點P(x，y)為平面區(qū)域Ω上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值． 解　(1)由點P的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得 于是f(θ)＝sin θ＋cos θ＝×＋＝2. (2)作出平面區(qū)域Ω(即三角區(qū)域

15、ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)． 于是0≤θ≤. 又f(θ)＝sin θ＋cos θ＝2sin，且≤θ＋≤， 故當(dāng)θ＋＝，即θ＝時， f(θ)取得最大值，且最大值等于2； 當(dāng)θ＋＝，即θ＝0時，f(θ)取得最小值，且最小值等于1. 本小題主要考查三角函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力． 新課標(biāo)高考對解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的綜合運用為主，在解題時，要分析清楚題目條件，利用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為三角形中各邊之間的關(guān)系或各角之間的關(guān)系，并結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩

16、角和與差的正弦、余弦、正切公式進行化簡求值．在近幾年的高考中，對解三角形的考查力度有所加強，而且更加注重知識點的綜合運用，沒有怪題、偏題．下面我們就高考試題研究一下解三角形的問題． 【示例7】?(2020·江蘇)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c. (1)若sin＝2cos A，求A的值； (2)若cos A＝，b＝3c，求sin C的值． 解　(1)由題設(shè)知sin Acos＋cos Asin＝2cos A．從而sin A＝cos A，所以cos A≠0，tan A＝.因為0＜A＜π，所以A＝. (2)由cos A＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccos A， 得

17、a2＝b2－c2. 故△ABC是直角三角形，且B＝. 所以sin C＝cos A＝. 本小題主要考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式、解三角形，考查運算求解能力． 【訓(xùn)練】 (2020·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B＝C,2b＝a. (1)求cos A的值； (2)求cos的值． 解　(1)由B＝C,2b＝a，可得c＝b＝a. 所以cos A＝＝＝. (2)因為cos A＝，A∈(0，π)，所以sin A＝＝，cos 2A＝2cos2A－1＝－. 故sin 2A＝2sin Acos A＝. 所以cos＝cos 2Acos －sin

18、 2Asin ＝×－×＝－. 高考對平面向量共線與垂直的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題，有時也在大題的條件中出現(xiàn)，屬中檔偏難題．平面向量的坐標(biāo)表示可使平面向量運算完全代數(shù)化，從而使得我們可以利用“方程的思想”破解向量共線與垂直的問題． 【示例8】?(2020·江蘇)已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實數(shù)k的值為________． 解析　由題意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos －2kcos－2＝0，化簡可求得k＝. 答案　

19、 本題從向量數(shù)量積為0入手，轉(zhuǎn)化為關(guān)于兩單位向量數(shù)量積的關(guān)系式，再利用兩向量數(shù)量積定義，轉(zhuǎn)化為含k的方程，即可求出k的值． 【訓(xùn)練】 (2020·廣東)若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝(　　)． A．4 B．3 C．2 D．0 解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.故選D. 答案　D 高考對平面向量夾角的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題．有時也在大題中出現(xiàn)，屬中檔題．兩向量夾角公式其實是平面向量數(shù)量積公式的變形和應(yīng)用、有關(guān)兩向量夾角問題的考查，常見類型：①依條件等式，運算求夾角，此類問

20、題求解過程中應(yīng)關(guān)注夾角取值范圍；②依已知圖形求兩向量夾角，此類題求解過程應(yīng)抓住“兩向量共起點”，便可避開陷阱，順利求解． 【示例9】?(2020·新課標(biāo)全國)已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題： p1：|a＋b|＞1?θ∈； p2：|a＋b|＞1?θ∈； p3：|a－b|＞1?θ∈； p4：|a－b|＞1?θ∈. 其中的真命題是(　　)． A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 解析　由|a＋b|＝＝＞1， 得2＋2cos θ＞1，∴cos θ＞－，∴0≤θ＜. 由|a－b|＝＝＞1， 得2－2cos θ＞1，∴cos θ＜，

21、∴＜θ＜π.∴p1，p4正確． 答案　A 此題考查向量的運算、向量的模及向量的夾角． 高考對平面向量的模的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題，?？疾轭愋停孩侔严蛄糠旁谶m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦予具體坐標(biāo)求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解．②不把向量放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問題的通常做法是利用向量運算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會把向量a的模進行如下轉(zhuǎn)化：|a|＝. 【示例10】?(2020·遼寧)若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最

22、大值為(　　)． A.－1 B．1 C. D．2 解析　由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)·(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因為|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.故選B. 答案　B 本小題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算及應(yīng)用它解決向量模的問題． 【訓(xùn)練】 (2020·全國)設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則|a＋2b|＝(　　)． A. B. C. D. 解

23、析　依題意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×＝3，則|a＋2b|＝，故選B. 答案　B 近年的新課標(biāo)高考，對于平面向量的應(yīng)用的考查不僅體現(xiàn)在力學(xué)中，還滲透到中學(xué)學(xué)科的各個分支，但不論題型如何變化，都是把向量作為工具進行考查的，解題的關(guān)鍵是把這些以向量形式出現(xiàn)的條件還其本來面目． 【示例11】?(2020·湖北)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于(　　)． A．－ B. C. D. 解析　2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，則cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故夾角為，選C. 答案　C 本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算及數(shù)量積運算．