【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九篇 解析幾何 第2講　兩條直線的位置關(guān)系教案 理 新人教版

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1、第2講　兩條直線的位置關(guān)系 【2020年高考會這樣考】 1．考查兩直線的平行與垂直． 2．考查兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、兩平行直線間的距離公式． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．對兩條直線的位置關(guān)系，求解時要注意斜率不存在的情況，注意平行、垂直時直線方程系數(shù)的關(guān)系． 2．熟記距離公式，如兩點之間的距離、點到直線的距離、兩條平行線之間的距離． 基礎(chǔ)梳理 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，特別地，當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時，l1與l2的關(guān)系為平行． (2)兩條直線垂直

2、 ①如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則l1⊥l2?k1k2＝－1. ②如果l1、l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，l1與l2的關(guān)系為垂直． 2．兩直線相交 交點：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標(biāo)與方程組的解一一對應(yīng)． 相交?方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解； 平行?方程組無解； 重合?方程組有無數(shù)個解． 3．三種距離公式 (1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝. 特別地，原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝. (2)點P0(

3、x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝. (3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. 一條規(guī)律 與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直線方程的設(shè)法： 一般地，平行的直線方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0；垂直的直線方程設(shè)為Bx－Ay＋n＝0. 兩個防范 (1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨(dú)考慮． (2)在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d＝時，一定要注意將兩方程中的x，y系數(shù)化為分別相等． 三種對稱 (1)點關(guān)于點的對稱 點P(x0，y

4、0)關(guān)于A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0,2b－y0)． (2)點關(guān)于直線的對稱 設(shè)點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點P′(x′，y′)， 則有可求出x′，y′. (3)直線關(guān)于直線的對稱 ①若已知直線l1與對稱軸l相交，則交點必在與l1對稱的直線l2上，然后再求出l1上任一個已知點P1關(guān)于對稱軸l對稱的點P2，那么經(jīng)過交點及點P2的直線就是l2；②若已知直線l1與對稱軸l平行，則與l1對稱的直線和l1分別到直線l的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l1的對稱直線． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)直線ax＋2y－1＝0與直線2x－3y－

5、1＝0垂直，則a的值為(　　)． A．－3 B．－ C．2 D．3 解析　由×＝－1，得：a＝3. 答案　D 2．原點到直線x＋2y－5＝0的距離為(　　)． A．1 B. C．2 D. 解析　d＝＝. 答案　D 3．(2020·銀川月考)過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是(　　)． A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析　∵所求直線與直線x－2y－2＝0平行，∴所求直線斜率k＝，排除C、D.又直線過點(1,0)，排除B，故選

6、A. 答案　A 4．點(a，b)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點是(　　)． A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1) C．(－a，－b) D．(－b，－a) 解析　設(shè)對稱點為(x′，y′)，則 解得：x′＝－b－1，y′＝－a－1. 答案　B 5．平行線l1：3x－2y－5＝0與l2：6x－4y＋3＝0之間的距離為________． 解析　直線l2變?yōu)椋?x－2y＋＝0，由平行線間的距離公式得：d＝＝. 答案　 考向一　兩條直線平行與垂直的判定及應(yīng)用 【例1】?(1)已知兩條直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則實數(shù)a＝______

7、__. (2)“ab＝4”是直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行的(　　)． A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 [審題視點] (1)利用k1·k2＝－1解題．(2)抓住ab＝4能否得到兩直線平行，反之兩直線平行能否一定得ab＝4. 解析　(1)由題意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，則a＝－1. (2)直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行的充要條件是－＝－且－≠－1，即ab＝4且a≠1，則“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分條件． 答案　

8、(1)－1　(2)C (1)充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關(guān)鍵，對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意． (2)①若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則：直線l1⊥l2的充要條件是k1·k2＝－1. ②設(shè)l1：A1 x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 則：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. (3)注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用． 【訓(xùn)練1】 已知直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)

9、x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得： (1)l1與l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合． 解　(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0， 解得m≠－1且m≠3. 故當(dāng)m≠－1且m≠3時，l1與l2相交． (2)當(dāng)1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝時，l1⊥l2. (3)當(dāng)1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1時，l1∥l2. (4)當(dāng)1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3時， l1與l2重合． 考向二　兩直線的交點 【例2】?求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2

10、y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程． [審題視點] 可先求出l1與l2的交點，再用點斜式；也可利用直線系方程求解． 解　法一　先解方程組 得l1、l2的交點坐標(biāo)為(－1,2)， 再由l3的斜率求出l的斜率為－， 于是由直線的點斜式方程求出l： y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0. 法二　由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1、l2的交點(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程為5x＋3y－1＝0. 法三　由于l過l1、l2的交點，故l是直線系3x＋2y－1＋λ(5x＋2

11、y＋1)＝0中的一條， 將其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－＝－，解得λ＝， 代入直線系方程即得l的方程為5x＋3y－1＝0. 運(yùn)用直線系方程，有時會給解題帶來方便，常見的直線系方程有： (1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是： Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)； (2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)； (3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 【訓(xùn)練2】

12、 直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點為P(－1,2)，求直線l的方程． 解　法一　設(shè)直線l與l1的交點為A(x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點為B(－2－x0,4－y0)，并且滿足 即解得 因此直線l的方程為＝，即3x＋y＋1＝0. 法二　設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由得x＝. 由得x＝. 則＋＝－2，解得k＝－3. 因此所求直線方程為y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0. 法三　兩直線l1和l2的方程為(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，① 將上述方程中(x，y)換成(

13、－2－x,4－y)， 整理可得l1與l2關(guān)于(－1,2)對稱圖形的方程： (4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.② ①－②整理得3x＋y＋1＝0. 考向三　距離公式的應(yīng)用 【例3】?(2020·北京東城模擬)若O(0,0)，A(4，－1)兩點到直線ax＋a2y＋6＝0的距離相等，則實數(shù)a＝________. [審題視點] 由點到直線的距離公式列出等式求a. 解析　由題意，得＝，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6. 檢驗得a＝0不合題意，所以a＝－2或4或6. 答案　－2或4或6 用點到直線的距離公式時，直線方程要化為一般式，還要注意公式中分子含有絕對值

14、的符號，分母含有根式的符號．而求解兩平行直線的距離問題也可以在其中一條直線上任取一點，再求這一點到另一直線的距離． 【訓(xùn)練3】 已知直線l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之間的距離為 ，求直線l1的方程． 解　∵l1∥l2，∴＝≠，∴或 (1)當(dāng)m＝4時，直線l1的方程為4x＋8y＋n＝0，把l2的方程寫成4x＋8y－2＝0.∴＝，解得n＝－22或n＝18. 所以，所求直線的方程為2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. (2)當(dāng)m＝－4時，直線l1的方程為4x－8y－n＝0，l2的方程為2x－4y－1＝0，∴＝，解得n＝－18或n＝22.

15、所以，所求直線的方程為2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 考向四　對稱問題 【例4】?光線從A(－4，－2)點射出，到直線y＝x上的B點后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上C點，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點D(－1,6)，求BC所在的直線方程． [審題視點] 設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對稱點為A′，D關(guān)于y軸的對稱點為D′，則直線A′D′經(jīng)過點B與C. 解　作出草圖， 如圖所示．設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對稱點為A′，D關(guān)于y軸的對稱點為D′，則易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點B與C.故BC所在的直線方程為＝，即10x－3y＋8＝0.

16、 解決這類對稱問題要抓住兩條：一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；二是以已知點和對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上． 【訓(xùn)練4】 已知直線l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直線l2與l1關(guān)于l對稱，則l2的方程是(　　)． A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0 解析　l1與l2關(guān)于l對稱，則l1上任一點關(guān)于l的對稱點都在l2上，故l與l1的交點(1,0)在l2上．又易知(0，－2)為l1上一點，設(shè)其關(guān)于l的對稱點為(x，y)，則 得即(1,0)、(－1，－1)為l2上兩點，可得l2方程為x－2y－1＝0. 答案　B

17、 難點突破19——兩直線平行與垂直問題的求解策略 從近兩年新課標(biāo)高考試題可看出高考主要以選擇題、填空題的形式考查兩直線的平行和垂直問題，往往是直線方程中一般帶有參數(shù)，問題的難點就是確定這些參數(shù)值，方法是根據(jù)兩直線平行、垂直時所滿足的條件列關(guān)于參數(shù)的方程(組)，通過解方程(組)求出參數(shù)值，但要使參數(shù)符合題目本身的要求，解題時注意直線方程本身的限制． 【示例1】? (2020·浙江)若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實數(shù)m＝________. 【示例2】? (2020·上海)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(　　)． A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2