【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 計(jì)數(shù)原理 第1講　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教案 理 新人教版

《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 計(jì)數(shù)原理 第1講　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教案 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 計(jì)數(shù)原理 第1講　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教案 理 新人教版（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1講　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 【2020年高考會(huì)這樣考】 考查分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時(shí)要弄清分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系，這是解排列組合問題的基礎(chǔ)．　　 基礎(chǔ)梳理 1．分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法． 2．分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事情需要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完

2、成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法． 兩個(gè)原理 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)并貫穿始終．分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類，簡(jiǎn)單的說分類的標(biāo)準(zhǔn)是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟相互依存，在各個(gè)步驟中任取一種方法，即是完成這件事的一種方法，簡(jiǎn)單的說步與步之間的方法“相互獨(dú)立，多步完成”． 類比加法與乘法的關(guān)系，在特定的情況下分步乘法計(jì)數(shù)原理可簡(jiǎn)化運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的過程． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)由0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字組成的四位

3、數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有(　　)． A．238個(gè) B．232個(gè) C．174個(gè) D．168個(gè) 解析　可用排除法由0,1,2,3可組成的四位數(shù)共有3×43＝192(個(gè))，其中無重復(fù)的數(shù)字的四位數(shù)共有3A＝18(個(gè))，故共有192－18＝174(個(gè))． 答案　C 2．(2020·廣州模擬)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．現(xiàn)在從這三個(gè)集合中取出兩個(gè)集合，再?gòu)倪@兩個(gè)集合中各取出一個(gè)元素，組成一個(gè)含有兩個(gè)元素的集合，則一共可以組成多少個(gè)集合(　　)． A．24個(gè) B．36個(gè) C．26個(gè) D

4、．27個(gè) 解析　CC＋CC＋CC＝26，故選C. 答案　C 3．(2020·濱州調(diào)研)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有(　　)． A．6種 B．12種 C．24種 D．30種 解析　分步完成．首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2＝24(種)，故選C. 答案　C 4．(2020·湖南)在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信

5、息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為(　　)． A．10 B．11 C．12 D．15 解析　若4個(gè)位置的數(shù)字都不同的信息個(gè)數(shù)為1；若恰有3個(gè)位置的數(shù)字不同的信息個(gè)數(shù)為C；若恰有2個(gè)位置上的數(shù)字不同的信息個(gè)數(shù)為C，由分類計(jì)數(shù)原理知滿足條件的信息個(gè)數(shù)為1＋C＋C＝11. 答案　B 5．某電子元件是由3個(gè)電阻組成的回路，其中有4個(gè)焊點(diǎn)A、B、C、D，若某個(gè)焊點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊點(diǎn)脫落的可能情況共有________種． 解析　法一　當(dāng)線路不通時(shí)焊點(diǎn)

6、脫落的可能情況共有2×2×2×2－1＝15(種)． 法二　恰有i個(gè)焊點(diǎn)脫落的可能情況為C(i＝1,2,3,4)種，由分類計(jì)數(shù)原理，當(dāng)電路不通時(shí)焊點(diǎn)脫落的可能情況共C＋C＋C＋C＝15(種)． 答案　15　　 考向一　分類加法計(jì)數(shù)原理 【例1】?(2020·全國(guó))某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈(zèng)送方法共有(　　)． A．4種 B．10種 C．18種 D．20種 [審題視點(diǎn)] 由于是兩類不同的書本，故用分類加法計(jì)數(shù)原理． 解析　贈(zèng)送一本畫冊(cè)，3本集郵冊(cè)，共4種方法；贈(zèng)送2本畫冊(cè)，2本集郵

7、冊(cè)共C種方法，由分類計(jì)數(shù)原理知不同的贈(zèng)送方法共4＋C＝10(種)． 答案　B 分類時(shí)，首先要確定一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后進(jìn)行分類；其次分類時(shí)要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理． 【訓(xùn)練1】 如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)． 解析　把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類： 第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個(gè))； 第二類，有兩條公共邊的三角形共有8(個(gè))． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個(gè))

8、． 答案　40 考向二　分步乘法計(jì)數(shù)原理 【例2】?(2020·北京)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答)． [審題視點(diǎn)] 組成這個(gè)四位數(shù)須分4步完成，故用分步乘法計(jì)數(shù)原理． 解析　法一　用2,3組成四位數(shù)共有2×2×2×2＝16(個(gè))，其中不出現(xiàn)2或不出現(xiàn)3的共2個(gè)，因此滿足條件的四位數(shù)共有16－2＝14(個(gè))． 法二　滿足條件的四位數(shù)可分為三類：第一類含有一個(gè)2，三個(gè)3，共有4個(gè)；第二類含有三個(gè)2，一個(gè)3共有4個(gè)；第三類含有二個(gè)2，二個(gè)3共有C＝6(個(gè))，因此滿足條件的四位數(shù)共有2×4＋C＝14(個(gè))． 答案　1

9、4 此類問題，首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積．注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事．簡(jiǎn)單說使用分步計(jì)數(shù)原理的原則是步與步之間的方法“相互獨(dú)立，逐步完成”． 【訓(xùn)練2】 由數(shù)字1,2,3,4， (1)可組成多少個(gè)3位數(shù)； (2)可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)； (3)可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字． 解　(1)百位數(shù)共有4種排法；十位數(shù)共有4種排法；個(gè)位數(shù)共有4種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共可組成43＝64個(gè)3位數(shù)． (2)百位上共有4種排法；十位上共有3種排法；個(gè)位上共有2種排法

10、，由分步計(jì)數(shù)原理共可排成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)4×3×2＝24(個(gè))． (3)排出的三位數(shù)分別是432、431、421、321，共4個(gè)． 考向三　涂色問題 【例3】? 如圖，用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？ [審題視點(diǎn)] 根據(jù)乘法原理逐塊涂色，要注意在不相鄰的區(qū)域內(nèi)可使用同一種顏色． 解　法一　如題圖分四個(gè)步驟來完成涂色這件事： 涂A有5種涂法；涂B有4種方法；涂C有3種方法；涂D有3種方法(還可以使用涂A的顏色)． 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有5×4×3×3＝180種涂色方法．

11、法二　由于A、B、C兩兩相鄰，因此三個(gè)區(qū)域的顏色互不相同，共有A＝60種涂法；又D與B、C相鄰、因此D有3種涂法；由分步計(jì)數(shù)原理知共有60×3＝180種涂法． 涂色問題的實(shí)質(zhì)是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時(shí)還要進(jìn)行分類．涂色問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實(shí)際情況，結(jié)合兩個(gè)基本原理和排列組合的知識(shí)靈活處理． 【訓(xùn)練3】 如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)． 解　法一　可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘

12、法原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐S -ABCD的頂點(diǎn)S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60種染色方法． 當(dāng)S、A、B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法，若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當(dāng)S、A、B已染好時(shí)，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)． 法二　以S、A、B、C、D順序分步染色 第一步，S點(diǎn)染色，有5種方法； 第二步，A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法； 第三步，B點(diǎn)染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法； 第四步，C點(diǎn)染色，也有3種

13、方法，但考慮到D點(diǎn)與S、A、C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S、B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)． 法三　按所用顏色種數(shù)分類 第一類，5種顏色全用，共有A種不同的方法； 第二類，只用4種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(A與C，或B與D)，共有2×A種不同的方法； 第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，共有A種不同的方法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為A＋2×A＋A＝420(種)．

14、　　 規(guī)范解答20——如何解決涂色問題 【問題研究】 涂色問題是由兩個(gè)基本原理和排列組合知識(shí)的綜合運(yùn)用所產(chǎn)生的一類問題，這類問題是計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的典型問題，由于涂色本身就是策略的一個(gè)運(yùn)用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂色問題的趣味性，自然成為新課標(biāo)高考的命題熱點(diǎn). 【解決方案】 涂色問題的關(guān)鍵是顏色的數(shù)目和在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同一種顏色，具體操作法和按照顏色的數(shù)目進(jìn)行分類法是解決這類問題的首選方法. 【示例】? (本小題滿分12分)用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同

15、的涂色方法？ 顏色可以反復(fù)使用，即說明在不相鄰的小方格內(nèi)可以使用同一種顏色，首先確定第一個(gè)小方格的涂法，再考慮其相鄰的兩個(gè)小方格的涂法． 1 2 3 4 [解答示范] 如圖所示，將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1,2,3,4，第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法．(2分) ①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有A＝12種不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法．由分步計(jì)數(shù)原理可知，有5×12×3＝180種不同的涂法；(6分) ②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰西格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步計(jì)數(shù)原理可知．有

16、5×4×4＝80種不同的涂法．(10分) 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有180＋80＝260種不同的涂法．(12分) 在涂色問題中一定要看顏色是否可以重復(fù)使用，不允許重復(fù)使用的涂色問題實(shí)際上就是一般的排列問題，當(dāng)顏色允許重復(fù)使用時(shí)，要充分利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析解決問題． 【試一試】 (2020·湖北)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色．當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當(dāng)n＝6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有__________種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有________種．(結(jié)果用數(shù)值表示) [嘗試解答]　(1)當(dāng)n＝6時(shí)，如果沒有黑色正方形有1種方案，當(dāng)有1個(gè)黑色正方形時(shí)，有6種方案，當(dāng)有兩個(gè)黑色正方形時(shí)，采用插空法，即兩個(gè)黑色正方形插入四個(gè)白色正方形形成的5個(gè)空內(nèi)，有C＝10種方案，當(dāng)有三個(gè)黑色正方形時(shí)，同上方法有C＝4種方案，由圖可知不可能有4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)黑色正方形，綜上可知共有21種方案．(2)將6個(gè)正方形空格涂有黑白兩種顏色，每個(gè)空格都有兩種方案，由分步計(jì)數(shù)原理一共有26種方案，本問所求事件為(1)的對(duì)立事件，故至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的方案有26－21＝43(種)． 答案　21　43