《【第一方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形第七節(jié) 解三角形的應(yīng)用舉例練習(xí)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【第一方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形第七節(jié) 解三角形的應(yīng)用舉例練習(xí)(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第4章 第7節(jié)三角函數(shù)、解三角形第二節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
一、選擇題(6×5分=30分)
1.在200米高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂和塔底俯角分別為30°,60°,則塔高為( )
A.米 B.米
C.米 D.米
解析:如圖,BE=AC=DC·tan(90°-60°)=,
∴DE=
==.
∴塔高AB=200-=(米).
答案:A
2.如圖,為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度,給定下列四組數(shù)據(jù)無法求出AB長(zhǎng)度的是( )
A.α,a,b B.α,β,a
C.a(chǎn),b,γ D.α,β,γ
解析:利用余弦定理,可由a,b,γ或α,a,b求出AB;
2、
利用正弦定理,可由a,α,β求出AB.
當(dāng)只知α、β、γ時(shí),無法計(jì)算AB.
答案:D
3.(2020·天星教育)一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B、C兩點(diǎn)間的距離是( )
A.10 海里 B.10 海里
C.20 海里 D.20 海里
解析:如圖,由已知可得,
∠BAC=30°,∠ABC=105°,
AB=20,從而∠ACB=45°.
在△ABC中,由正弦定理,
得BC=·sin30°=10.故選A.
3、
答案:A
4.如圖,一貨輪航行到M處,測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°,與燈塔相距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后,又測(cè)得它在貨輪的東北方向,則貨輪的速度為( )
A.20(+)海里/小時(shí)
B.20(-)海里/小時(shí)
C.20(+)海里/小時(shí)
D.20(-)海里/小時(shí)
解析:由題意知
∠NMS=15°+30°=45°,
∠MNS=60°+45°=105°,
由正弦定理得
=,
∴MN===10(-),
∴貨輪的速度為=20(-)(海里/小時(shí)).
答案:B
5.(2020·泰州模擬)如圖,在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ,沿BE方向前
4、進(jìn)30米至C處測(cè)得頂端A的仰角為2θ,再繼續(xù)前進(jìn)10米至D處,測(cè)得頂端A的仰角為4θ,則θ的值為( )
A.15° B.10°
C.5° D.20°
解析:由條件知△ADC中,
∠ACD=2θ,∠ADC=180°-4θ,
AC=BC=30,AD=CD=10,
則由正弦定理得
=,∴=,
∴cos2θ=.∵2θ為銳角,∴2θ=30°,∴θ=15°.
答案:A
6.甲船在島B的正南A處,AB=10 km,甲船以4 km/h的速度向正北航行,乙船自B島出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),它們航行的時(shí)間是( )
A. min
5、B. h
C.21.5 min D.2.15 h
解析:如圖,設(shè)航行t小時(shí)后,兩船相距y km.則
y2=
=
=28t2-20t+100(t>0),
∴當(dāng)t=-小時(shí)=小時(shí)=分鐘時(shí)兩船相距最近.
答案:A
二、填空題(3×5分=15分)
7.(2020·濟(jì)寧模擬)如圖,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,與O相距10海里的C處,現(xiàn)甲船以30海里/小時(shí)的速度沿直線CB去營(yíng)救位于中心O正東方向20海里的B處的乙船,甲船需要____小時(shí)到達(dá)B處.
解析:由題意,對(duì)于CB的長(zhǎng)度,
由余弦定理,得
CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos120°
=100+40
6、0+200=700.
∴CB=10,∴甲船所需時(shí)間為=(小時(shí)).
答案:
8.(2020·吉林模擬)地上畫了一個(gè)角∠BDA=60°,某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā),沿角的一邊DA行走10米后,拐彎往另一方向行走14米正好到達(dá)∠BDA的另一邊BD上的一點(diǎn),我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)B,則B與D之間的距離為________米.
解析:如圖,設(shè)BD=x cm,
則142=102+x2-2×10×xcos60°,
∴x2-10x-96=0,
∴(x-16)(x+6)=0,
∴x=16或x=-6(舍).
答案:16
9.(2020·遼源模擬)在△ABC中,BC=1,∠B=,當(dāng)△ABC的面積等于時(shí),t
7、anC=________.
解析:S△ABC=acsinB=,∴c=4.
由余弦定理:b2=a2+c2-2accosB=13,
∴cosC==-,sinC=,
∴tanC=-=-2.
答案:-2
三、解答題(共37分)
10.(12分)(2020·海南,寧夏高考)為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離,飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量,A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖).飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案,包括:①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并在圖中標(biāo)出);②用文字和公式寫出計(jì)算M、N間的距離的步驟.
解析:方案一:①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有:A點(diǎn)到M、
8、N點(diǎn)的俯角α1、β1;B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α2、β2;A、B的距離d(如圖所示).
②第一步:計(jì)算AM.由正弦定理AM=;
第二步:計(jì)算AN.由正弦定理AN=;
第三步:計(jì)算MN.由余弦定理
MN=
方案二:①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有:A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1;B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α2、β2;A、B的距離d(如圖所示).
②第一步:計(jì)算BM.由正弦定理BM=;
第二步:計(jì)算BN.由正弦定理BN=;
第三步:計(jì)算MN.由余弦定理
MN=.
11.(12分)(2020·福州模擬)如圖所示,扇形AOB,圓心角AOB等于60°,半徑為2,在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過P引平行于OB的直
9、線和OA交于點(diǎn)C,設(shè)∠AOP=θ,求△POC面積的最大值及此時(shí)θ的值.
解析:∵CP∥OB,
∴∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.
在△POC中,由正弦定理得=,
∴=,∴CP=sinθ.
又=,
∴OC=sin(60°-θ).
因此△POC的面積為
S(θ)=CP·OCsin120°
=·sinθ·sin(60°-θ)×
=sinθsin(60°-θ)=sinθ(cosθ-sinθ)
=2sinθ·cosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ-
=sin(2θ+)-
∴θ=時(shí),S(θ)取得最大值為.
12.(13分)(2020·大連模擬)如圖
10、,某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)A、B、C.景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向上8 km處,位于景點(diǎn)B的正北方向,還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上,已知AB=5 km.
(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向景點(diǎn)B修建一條筆直的公路,不考慮其他因素,求出這條公路的長(zhǎng);
(2)求景點(diǎn)C和景點(diǎn)D之間的距離.
解析:(1)在△ABD中,∠ADB=30°,
AD=8 km,AB=5 km,設(shè)DB=x km,
則由余弦定理得52=82+x2-2×8×x·cos30°,
即x2-8x+39=0,解得x=4±3.
∵4+3>8,舍去,∴x=4-3,
∴這條公路長(zhǎng)為(4-3)km.
(2)在△ADB中,=,
∴sin∠DAB=
==,∴cos∠DAB=.
在△ACD中,∠ADC=30°+75°=105°,
∴sin∠ACD=sin[180°-(∠DAC+105°)]
=sin(∠DAC+105°)
=sin∠DACcos105°+cos∠DACsin105°
=·+·=.
∴在△ACD中,=,
∴=,∴CD=(km).