《點集拓撲學》復習題

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. ------------------------------------------author ------------------------------------------date 《點集拓撲學》復習題 《點集拓撲學》復習題 《點集拓撲》復習題 一、概念敘述 1、拓撲空間 2、鄰域、鄰域系 3、集合A的凝聚點 4、閉包

2、 5、基 子基 6、子空間 7、（有限）積空間 8、隔離子集 9、連通集 10、連通集 11、連通分支 12、局部連通空間 13、空間 14、空間 15、可分空間 16、空間 17、空間（） 18、正則空間 19、正規(guī)空間 20、緊致空間 21、可數(shù)緊空間 22、列緊空間 23、序列緊空間 24、局部緊空間 二、判斷題 1、有限集不可能有聚點 （ ） 2、拓撲空間X的子集A是閉集的充要條件是 （ ） 3、如果，則 （ ） 4、設(shè)Y是拓撲空間X的子

3、空間，A是Y的子集，則A在Y中的導集是A在X中的導集與Y的交。 （?。? ５、若是同胚映射，則　　　　（　?。? ６、離散空間中任意子集的導集都是空集　　　?。ā　。? ７、拓撲空間中每個連通分支都是既開集又是閉集　　　（?。? ８、度量空間必是空間　　（　?。? ９、在中，是開集　　?。ā。? １０、映射是連續(xù)映射的若拓撲空間Ｘ中序列收斂于，則撲拓空間Ｙ中相應(yīng)序列收斂于　　?。ā。? １１、設(shè)Ｘ為拓撲空間，Ｃ為連通分支，Ｙ是Ｘ的一個連通子集，則　　　　　　　　?。ā　　。? １２、空間必為可分空間　?。ā　。? １３、正則且正規(guī)空間必為空間　?。ā。? １４、緊致空間的閉

4、子集必為它的緊致子集?。ā。? １５、設(shè)Ｘ是一個拓撲空間，，則點是集合Ａ的一個凝聚點在中有一個序列收斂于　　?。ā　。? １６、度量空間也是拓撲空間?。ā。? １７、如果一個空間中有每個單點集都是閉集，那么這個空間必是離散空間　?。ā。? １８、拓撲空間是一個連通空間當且僅當中不存在既開又閉的非空真子集. ( ) 19、若拓撲空間中的子集是連通集，則它的閉包也是一個連通集。 20、設(shè)、是拓撲空間中的兩個連通子集，則也是的一個連通子集 （ ） 21、如果、是拓撲空間中兩個不交的開子集，則、必是X中隔離子集 （ ） 22、拓撲空間的可分性是一個可遺傳性 （

5、 ） 23、正規(guī)空間必是Hausdorff空間 （ ） 24、在一個緊致的空間中，一個集合是緊致子集它是一個閉集（ ） 25、緊空間必是Lindelǒf空間 （ ） 26、度量空間中緊致集必是有界閉集 （ ） 27、正則空間必是Hausdorff空間 （ ） 28、設(shè)是空間、的積空間，,分別是、中閉集 （ ） 29、設(shè)、是拓撲空間中兩個子集，并且，則有 （ ） 30、若拓撲空間是連通空間，則必是局部連通空間 （ ） 三、填空 1、設(shè)是同胚映射，則必是一一映射，并且 和 都是連續(xù)的

6、。 2、設(shè)是拓撲空間的子集，的拓撲稱為 ；拓撲空間稱為的 。 3、連通空間中既開又閉的子集只能是 和 。 4、設(shè)是拓撲空間，若的每一 覆蓋都有一個 ， 則是Lindelǒf空間。 5、正規(guī)的 空間或緊致的 空間是空間。 6、是拓撲空間。若的每一個 開覆蓋都有 ，則是可數(shù)緊致空間。 7、如果是離散空間中一個非空連通子集，則必是 。 8、如果是一個可數(shù)集，則上的可數(shù)補拓撲空間必定是 。 9、設(shè)是離散度量空間，上度量為則中任一點的球形鄰域

7、 。 10、在拓撲空間中，如果子集是開集，是閉集，則是 是 。 11、設(shè)是實數(shù)集上的可數(shù)補空間，是中一個可數(shù)集，是中一個不可數(shù)集，則 ，= 。 12、如果集合上的任一拓撲，拓撲空間都是緊致空間，則必是 。 13、在平面空間中，度量定義為任意兩點則以原點為中心，為半徑的球形鄰域的圖形是 。 14、積空間的子基元素的一般形式是 或 。 15、設(shè)是實數(shù)空間的一個子空間，則的子集是的 。 16、在實數(shù)空間中，取為整數(shù)集，為有理數(shù)集

8、，則 ， 。 17、設(shè)=，上拓撲，取子集，則 。 18、如果是平庸空間，則必為緊致空間，它的每一個開覆蓋A，必有有限子覆蓋= 。 四、單選題 1、設(shè)=，它的一個拓撲是（ ） 2、設(shè)是拓撲空間，為所有閉集構(gòu)成的族，則有（ ）． 若 則有 若 則有 若 則 3、設(shè)為拓撲空間，則對，必有（ ）． 是閉集 4、設(shè)為拓撲空間，，則有 （ ）． 的任意鄰域都是的開集 的任意鄰域都是的閉集 包含的

9、開集都是的鄰域 若是的鄰域，但不是的鄰域 5、已知是實數(shù)空間的一個開子空間，那么下列集合中是空間中的開集是 （ ）． 其中． 6、設(shè)，是平庸拓撲，中兩子集是隔離的是（ ）． 與 與 與 與 7、下面命題中正確的是（ ）． 平庸空間是空間 在空間中，存在收斂于兩個不同的極限點的序列 空間未必是空間 空間中每一單點集都是閉集 8、若是空間，則必是（ ）． 正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 9、下面不連通的拓撲空間是（ ）． 實數(shù)空間

10、 平庸空間 包含多于兩個點的離散空間 拓撲學家正弦曲線 10、下面正確的命題是（ ）． 設(shè)是連續(xù)映射，若 滿足第二可數(shù)性公理（即是空間），則 也是空間。 空間必存在一個子空間不滿足第二可數(shù)性公理。 若拓撲空間都是空間，則積空間也是空間。 空間未必滿足第一可數(shù)性公理。 11、拓撲空間中，是隔離子集，則在子空間中子集是（ ）． 開集，但不是閉集 閉集，但不是開集 既是開集，又是閉集 既不是開集，又不是閉集 12、在實數(shù)空間中，子集，，，，其中可能有同胚關(guān)系的是（ ）． 與 與

11、 與 與 13、拓撲空間中“每一個序列至多收斂于一點”是“這個空間為空間”的（ ）。 充分條件 必要條件 充分必要條件 既不是充分條件，也不必要條件 14、設(shè)是實數(shù)空間的一個子空間，則中的子集是的（ ）． 開集，但不是閉集 閉集，但不是開集 既是開集，又是閉集 既不是開集，又不是閉集 15、設(shè)集合上的下限拓撲空間，則下述四個性質(zhì)中，不正確的是（ ） 是空間 是空間 是可分空間 是空間 16、拓

12、撲空間中“只有單點集”是“為離散空間”的（ ） 充分條件 必要條件 充分必要條件 既不是充分條件，也不必要條件 五、證明題 1、設(shè)是一個集合，令，則是的一個拓撲． 2、有理數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間是不連通的． 3、包含不可數(shù)個點的離散空間不滿足第二可數(shù)性公理． 4、拓撲空間的子集是開集的充要條件是是它的每一點的鄰域． 5、若是空間，則中的每個單點集都是閉集。 6實數(shù)空間不是一個緊致空間。 7、包含不少于兩個點的平庸空間不是空間。 8、設(shè)為度量空間，如果為有限集，證明：為離散空間。 9、設(shè)為拓撲空間，證明：如果的每一個子集都滿足，則是離散空間。 10、設(shè)為拓撲空間， （其中為實數(shù)空間）是連續(xù)映射，證明中的子集為開集。 11、證明：正則的空間必是空間。 12、證明：實數(shù)集上的可數(shù)補拓撲空間必是一個空間。 13、設(shè)是度量空間，證明：如果有一個基只含有有限個元素，則必為有限集，且是離散空間。 14、證明：可分空間的任一個開子空間都是可分空間。 --------------------------------------------------