福建省2020屆高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 任意角的三角函數(shù)（1） 理

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1、福建省2020屆高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 任意角的三角函數(shù)（1） 理 例1　 下列說(shuō)法中，正確的是 [　　　 ] A．第一象限的角是銳角 B．銳角是第一象限的角 C．小于90°的角是銳角 D．0°到90°的角是第一象限的角 【分析】本題涉及了幾個(gè)基本概念，即“第一象限的角”、“銳角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推廣以后，這些概念容易混淆．因此，弄清楚這些概念及它們之間的區(qū)別，是正確解答本題的關(guān)鍵． 【解】第一象限的角可表示為｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，銳角可表示為｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角為｛θ|θ＜90°｝，0°

2、到90°的角為｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，銳角的集合是第一象限角的集合當(dāng)k=0時(shí)的子集，故(A)，(C)，(D)均不正確，應(yīng)選(B)． (90°－α)分別是第幾象限角？ 【分析】　 由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α為第二象限的角，然后由角α的 【解】(1)由題設(shè)可知α是第二象限的角，即 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 的角． (2)因?yàn)椤?180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角．

3、(3)解法一：因?yàn)?90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 所以　 －180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)． 故　 －90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)． 因此90°－α是第四象限的角． 解法二：因?yàn)榻铅恋慕K邊在第二象限，所以－α的終邊在第三象限． 將－α的終邊按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可知90°－α的終邊在第四象限內(nèi)． 【說(shuō)明】①在確定形如α＋k·180°角的象限時(shí)，一般要分k為偶數(shù)或奇數(shù)討論；②確定象限時(shí)，α＋kπ與α－kπ是等效的． 例3　 已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F(xiàn)=｛θ|ta

4、nθ＜sinθ｝，那么E∩F是區(qū)間 [　　　 ] 【分析】　 解答本題必須熟練掌握各個(gè)象限三角函數(shù)的符號(hào)、各個(gè)象限的三角函數(shù)值隨角的變化而遞增或遞減的變化情況．可由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷，也可由三角函數(shù)線判斷．用代入特殊值排除錯(cuò)誤答案的方法解答本題也比較容易． 【解法一】　 由正、余弦函數(shù)的性質(zhì)， 【解法二】由單位圓中的正弦線和正切線容易看出，對(duì)于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦線和余弦線可看出，當(dāng) 應(yīng)選(A)． 可排除(C)，(D)，得(A)． 【說(shuō)明】本題解法很多，用三角函數(shù)線還可以有以下解法：因?yàn)榈谝弧⑷笙蘧蠥T＞MP，即

5、tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些別的方法，可自己練習(xí)． 例 4 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值； 【分析】利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行三角式的求值、化簡(jiǎn)和證明，是 三兩個(gè)象限，因此必須分兩種情況討論． 【解】(1)因?yàn)閤＝3k，y=－4k， 例5　 一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為l，求扇形的半徑、圓心角各取何值時(shí)，此扇形的面積最大． 【分析】解答本題，需靈活運(yùn)用弧度制下的求弧長(zhǎng)和求面積公式．本題是求扇形面積的最大值，因此應(yīng)想法寫(xiě)出面積S以半徑r為自變量的函數(shù)表達(dá)式，再用配

6、方法求出半徑r和已知周長(zhǎng)l的關(guān)系． 【解】設(shè)扇形面積為S，半徑為r，圓心角為α，則扇形弧長(zhǎng)為l－2r．所以 【說(shuō)明】在學(xué)習(xí)弧度制以后，用弧度制表示的求弧長(zhǎng)與扇形面積公 形的問(wèn)題中，中心角用弧度表示較方便．本例實(shí)際上推導(dǎo)出一個(gè)重要公式，即當(dāng)扇形周長(zhǎng)為定值時(shí)，怎樣選取中心角可使面積得到最大值．本題也可將面積表示為α的函數(shù)式，用判別式來(lái)解． 【分析】第(1)小題因α在第二象限，因此只有一組解；第(2)小題給了正弦函數(shù)值，但沒(méi)有確定角α的象限，因此有兩組解；第(3)小題角α可能在四個(gè)象限或是軸線角，因此需分兩種情況討論． 【解】 (3)因?yàn)閟inα=m(

7、|m|＜1)，所以α可能在四個(gè)象限或α的終邊在x軸上． 例7(1)已知 tanα=m，求sinα的值； 【分析】(1)已知tanα的值求sinα或cosα，一般可將tanα 母都是sinα和cosα的同次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子求值，轉(zhuǎn)化的方法是將分子、分母同除以cosα(或cos2α，這里cosα≠0)，即可根據(jù)已知條件求值． 【說(shuō)明】　 由tanα的值求sinα和cosα的值，有一些書(shū)上利用公 很容易推出，所以不用專門(mén)推導(dǎo)和記憶這些公式，這類問(wèn)題由現(xiàn)有的關(guān)系式和方法均可解決． 函數(shù)的定義來(lái)證明．

8、 由左邊=右邊，所以原式成立． 【證法三】(根據(jù)三角函數(shù)定義) 設(shè)P(x，y)是角α終邊上的任意一點(diǎn)，則 左邊=左邊，故等式成立． 例9　 化簡(jiǎn)或求值： 【分析】　 解本題的關(guān)鍵是熟練地應(yīng)用正、余弦的誘導(dǎo)公式和記住特殊角的三角函數(shù)值． =－sinα－cosα(因?yàn)棣翞榈谌笙藿?． 例10 　(1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表達(dá)式； 【分析】在(1)中理解函數(shù)符號(hào)的含義，并將f(sin x)化成f(cos(90°－x))是充分利用已知條件和誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵．在(2)中必須正確掌握分段函數(shù)求值的方法． 【解】(1)f(sin x)＝f(cos(90°－x))＝cos9(90°－x) =cos(2×360°＋90°－9x)＝cos(90°－9x) =sin9x； ＝1．