高中數(shù)學 2-1-2第2章 第2課時 數(shù)列的遞推公式同步檢測 新人教B版必修5

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1、第2章 2.1 第2課時數(shù)列的遞推公式(選學) 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋(n≥3)，則a5＝(　　) A.　　　　B.　　　　C．4　　　　D．5 [答案]　A [解析]　令n＝3,4,5，求a5即可． 2．已知數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，則a6＝(　　) A．－3 B．－4 C．－5 D．2 [答案]　A [解析]　由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3， a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3. 3．正項數(shù)列{an}中，an＋1＝，a1＝2，則a4＝(　　) A. B.

2、C. D. [答案]　B [解析]　由遞推關系可得a2＝，a3＝，a4＝. 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝x，a2＝y(tǒng)，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，則a2020＝(　　) A．x B．y C．y－x D．－x [答案]　C [解析]　根據(jù)遞推關系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，這6個數(shù)值重復出現(xiàn)a2020＝a334×6＋3＝a3. 5．已知Sk表示數(shù)列的前k項和，且Sk＋Sk＋1＝ak＋1(k∈N*)，那么此數(shù)列是(　　) A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．擺動數(shù)列 [答案]　C [解析]　∵由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝Sk＋S

3、k＋1 ∴Sk＝0(k∈N*) 可知此數(shù)列每一項均為0，即an＝0是常數(shù)列． 6．觀察下圖，并閱讀圖形下面的文字，像這樣10條直線相交，交點的個數(shù)最多的是(　　) A．40個 B．45個 C．50個 D．55個 [答案]　B [解析]　交點個數(shù)依次組成數(shù)列為1,3,6，即，，，由此猜想an＝， ∴a10＝＝45. 二、填空題 7．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝3n－1(n∈N*)，通過公式bn＝構造一個新數(shù)列{bn}，那么{bn}的前五項為________________． [答案]　，，，， [解析]　∵an＝3n－1(n∈N*) ∴an＋1＝3(n＋1)

4、－1＝3n＋2， ∴bn＝＝. ∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝. 8．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝n2－4n－12(n∈N*)，則 (1)這個數(shù)列的第四項是________； (2)65是這個數(shù)列的第________項； (3)這個數(shù)列從第________項起以后各項都為正數(shù)． [答案]?。?2；11；7 [解析]　(1)a4＝42－4×4－12＝－12. (2)令65＝n2－4n－12，∴n2－4n－77＝0， ∴n＝11或n＝－7(舍去)． 故65是這個數(shù)列的第11項． (3)令n2－4n－12>0，得n>6或n<2. ∴這個數(shù)列從第7項起以后各項都

5、為正數(shù)． 三、解答題 9．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，且滿足an＋1＝an＋，求通項公式． [解析]　由an＋1＝an＋，得an＋1＝an， 即＝.∴＝，＝，＝，…， ＝(n≥2)． 將以上各式相乘，得 ···…·＝···…· ∴＝，∴an＝(n≥2)， 又a1＝1滿足上式． ∴an＝(n∈N*)． 10．設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且方程x2－anx－an＝0，有一根為Sn－1，n＝1,2,3，…，求a1、a2. [解析]　當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 當n＝2時

6、，有一根為S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝. 能力提升 一、選擇題 1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，則an＝(　　) A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn [答案]　A [解析]　解法一：取n＝2，則a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D； 取n＝3，則a3＝a2＋ln(1＋)＝2＋ln2＋ln＝2＋ln3，排除B，選A. 解法二：直接將選項依次代入驗證． 當an＝2＋lnn時，an＋1＝an＋ln(1＋) ＝2＋lnn＋ln(1＋) ＝2＋ln(

7、n＋1)滿足，故選A. 解法三：∵an＋1＝an＋ln(1＋)， ∴a2－a1＝ln(1＋)＝ln2， a3－a2＝ln(1＋)＝ln， a4－a3＝ln(1＋)＝ln， … an－an－1＝ln(1＋)＝ln. 相加得：an－a1＝ln2＋ln＋…＋ln＝lnn，∵a1＝2，∴an＝2＋lnn. 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，則a20＝(　　) A．0 B．－ C. D. [答案]　B [解析]　∵a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，… 至此可知：數(shù)列{an}的各項的值依次為0，－，，0，－，，0，…，周而復始． ∵20÷3

8、＝6余2，∴a20＝a2＝－. 二、填空題 3．設f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________. [答案]?。? [解析]　f(n＋1)＝＋＋＋…＋＋＋， ∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－. 4．若數(shù)列{an}中，a1＝3，且an＋1＝a(n是正整數(shù))，則數(shù)列的通項an＝________. [答案]　an＝32n－1 [解析]　a1＝3，a2＝32，a3＝34，a4＝38…，猜想an＝32n－1. 三、解答題 5．數(shù)列{an}的通項公式是an＝－2n2＋19n－23，則數(shù)列{an}中最大的一項是第幾項？并求出該項． [解析]　an＝－2n2

9、＋19n－23＝－2(n－)2－23＋＝－2(n－)2＋， ∵n∈N*，∴當n＝5時，an最大， a5＝－2×52＋19×5－23＝22. 故數(shù)列{an}最大的一項是第5項，且a5＝22. 6．設函數(shù)f(x)＝log2x－logx4(0

10、(n∈N*)． 7．一輛郵車每天從A地往B地運送郵件，沿途(包括A，B)共有8站，從A地出發(fā)時，裝上發(fā)往后面7站的郵件各一個，到達后面各站后缷下前面各站發(fā)往該站的一個郵件，同時裝上該站發(fā)往下面各站的郵件各一個，試寫出郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件個數(shù)所成的數(shù)列，畫出該數(shù)列的圖象，并判斷該數(shù)列的增減性． [解析]　將A、B之間所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8編號，通過計算，上面各站剩余郵件數(shù)依次排成數(shù)列：7,12,15,16,15,12,7,0.填寫下表： 站號 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余郵件數(shù) 7 12 15 16 15 12 7 0

11、該數(shù)列的圖象如圖所示． 它在{1,2,3,4}上是遞增的，在{4,5,6,7,8}上是遞減的． 8．某林區(qū)改變植樹計劃，第一年植樹增長率200%，以后每年的植樹增長率都是前一年植樹增長率的. (1)假設成活率為100%，經過四年后，林區(qū)的樹木量是原來的樹木量的多少倍？ (2)如果每年都有5%的樹木死亡，那么經過多少年后，林區(qū)的樹木量開始下降？ [解析]　(1)設林區(qū)原有的樹木量為a，調整計劃后，第n年的樹木量為an(n＝1,2,3，…)，則a1＝a(1＋200%)＝3a， a2＝a1(1＋100%)＝2a1＝6a， a3＝a2(1＋)＝a2＝9a a4＝a3(1＋)＝a3＝a. 所以經過四年后，林區(qū)樹木量是原來樹木量的倍； (2)若每年損失樹木量的5%，則第n年后的樹木量與第(n－1)年的樹木量之間的關系為： an＝an－1(1＋)(1－5%)＝(1＋)an－1(n≥2)． 設第n年后樹木量開始減少， 則， 即， ∴，∴≤≤，解得n＝6.