高中數(shù)學(xué) 2、1-2-2-1第1課時(shí) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（一）同步檢測 新人教版選修2-2

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1、選修2-2 1.2.2 第1課時(shí) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 （一） 一、選擇題 1．曲線y＝x3－2在點(diǎn)處切線的傾斜角為(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．135° D．60° [答案]　B [解析]　y′|x＝－1＝1，∴傾斜角為45°. 2．設(shè)f(x)＝－，則f′(1)等于(　　) A．－ B. C．－ D. [答案]　B 3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為(　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0

2、D．x＋4y＋3＝0 [答案]　A [解析]　∵直線l的斜率為4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1時(shí)，y＝x4＝1，故直線l的方程為：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0. 4．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，則a的值等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　B [解析]　∵f′(x)＝3ax2＋18x＋6， ∴由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝. ∴選B. 5．已知物體的運(yùn)動方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示時(shí)間，s表示位移)，則瞬時(shí)速度為0的時(shí)刻是(　　) A．0秒、2

3、秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒 C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒 [答案]　D [解析]　顯然瞬時(shí)速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故選D. 6．(2020·新課標(biāo)全國卷文，4)曲線y＝x3－2x＋1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為(　　) A．y＝x－1 B．y＝－x－1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x－2 [答案]　A [解析]　本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，在解題時(shí)應(yīng)首先驗(yàn)證點(diǎn)是否在曲線上，然后通過求導(dǎo)得出切線的斜率，題目定位于簡單題． 由題可知，點(diǎn)(1,0

4、)在曲線y＝x3－2x＋1上，求導(dǎo)可得y′＝3x2－2，所以在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率k＝1，切線過點(diǎn)(1,0)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可得過點(diǎn)(1,0)的曲線y＝x3－2x＋1的切線方程為y＝x－1，故選A. 7．若函數(shù)f(x)＝exsinx，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)(4，f(4))處的切線的傾斜角為(　　) A. B．0 C．鈍角 D．銳角 [答案]　C [解析]　y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故傾斜角為鈍角，選C. 8．曲線y＝xsinx在點(diǎn)處的切線與x軸、直線x＝π所圍成的三角形的面

5、積為 (　　) A. B．π2 C．2π2 D.(2＋π)2 [答案]　A [解析]　曲線y＝xsinx在點(diǎn)處的切線方程為y＝－x，所圍成的三角形的面積為. 9．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2020(x)等于(　　) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx [答案]　D [解析]　f0(x)＝sinx， f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx， f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx

6、， f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx， f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx， ∴4為最小正周期，∴f2020(x)＝f3(x)＝－cosx.故選D. 10．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)、g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，則f(x)與g(x)滿足(　　) A．f(x)＝g(x) B．f(x)－g(x)為常數(shù) C．f(x)＝g(x)＝0 D．f(x)＋g(x)為常數(shù) [答案]　B [解析]　令F(x)＝f(x)－g(x)，則F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)為常數(shù)． 二、填空題

7、 11．設(shè)f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，則a＝________，b＝________. [答案]　0 －1 [解析]　f′(x)＝2ax－bcosx，由條件知 ，∴. 12．設(shè)f(x)＝x3－3x2－9x＋1，則不等式f′(x)＜0的解集為________． [答案]　(－1,3) [解析]　f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3. 13．曲線y＝cosx在點(diǎn)P處的切線的斜率為______． [答案]?。? [解析]　∵y′＝(cosx)′＝－sinx， ∴切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝＝

8、－sin＝－. 14．已知函數(shù)f(x)＝ax＋bex圖象上在點(diǎn)P(－1,2)處的切線與直線y＝－3x平行，則函數(shù)f(x)的解析式是____________． [答案]　f(x)＝－x－ex＋1 [解析]　由題意可知，f′(x)|x＝－1＝－3， ∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2， ∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－，b＝－e， 故f(x)＝－x－ex＋1. 三、解答題 15．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)； (3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋ . [解析]　(1)∵y＝x＝x3＋1＋， ∴y′＝3x2－； (

9、3)∵y＝sin4＋cos4 ＝2－2sin2cos2 ＝1－sin2＝1－·＝＋cosx， ∴y′＝－sinx； (4)∵y＝＋＝＋ ＝＝－2， ∴y′＝′＝＝. 16．已知兩條曲線y＝sinx、y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由． [解析]　由于y＝sinx、y＝cosx，設(shè)兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)為P(x0，y0)， ∴兩條曲線在P(x0，y0)處的斜率分別為 若使兩條切線互相垂直，必須cosx0·(－sinx0)＝－1， 即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，這是不可能的， ∴兩條曲線不

10、存在公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直． 17．已知曲線C1：y＝x2與C2：y＝－(x－2)2.直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程． [解析]　設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1，x)，與C2相切于點(diǎn)Q(x2，－(x2－2)2)． 對于C1：y′＝2x，則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.① 對于C2：y′＝－2(x－2)，與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)， 即y＝－2(x2－2)x＋x－4. ② ∵兩切線重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4， 解得x1＝0，x

11、2＝2或x1＝2，x2＝0. ∴直線l的方程為y＝0或y＝4x－4. 18．求滿足下列條件的函數(shù)f(x)： (1)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函數(shù)，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1. [解析]　(1)設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0) 則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c 由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0， 由f′(1)＝－3，f′(2)＝0 可建立方程組， 解得， 所以f(x)＝x3－3x2＋3. (2)由f′(x)是一次函數(shù)可知f(x)是二次函數(shù)， 則可設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) f′(x)＝2ax＋b， 把f(x)和f′(x)代入方程，得 x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1 整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1 若想對任意x方程都成立，則需 解得， 所以f(x)＝2x2＋2x＋1.