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1、選修2-2 1.6 微積分基本定理
一、選擇題
1．下列積分正確的是( )
[答案] A
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] －2dx＝－2x2dx＋－2dx
＝x3＋
＝(x3－x－3)
＝－＝.
故應選A.
3.－1|x|dx等于( )
A.－1xdx B.－1dx
C.－1(－x)dx＋xdx D.－1xdx＋(－x)dx
[答案] C
[解析] ∵|x|＝
∴－1|x|dx＝－1|x|dx＋|x|dx
＝－1(－x)dx＋xdx，故應選C.
4．設(shè)f(x)＝，
2、則f(x)dx等于( )
A. B.
C. D．不存在
[答案] C
[解析] f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
取F1(x)＝x3，F(xiàn)2(x)＝2x－x2，
則F′1(x)＝x2，F(xiàn)′2(x)＝2－x
∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)
＝－0＋2×2－×22－＝.故應選C.
5.f′(3x)dx＝( )
A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a)
C.[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)]
[答案] C
[解析] ∵′＝f′(3x)
∴取F(x)＝
3、f(3x)，則
f′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝[f(3b)－f(3a)]．故應選C.
6.|x2－4|dx＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] |x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝＋＝.
A．－ B．－
C. D.
[答案] D
[解析] ∵1－2sin2＝cosθ
8．函數(shù)F(x)＝costdt的導數(shù)是( )
A．cosx B．sinx
C．－cosx D．－sinx
[答案] A
[解析] F(x)＝costdt＝s
4、int＝sinx－sin0＝sinx.
所以F′(x)＝cosx，故應選A.
9．若(2x－3x2)dx＝0，則k＝( )
A．0 B．1
C．0或1 D．以上都不對
[答案] C
[解析] (2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝0，
∴k＝0或1.
10．函數(shù)F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上( )
A．有最大值0，無最小值
B．有最大值0和最小值－
C．有最小值－，無最大值
D．既無最大值也無最小值
[答案] B
[解析] F(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．
F′(x)＝x2－4x，由
5、F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：
x
(－1,0)
0
(0,4)
4
(4,5)
F′(x)
＋
0
－
0
＋
F(x)
極大值
極小值
可見極大值F(0)＝0，極小值F(4)＝－.
又F(－1)＝－，F(xiàn)(5)＝－
∴最大值為0，最小值為－.
二、填空題
11．計算定積分：
①－1x2dx＝________
②dx＝________
③|x2－1|dx＝________
④－|sinx|dx＝________
[答案]??；；2；1
[解析]?、伲?x2dx＝x3＝.
②dx＝＝.
③|x2－1|dx＝(1－x
6、2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
[答案] 1＋
13．(2020·陜西理，13)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點M(x，y)，則點M取自陰影部分的概率為________．
[答案]
[解析] 長方形的面積為S1＝3，S陰＝3x2dx＝x3＝1，則P＝＝.
14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝________.
[答案]?。?或
[解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(xiàn)(1)＝3，F(xiàn)(－1)＝－1，
∴－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝
7、2.解得a＝－1或.
三、解答題
15．計算下列定積分：
(1)2xdx；(2)(x2－2x)dx；
(3)(4－2x)(4－x2)dx；(4)dx.
[解析] (1)2xdx＝x2＝25－0＝25.
(2)(x2－2x)dx＝x2dx－2xdx
＝x3－x2＝－1＝－.
(3)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝
＝32－16－＋8＝.
(4)dx＝dx
＝＝－3ln2.
16．計算下列定積分：
[解析] (1)取F(x)＝sin2x，則F′(x)＝cos2x
＝＝(2－)．
(2)取F(x)＝＋lnx＋2x，則
F′
8、(x)＝x＋＋2.
∴2dx＝dx
＝F(3)－F(2)
＝－
＝＋ln.
(3)取F(x)＝x2－cosx，則F′(x)＝3x＋sinx
17．計算下列定積分：
(1)－4|x＋2|dx；
(2)已知f(x)＝，求－1f(x)dx的值．
[解析] (1)∵f(x)＝|x＋2|＝
∴－4|x＋2|dx＝－(x＋2)dx＋－2(x＋2)dx
＝－＋
＝2＋2＝4.
(2)∵f(x)＝
∴－1f(x)dx＝－1f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝＋
＝＋＝1.
18．(1)已知f(a)＝(2ax2－a2x)
9、dx，求f(a)的最大值；
(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
[解析] (1)取F(x)＝ax3－a2x2
則F′(x)＝2ax2－a2x
∴f(a)＝(2ax2－a2x)dx
＝F(1)－F(0)＝a－a2
＝－2＋
∴當a＝時，f(a)有最大值.
(2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①
又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx
則F′(x)＝ax2＋bx＋c
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
高中數(shù)學 2、1-6微積分基本定理同步檢測 新人教版選修2-2
