高中數學 2-3-3第3課時 雙曲線的綜合應用同步檢測 新人教版選修2-1

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1、2.3第3課時 雙曲線的綜合應用 一、選擇題 1．如圖，橢圓C1，C2與雙曲線C3，C4的離心率分別是e1，e2，e3與e4，則e1，e2，e3，e4的大小關系是(　　) A．e2

2、[答案]　D [解析]　設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，依題意c＝， ∴方程可化為－＝1. 由得， (7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝. ∵＝－，∴＝－，解得a2＝2. 故所求雙曲線方程為－＝1，故選D. 3．若ab≠0，則ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲線只可能是下圖中的(　　) [答案]　C [解析]　方程可化為y＝ax＋b和＋＝1.從B，D中的兩橢圓看a，b∈(0，＋∞)，但B中直線有a<0，b<0矛盾，應排除；D中直線有a<0，b>0矛盾，應排除；再看A中雙曲線的a<0，

3、b>0，但直線有a>0，b>0，也矛盾，應排除；C中雙曲線的a>0，b<0和直線中a，b一致．應選C. 4．(2020·濰坊模擬)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1、F2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. [答案]　B [解析]　在直角△MF1F2中，∠F1F2M＝90°，∠MF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，于是＝cos30°＝，＝tan30°＝，從而有|MF1|＝c，|MF2|＝c，代入|MF1|－|MF2|＝2a，得c＝2a，故e＝＝，故選B. 5．雙曲線－＝

4、1(a>0，b>0)的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1,3) B．(1,3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) [答案]　B [解析]　由雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|＝4a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|， ∴6a≥2c，≤3，故離心率的范圍是(1,3]，選B. 6．已知F1、F2是兩個定點，點P是以F1和F2為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點，并且PF1⊥PF2，e1和e2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有(　　) A.＋

5、＝4 B．e＋e＝4 C.＋＝2 D．e＋e＝2 [答案]　C [解析]　設橢圓長半軸長為a，雙曲線實半軸長為m，則 ①2＋②2得：2(|PF1|2＋|PF2|2)＝4a2＋4m2， 又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2代入上式得4c2＝2a2＋2m2， 兩邊同除以2c2得2＝＋，故選C. 7．(08·山東)設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　A [解析]　由已知得橢圓中a＝13

6、，c＝5，曲線C2為雙曲線，由此知道在雙曲線中a＝4，c＝5，故雙曲線中b＝3，雙曲線方程為－＝1. 8．已知a>b>0，e1，e2分別為圓錐曲線＋＝1和－＝1的離心率，則lge1＋lge2的值(　　) A．大于0且小于1 B．大于1 C．小于0 D．等于0 [答案]　C [解析]　∵lge1＋lge2＝lg＋lg＝lg

7、為O，x2＋y2＝1的圓心為O，圓x2＋y2－8x＋12＝0的圓心為O2， 由題意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2， ∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4， 由雙曲線的定義知，動圓圓心O的軌跡是雙曲線的一支． 10．(2020·浙江理，8)設F1，F2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近方程為(　　) A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0 [答案]　C [

8、解析]　如圖： 由條件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c 又知|PF2|＝|F1F2|，知A為PF1中點，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由雙曲線定義： |PF1|－|PF2|＝2a，則4b－2c＝2a ∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2， ∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b2 3b2＝4ab，∴＝， ∴漸近線方程：y＝±x.故選C. 二、填空題 11．設中心在原點的橢圓與雙曲線2x2－2y2＝1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數，則該橢圓的方程是________． [答案]　＋y2＝1 [解析]　雙曲線為－＝1. ∴雙曲線的焦點為

9、(1,0)和(－1,0)，離心率為.則橢圓的離心率為，又e＝＝，c＝1， ∴a＝，b＝1.∴橢圓的方程是＋y2＝1. 12．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于____________． [答案]　2 [解析]　由題意得，a＋c＝， 即a2＋ac＝b2，a2＋ac＝c2－a2， ∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0. 解得e＝2或e＝－1(舍去)． 13．雙曲線－＝1的兩個焦點為F1、F2，點P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點P到x軸的距離為___________

10、_． [答案]　3.2 [解析]　設|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，∴a＝3，b＝4，c＝5.由雙曲線的定義知，m－n＝2a＝6， 又PF1⊥PF2. ∴△PF1F2為直角三角形． 即m2＋n2＝(2c)2＝100. 由m－n＝6，得m2＋n2－2mn＝36， ∴2mn＝m2＋n2－36＝64，mn＝32. 設點P到x軸的距離為d， S△PF1F2＝d|F1F2|＝|PF1|·|PF2|， 即d·2c＝mn.∴d＝＝＝3.2， 即點P到x軸的距離為3.2. 14．(2020·北京理，13)已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點與橢圓＋＝1的焦點相同，那么雙曲線的焦

11、點坐標為________；漸近線方程為________． [答案]　(±4,0)　y＝±x [解析]　雙曲線焦點即為橢圓焦點，不難算出為(±4,0)，又雙曲線離心率為2，即＝2，c＝4，故a＝2，b＝2，漸近線為y＝±x＝±x. 三、解答題 15．求以橢圓＋＝1的長軸端點為焦點，且經過點P(4，3)的雙曲線的標準方程． [解析]　橢圓＋＝1長軸的頂點為A1(－5,0)，A2(5,0)，則雙曲線的焦點為F1(－5,0)，F2(5,0)，由雙曲線的定義知， |PF1|－|PF2| ＝－ ＝－＝8， 即2a＝8，a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝9. 所以雙曲線的方程為－＝1.

12、 16．直線l被雙曲線－＝1截得弦長為4，其斜率為2，求直線l在y軸上的截距． [解析]　設直線l的方程為y＝2x＋m， 由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0. 設直線l與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 由韋達定理，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)． 又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m， ∴y1－y2＝2(x1－x2)， ∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2 ＝5[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝5[m2－4×(m2＋2)] ∵|AB|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16. ∴3m2＝70，m＝±.

13、 17．設P點是雙曲線－＝1上除頂點外的任意一 點，F1，F2分別為左、右焦點，c為半焦距，△PF1F2的內切圓與邊F1F2切于點M，求|F1M|·|F2M|之值． [解析]　如圖所示．P是雙曲線上任一點(頂點除外)，由雙曲線定義得|PF1|－|PF2|＝±2a， 根據切線定理，可得|F1M|－|F2M|＝|PF1|－|PF2|＝±2a. 又|F1M|＋|F2M|＝2c， ∴當P在雙曲線左支上時，|F1M|＝c－a，|F2M|＝c＋a. 當P在雙曲線右支上時，|F1M|＝c＋a，|F2M|＝c－a. 故|F1M|·|F2M|＝c2－a2＝b2. 18．已知直線y＝ax＋1與雙曲線

14、3x2－y2＝1交于A、B兩點． (1)若以AB為直徑的圓過坐標原點，求實數a的值， (2)是否存在這樣的實數a，使A、B兩點關于直線y＝x對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由． [解析]　(1)由消去y得， (3－a2)x2－2ax－2＝0① 依題意 即－