《高中數(shù)學(xué) 2-2-3第2章 第3課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和同步檢測(cè) 新人教B版必修5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 2-2-3第2章 第3課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和同步檢測(cè) 新人教B版必修5(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2章 2.2 第3課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
一、選擇題
1.(2020·大綱全國(guó))設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k=( )
A.8 B.7
C.6 D.5
[答案] D
[解析] ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,∴k=5.
2.記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.若a1=,S4=20,則S6=( )
A.16 B.24
C.36 D.48
[答案] D
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為
2、d,
∵a1=,S4=4×+d=2+6d=20,
∴d=3,故S6=6×+×3=48,故選D.
3.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,則m=( )
A.38 B.20
C.10 D.9
[答案] C
[解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì),得am-1+am+1=2am,
∴2am=a,由題意,得am≠0,∴am=2.
又S2m-1==
=2(2m-1)=38,∴m=10.
4.?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列的前20項(xiàng)和等于( )
A.160 B.180
C.
3、200 D.220
[答案] B
[解析] ∵{an}是等差數(shù)列,
∴a1+a20=a2+a19=a3+a18,
又a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54.
∴3(a1+a20)=54,
∴a1+a20=18.
∴S20==180.
5.等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí),a2+a8+a11是一個(gè)定值,則下列各數(shù)中也為定值的是( )
A.S7 B.S8
C.S13 D.S15
[答案] C
[解析] 由已知a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)
4、=3a7為定值,則S13==13a7也為定值,故選C.
6.已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前10項(xiàng)的和S10=( )
A.138 B.135
C.95 D.23
[答案] C
[解析] 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和.
設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.
則,
②-①得2d=6,∴d=3.
a2+a4=a1+d+a1+3d=2a1+4d
=2a1+4×3=4,
∴a1=-4,
S10=10×(-4)+×3=-40+135=95.
故選C.
二、填空題
7.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,d=,an=3,Sn=,
5、則a1=________,n=________.
[答案] 2;3
[解析] 由題意,得,
解得.
8.(2020·湖南理)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和,且a1=1,a4=7,則S5=________.
[答案] 25
[解析] ∵a4-a1=3d,∴3d=6,∴d=2,∴S5=5a1+×5×4×d=5+×5×4×2=25.
三、解答題
9.在等差數(shù)列{an}中:
(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;
(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
[解析] (1)解法一:由已知條件得
,
解得.
∴S10=10a
6、1+×d
=10×3+×4=210.
解法二:由已知條件得,
∴a1+a10=42,
∴S10==5×42=210.
解法三:由(a5+a10)-(a4+a9)=2d=58-50,
得d=4
由a4+a9=50,得2a1+11d=50,∴a1=3.
故S10=10×3+=210.
(2)S7==7a4=42,∴a4=6.
∴Sn====510.
∴n=20.
10.在等差數(shù)列{an}中,(1)已知 a6=10,S5=5,求a8和S8;
(2)已知a3+a15=40,求S17.
[解析] (1)∵a6=10,S5=5,
∴,解得.
∴a8=a6+2d=16,S8=
7、=44.
(2)∵a1+a17=a3+a15,
∴S17====340.
能力提升
一、選擇題
1.已知一個(gè)等差數(shù)列的前四項(xiàng)之和為21,末四項(xiàng)之和為67,前n項(xiàng)和為286,則項(xiàng)數(shù)n為( )
A.24 B.26
C.27 D.28
[答案] B
[解析] 設(shè)該等差數(shù)列為{an},
由題意,得a1+a2+a3+a4=21,
an+an-1+an-2+an-3=67,
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,
∴4(a1+an)=21+67=88,
∴a1+an=22.
∴Sn==11n=286,
∴n=26.
2.已知等差數(shù)列{a
8、n}的前n項(xiàng)和為Sn,若=a1+a200,且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)點(diǎn)O),則S200=( )
A.100 B.101
C.200 D.201
[答案] A
[解析] ∵=a1+a200,且A、B、C三點(diǎn)共線,
∴a1+a200=1,S200==100.
二、填空題
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為18,若S3=1,an+an-1+an-2=3,則n=________.
[答案] 27
[解析] Sn==18,
由S3=1和,
得3(a1+an)=4,故a1+an=,
故n===27.
4.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng),其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為
9、30,則其公差為_(kāi)_______.
[答案] 3
[解析] S奇=a1+a3+a5+a7+a9=15,
S偶=a2+a4+a6+a8+a10=30,
∴S偶-S奇=5d=15,∴d=3.
三、解答題
5.已知等差數(shù)列{an},
(1)若a2+a7+a12=21,求S13;
(2)若S15=75,求a8.
[解析] (1)∵a2+a12=a1+a13=2a7,a2+a7+a12=21,
∴3a7=21,即a7=7.
∴S13===91.
(2)∵S15===75,∴a8=5.
6.已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足:Sn=(an+2)2,
(1)求證:{an
10、}是等差數(shù)列;
(2)若bn=an-30,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值.
[解析] (1)由Sn=(an+2)2,
則Sn-1=(an-1+2)2 (n≥2).
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1
=(an+2)2-(an-1+2)2,
整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
∴an-an-1=4,即{an}為等差數(shù)列.
(2)∵S1=(a1+2)2.∴a1=(a1+2)2.
解得a1=2.∴an=2+4(n-1)=4n-2
∴bn=an-30=(4n-2)-30
=2n-31.
令bn<0得n<,
∴S15為前n項(xiàng)和最小值.
S15=b1+b2+…
11、+b15=2(1+2+…+15)-15×31=-225.
7.甲、乙兩物分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng),甲第1分鐘走2m,以后每分鐘比前一分鐘多走1m,乙每分鐘走5m.
(1)甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇?
(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返,甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇?
[分析] 可將問(wèn)題化為等差數(shù)列問(wèn)題.
[解析] (1)設(shè)n分鐘后第1次相遇,依題意有2n++5n=70,
整理得n2+13n-140=0
解得n=7,n=-20(舍去)
第一次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后7分鐘.
(2)設(shè)n分鐘后第二次相遇,依題意有
2
12、n++5n=3×70
整理得n2+13n-6×70=0
解得n=15或n=-28(舍去)
第二次相遇是開(kāi)始運(yùn)動(dòng)15分鐘.
8.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-7n-8.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.
[解析] (1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-14;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-8,
故an=.
(2)由an=2n-8可知:當(dāng)n≤4時(shí),an≤0,當(dāng)n≥5時(shí),an>0.
∴當(dāng)n≤4時(shí),Tn=-Sn=-n2+7n+8,
當(dāng)n≥5時(shí),Tn=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-7n-8-2×(-20)=n2-7n+32,
∴Tn=.