高中數(shù)學 第三章《函數(shù)的極值與導數(shù)》教案 新人教A版選修1-1

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1、§3.3.2函數(shù)的極值與導數(shù) 教學目標： 1.理解極大值、極小值的概念； 2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值； 3.掌握求可導函數(shù)的極值的步驟； 教學重點：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數(shù)的極值的步驟. 教學難點：對極大、極小值概念的理解及求可導函數(shù)的極值的步驟. 教學過程： 創(chuàng)設情景 觀察圖3.3-8，我們發(fā)現(xiàn)，時，高臺跳水運動員距水面高度最大．那么，函數(shù)在此點的導數(shù)是多少呢？此點附近的圖像有什么特點？相應地，導數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？ 放大附近函數(shù)的圖像，如圖3.3-9．可以看出；在，當時，函數(shù)單調遞增，；當時，函數(shù)單調遞減，；這就說明，在附

2、近，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當在的附近從小到大經(jīng)過時，先正后負，且連續(xù)變化，于是有． 3.3-9 3.3-8 對于一般的函數(shù)，是否也有這樣的性質呢？ 附：對極大、極小值概念的理解，可以結合圖象進行說明.并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點的關鍵是這點兩側的導數(shù)異號 新課講授 一、 導入新課 觀察下圖中P點附近圖像從左到右的變化趨勢、P點的函數(shù)值以及點P位置的特點 o a x1 x2 x3 4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2

3、)) 函數(shù)圖像在P點附近從左側到右側由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保ê瘮?shù)由單調遞增變?yōu)閱握{遞減），在P點附近，P點的位置最高，函數(shù)值最大 二、學生活動 學生感性認識運動員的運動過程，體會函數(shù)極值的定義. 三、數(shù)學建構 x 0 2 y 極值點的定義: 觀察右圖可以看出，函數(shù)在x=0的函數(shù)值比它附近所有 各點的函數(shù)值都大，我們說f (0)是函數(shù)的一個極大值；函數(shù)在x=2的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，我們說f (2)是函數(shù)的一個極小值。 一般地，設函數(shù)在及其附近有定義，如果的值比附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說f ()是函數(shù)的一個極

4、大值；如果的值比附近所有各點的函數(shù)值都小，我們說f ()是函數(shù)的一個極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱極值。 取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。 請注意以下幾點：(讓同學討論) （?。O值是一個局部概念。由定義可知極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小。并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內最大或最小。 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的。即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。 o a x1 x2 x3 x4 b x y （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關系。即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極

5、大值點，是極小值點，而>。 （ⅳ）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點。 極值點與導數(shù)的關系:] 復習可導函數(shù)在定義域上的單調性與導函數(shù)值的相互關系,引導學生尋找函數(shù)極值點與導數(shù)之間的關系. 由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有。但反過來不一定。若尋找函數(shù)極值點,可否只由=0求得即可? 探索:x=0是否是函數(shù)=x的極值點?（展示此函數(shù)的圖形） 在處，曲線的切線是水平的,即=0，但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大

6、，也不比它附近的點的函數(shù)值小,故不是極值點。如果使，那么在什么情況下是的極值點呢？ 觀察下左圖所示，若是的極大值點，則兩側附近點的函數(shù)值必須小于。因此，的左側附近只能是增函數(shù)，即，的右側附近只能是減函數(shù)，即，同理，如下右圖所示，若是極小值點，則在的左側附近只能是減函數(shù)，即，在的右側附近只能是增函數(shù)，即， o a x0 b x y o a x0 b x y 從而我們得出結論(給出尋找和判斷可導函數(shù)的極值點的方法,同時鞏固導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系）： 若滿足，且在的兩側的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且

7、如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值。 結論：左右側導數(shù)異號 是函數(shù)f(x)的極值點 =0 反過來是否成立?各是什么條件? 點是極值點的充分不必要條件是在這點兩側的導數(shù)異號；點是極值點的必要不充分條件是在這點的導數(shù)為0. 學生活動 函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y/與函數(shù)值和極值之間的關系為(D ) A、導數(shù)y/由負變正,則函數(shù)y由減變?yōu)樵?且有極大值 B、導數(shù)y/由負變正,則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值 C、導數(shù)y/由正變負,則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極小值 D、導數(shù)y/由正變負,則函

8、數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值 四、數(shù)學應用 o x y 例1．（課本例4）求的極值 解： 因為，所以 。 下面分兩種情況討論： （1）當>0,即，或時； （2）當<0,即時. 當x變化時， ，的變化情況如下表： -2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此，當時，有極大值，并且極大值為； 當時，有極小值，并且極小值為。 函數(shù)的圖像如圖所示。 課堂訓練:求下列函數(shù)的極值

9、 讓學生討論總結求可導函數(shù)的極值的基本步驟與方法： 一般地，如果函數(shù)在某個區(qū)間有導數(shù)，可以用下面方法求它的極值： ① 確定函數(shù)的定義域； ② 求導數(shù)；③ 求方程=0的根，這些根也稱為可能極值點； ④ 檢查在方程＝0的根的左右兩側的符號，確定極值點。(最好通過列表法) 強調:要想知道 x0是極大值點還是極小值點就必須判斷 f￠(x0)=0左右側導數(shù)的符號 例題2（案例分析） 函數(shù) 在 x=1 時有極值10，則a，b的值為（C ） A、 或 B、 或 C、

10、 D、 以上都不對 略解:由題設條件得： 解之得 通過驗證，都合要求，故應選擇A 上述解法錯誤，正確答案選C，注意代入檢驗 注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件 練習: 庖丁解牛篇(感受高考） 1、（2020年天津卷）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內有極小值點（　A ） A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個 注意：數(shù)形結合以及原函數(shù)與導函數(shù)圖像的區(qū)別 2、已知函數(shù)在點處取得極大值，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，如圖

11、所示.求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值. 答案 （Ⅰ）=1; （Ⅱ） 例3求y=(x2－1)3+1的極值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 當x變化時，y′，y的變化情況如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 － 0 － 0 + 0 + ↘ 無極值 ↘ 極小值0 ↗ 無極值 ↗ ∴當x=0時，y有極小值且y極小值=0 五：回顧與小結： 1、極值的判定方法； 2、極值的求法 注意點： 1、f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件 2、數(shù)形結合以及函數(shù)與方程思想的應用 3、要想知道 x0是極大值點還是極小值點就必須判斷 f￠(x0)=0左右側導數(shù)的符號.