高中數(shù)學(xué)《算法的含義》文字素材1 蘇教版必修3

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1、蘇教必修3 1.1—1.2教材解讀 一. 學(xué)前探究: 假設(shè)你早上從起床到出門需要做以下幾件事情:洗臉?biāo)⒀溃?min)、燒水(8min)、泡面(3min)、吃飯(10min)、聽廣播(8min),你為了節(jié)省時間,會按怎樣的方法步驟進行呢? 二.難點、易忽略點剖析: 1.算法有哪些特征? (1)有限性:一個算法在執(zhí)行有限步驟后必須結(jié)束,不能無限地執(zhí)行下去。 (2)確定性:算法的每一個步驟和次序應(yīng)當(dāng)是確定的,而不應(yīng)當(dāng)模棱兩可,比如求的近似值卻沒有近似的精確度,則該問題不能求解. (3)有效性: 算法的每一個步驟都必須是有效的、可行的. (4)不唯一性:求解某一個問題的解法不一定是

2、唯一的,對于一個問題可以有不同的解法. 易忽略點:在設(shè)計算法時,算法應(yīng)有一個或多個輸出,算法的目的是為了求解問題,所以沒有輸出的算法是沒有意義的. 求解某一個問題的算法一般不是唯一的,我們通常選擇較簡單的算法. 只要有公式,利用公式解決問題是最理想,最簡單的方法,比如在解方程的算法時,用求根公式來做,步驟則較為簡潔. 2.畫流程圖有哪些要求? (1)使用標(biāo)準(zhǔn)圖框符號; (2)圖框一般按從上到下、從左到右的方向畫; (3)除了判斷框外,大多流程圖框只有一個進入點和一個輸出點; (4)在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚. 3.算法的三種基本結(jié)構(gòu) (1)順序結(jié)構(gòu):是最簡單的算法

3、結(jié)構(gòu),框與框之間是按從上到下的順序進行的,它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的,是任何一個算法都離不開的一種算法結(jié)構(gòu),可從用右圖表示順序結(jié)構(gòu)的示意圖,其中A和B兩個框是依次執(zhí)行的,只有在執(zhí)行完A框所指定的操作后,才能接著執(zhí)行B框所指定的操作. 易忽略點:對順序結(jié)構(gòu)的理解及運用,其先后次序是易出錯的地方. 順序結(jié)構(gòu)中的語句一旦執(zhí)行完,就不能再次被執(zhí)行. (2)條件結(jié)構(gòu):是一種先根據(jù)條件作出判斷,再決定執(zhí)行哪一種操作的結(jié)構(gòu),如右圖所示是一個選擇結(jié)構(gòu).此結(jié)構(gòu)中包含一個判斷框,根據(jù)給定的條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框,請注意,無論P條件是否成立,只能執(zhí)行A框或B框之一,不可能既執(zhí)行A框又執(zhí)行

4、B框,也不可能A框、B框都不執(zhí)行.A或B兩個框中,可以有一個是空的,即不執(zhí)行任何操作. 易忽略點:判斷框必須有兩個出口。 (3)循環(huán)結(jié)構(gòu):即反復(fù)執(zhí)行某一部分的操作。其中反復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體。它的框圖一般可分為直到型和當(dāng)型. 編者提示:兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的詳細比較請參閱第四版《兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)精析》. 在循環(huán)結(jié)構(gòu)中常見到、這樣的語句,其中變量作為計數(shù)變量,記錄某個規(guī)定的事件已發(fā)生的次數(shù);變量作為累計變量,用于輸出結(jié)果.二者一般同步執(zhí)行. 易忽略點:循環(huán)結(jié)構(gòu)的初始階段,應(yīng)設(shè)置計數(shù)變量和累加變量的初值. 結(jié)構(gòu)內(nèi)不允許出現(xiàn)死循環(huán),即無終止的循環(huán),如右圖所示就是一個死循環(huán)。 在循環(huán)結(jié)構(gòu)中往

5、往包含了選擇結(jié)構(gòu)與順序結(jié)構(gòu),因此在設(shè)計循環(huán)結(jié)構(gòu)時要兼顧 選擇結(jié)構(gòu)與順序結(jié)構(gòu). 三、典型例題 例.一位商人有9枚銀元,其中有一枚略輕的是假銀元。你能用天平(無砝碼)將假銀元找出來嗎?寫出解決這一問題的一種算法。 分析:最容易想到的解決辦法是:把9枚銀元順次排成一列,先稱前兩個,若不平衡,則可找出較輕的一個是假銀元;若平衡,則兩枚都是真的,再依次與剩下的銀元作稱量比較,就可找到假銀元。 [解法1]:算法步驟如下: 第一步:任取兩枚銀元分別放在天平兩邊,如果天平左右不平衡,則輕的哪一邊就是假銀元;如果天平平衡,則進行第二步; 第二步:取下右邊的銀元,放在一邊,然后把剩下的7枚銀元依次放

6、在右邊進行稱量,直到天平不平衡,則偏輕的哪一邊就是假銀元。 [評注]:對于這種非數(shù)值問題算法設(shè)計問題,應(yīng)當(dāng)首先建立過程模型,根據(jù)過程設(shè)計步驟,完成算法。另外,這種算法最少要稱量一次,最多則要稱量7次,仔細分析,我們還可以有以下更好的算法。 [解法2]:算法步驟如下: 第一步:把9枚銀元平均分成3組,每給3枚; 第二步:先將其中的兩組放在天平的兩邊,如果天平不平衡,那么假銀元就在輕的哪一組;如果天平平衡,則假銀元就在未稱的那一組中; 第三步:取出含假銀元的那一組,從中任取兩個放在天平的兩邊進行稱量,如果天平不平衡,則假銀元就是較輕的那一個;如果天平平衡,則假銀元就是沒稱量的那一個。

7、[評注]:利用以下算法,只要2次稱量就可以將假銀元找出來,顯然比第一種算法簡潔、有效。 感悟算法 1.算法的概念 算法是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟,這些程序或步驟必須是明確的和有效的,而且能夠在有限步之內(nèi)完成。 算法可概括為以下幾個特點: (1)有窮性 一個算法的步驟序列是有限的,它應(yīng)在有限步操作之后停止,而不能是無限的。 (2)確定性 算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果,而不應(yīng)當(dāng)是摸棱兩可。 (3)順序性與正確性 算法從初始步驟開始,分為若干明確的步驟,每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟,前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完

8、前一步才能進行下一步,并且每一步都準(zhǔn)確無誤,才能完成問題。 (4)不唯一性 求解某一個問題的解法不一定是唯一的,對于一個問題可以有不同的算法。 (5)普遍性 很多具體的問題,都可以設(shè)計合理的算法去解決。例如手算、心算或用算盤、計算器去計算都要經(jīng)過有限的、事先設(shè)計好的步驟加以解決。 2.給出一個問題,設(shè)計算法時應(yīng)注意: (1)認(rèn)真分析問題,聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學(xué)方法; (2)綜合考慮次類問題中可能涉及的各種情況; (3)借助有關(guān)的變量或參數(shù)對算法加以描述; (4)將解決問題的過程劃分為若干個步驟; (5)用簡練的語言將各個步驟表示出來。 3.對于數(shù)值性計算問題,例如:解方

9、程、方程組,解不等式、不等式組,套用公式判斷性的問題,累加、累乘等這一類問題的算法描述,可通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型借助一般數(shù)學(xué)計算方法,分解成清晰的步驟,使之條理化即可。 4.對于一些非數(shù)值計算問題,例如:排序、查找、變量變換、文字處理等需要先建立過程模型,通過過程模型進行算法設(shè)計與描述。 例1 寫出求經(jīng)過點的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的一個算法。 分析:已知直線上兩點、,由兩點式可寫出直線的方程,令得與軸的交點,令得與軸的交點,求出三角形兩直角邊的長,根據(jù)三角形的面積公式求出三角形的面積。 解析:算法步驟如下: 第一步:??; 第二步:得直線方程; 第三步:在第二步的方程中,令得

10、的值,從而得直線與軸的交點; 第四步:在第二步的方程中,令得的值,從而得直線與軸的交點; 第五步:根據(jù)三角形的面積公式求; 第六步:輸出運算結(jié)果。 評注:由于兩點式直線方程可以有公式套用,所以這一步驟選擇了套用公式的算法;三角形面積需要求兩直角邊的長度,而本題中正是先求出三角形的兩直角邊的長度,再代入三角形的面積公式求出三角形的面積。 例2 一位商人有9枚銀元,其中有一枚略輕的是假銀元,你能用天平(不用砝碼)將假銀元找出來嗎? 分析:最容易想到的解決這個問題的一種方法是:把9枚銀元按順序排成一列,先稱前2枚,若不平衡,則可找出假銀元;若平衡,則2枚銀元都是真的,再依次與剩下的

11、銀元比較,就能找出假銀元。 解析:算法步驟如下: 第一步:任取2枚銀元分別放在天平的兩邊,如果天平左右不平衡,則輕的一邊就是假銀元;如果天平平衡,則進行第二步。 第二步:取下右邊的銀元放在一邊,然后把剩余的7枚銀元依次放在右邊進行稱量,直到天平不平衡,偏輕的那一枚就是假銀元。 評注:上述算法至少要稱1次,最多稱7次,我們可以采用下面的辦法,使稱量次數(shù)少一些。 第一步:把銀元分成3組,每組3枚。 第二步:先將兩組分別放在天平的兩邊,如果天平不平衡,那么假銀元就在輕的一組;如果天平左右平衡,則假銀元就在未稱的第3組里。 第三步:取出含假銀元的那一組,從中任取兩枚銀元放在天平的兩邊,如

12、果左右不平衡,則輕的那一邊就是假銀元;如果天平兩邊平衡,則未稱的那一枚就是假銀元。 練一練 1.寫出求過、兩點的直線的斜率的一個算法。 2.寫出解方程的一個算法。 算法趣話 就像人類發(fā)明機器是為了拓展人的生產(chǎn)能力、發(fā)明交通工具是為了拓展人的行動能力一樣,計算機的發(fā)明是為了將人的抽象思維能力拓展到自身以外。每一天,我們使用計算機的電子表格、字處理器、網(wǎng)頁瀏覽器等程序塊來完成各種各樣的任務(wù)。表面看來,計算機做的事情非常漂亮,但那只是一種幻覺。計算機可以做的所有事情只是非??焖俚夭僮饔?和0組成的數(shù)字。另一方面,我們?nèi)祟悈s不能用1和0進行思考。算法就是將人類的思維能力形

13、式化為計算機可以執(zhí)行的步驟,使得若干微小的電子元件代替人類進行思考。具體過程是先將解決問題的一系列步驟寫成算法,再翻譯成某種程序設(shè)計語言在計算機上實現(xiàn),就得到了我們每天操作的程序塊。因此,算法是計算機科學(xué)的核心,換句話說,算法是計算機程序的基礎(chǔ)。沒有算法,計算機的存在也就失去了意義。 隨著社會和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進步,科學(xué)的兩大研究方法──理論和實驗越來越多地表現(xiàn)出局限性。許多研究的對象既不可能用理論精確地描述,也不可能通過實驗手段來實現(xiàn),而計算方法與之相比,有其獨到之處??茖W(xué)計算是20世紀(jì)后期才興起的一門學(xué)科,如今已經(jīng)廣泛滲透到生物醫(yī)學(xué)研究、基因工程、太空探測和每日天氣預(yù)報等各個領(lǐng)域。人們利

14、用計算機進行模擬和實驗來理解現(xiàn)象,猜測新的事實,發(fā)現(xiàn)新的理論,使各個領(lǐng)域的研究都獲得突破的可能。例如,醫(yī)生想知道病人大腦或其他器官的一些情況,他無法簡單地將病人解剖來進行觀察,但可以利用計算機來處理超聲波或磁場共振信號,并建立可視圖像;經(jīng)濟學(xué)家想為政府制定經(jīng)濟政策提供輔助信息,若采用在局部區(qū)域內(nèi)制定實驗性的經(jīng)濟政策的方法,可能會給該區(qū)域造成巨大的損失,但通過建立經(jīng)濟行為的算法模型,模擬各種經(jīng)濟現(xiàn)象,則可能得到理想的結(jié)果。科學(xué)計算對每個專業(yè)和每個研究領(lǐng)域都產(chǎn)生了巨大的沖擊。隨著幾乎所有學(xué)科走向定量化和精確化,科學(xué)知識結(jié)構(gòu)也發(fā)生了巨大的變化,產(chǎn)生了一系列計算性的學(xué)科分支,如計算幾何、算法數(shù)論、計算

15、統(tǒng)計、計算流體力學(xué)、計算量子化學(xué)、計算胚胎學(xué)、計算地質(zhì)學(xué)、計算氣象學(xué)、計算材料科學(xué)、計算天文學(xué)等等?,F(xiàn)在,科學(xué)計算繼實驗、理論之后,已經(jīng)成為第三種科學(xué)研究手段。在以規(guī)?;笊a(chǎn)為特征的“機械時代”,一般不需要勞動者擁有出眾的才華或者獨特的創(chuàng)意,在這種體制下培養(yǎng)出的人才是“模式化”的、“整齊劃一”的,勞動者只需要掌握自己所從事工作的基礎(chǔ)知識,并按照上級的指令認(rèn)真做事就可以了。如今,我們的生活方式正在被計算機和網(wǎng)絡(luò)所日益改變著。更加重要的是,計算機不僅在形式上改變著我們的生活方式,而且從思維的深處改變著我們認(rèn)識世界、改造世界的方式,對我們?nèi)绾嗡伎妓鎸Φ膯栴}和如何解決問題都產(chǎn)生了深刻的影響。21世紀(jì)是創(chuàng)意與構(gòu)思的時代,有意識地培養(yǎng)我們的算法思想,構(gòu)建算法意識,以“算法的視角”看待和解決問題,必將有利于未來的發(fā)明與創(chuàng)新。

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