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第14課時：第二章 函數(shù)——二次函數(shù)
一．課題：二次函數(shù)
二．教學(xué)目標(biāo)：掌握二次函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)；能利用二次函數(shù)研究一元二次方程的實根分布條件；能求二次函數(shù)的區(qū)間最值．
三．教學(xué)重點：二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的靈活轉(zhuǎn)化．
四．教學(xué)過程：
（一）主要知識：
1．二次函數(shù)的解析式的三種形式：一般式，頂點式，兩根式．
2．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；
3．二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系．
（二）主要方法：
1．討論二次函數(shù)的區(qū)間最值問題：①注意對稱軸與區(qū)間的相對位置；②函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性；
2．討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需
2、從三方面考慮：①判別式；②區(qū)間端點的函數(shù)值的符號；③對稱軸與區(qū)間的相對位置．
（三）例題分析：
例1．函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是 （ ）
分析：對稱軸，∵函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，
∴對稱軸在區(qū)間
的左邊，即，得．
例2．已知二次函數(shù)的對稱軸為，截軸上的弦長為，且過點，求函數(shù)的解析式．
解：∵二次函數(shù)的對稱軸為，設(shè)所求函數(shù)為，又∵截軸上的弦長為，∴過點，又過點，
∴， ，
∴．
例3．已知函數(shù)的最大值為，求的值 ．
分析：令，問題就轉(zhuǎn)二次函數(shù)的區(qū)間最值問題．
解：令，，
∴，對稱軸為，
（1）當(dāng)，
3、即時，，得或（舍去）．
（2）當(dāng)，即時，函數(shù)在單調(diào)遞增，
由，得．
（3）當(dāng)，即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，
由，得（舍去）．
綜上可得：的值為或．
例4． 已知函數(shù)與非負(fù)軸至少有一個交點，求的取值范圍．
解法一：由題知關(guān)于的方程至少有一個非負(fù)實根，設(shè)根為
則或，得．
解法二：由題知或，得．
例5．對于函數(shù)，若存在，使，則稱是的一個不動點，已知函數(shù)
，
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的不動點；
（2）對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若的圖象上兩點的橫坐標(biāo)是的不動點，且兩點關(guān)于直線對稱，求的最小值．
解：（1），是的不動點，則，得或，函數(shù)的不動點為和．
（2）∵函數(shù)恒有兩個相異的不動點，∴恒有兩個不等的實根，對恒成立，
∴，得的取值范圍為．
（3）由得，由題知，，
設(shè)中點為，則的橫坐標(biāo)為，∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
∴的最小值為．
（四）鞏固練習(xí)：
1．若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱則 6 ．
2．二次函數(shù)的二次項系數(shù)為負(fù)值，且，問與滿足什么關(guān)系時，有．
3．取何值時，方程的一根大于，一根小于．
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