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1、§5.2可分空間
本節(jié)重點:掌握可分空間的定義及可分空間與第二可數(shù)性公理空間的關系,與度量空間的關系；掌握稠密子集的定義及性質.
定義5.2.設X是一個拓撲空間，DUx.如果D的閉包等于整個拓撲空間X,即戸X
則稱D是X的一個稠密子集.
以下定理從一個側面說明了討論拓撲空間中的稠密子集的意義．
定理5.2.設X是一個拓撲空間，D是X中的一個稠密子集.又設fgX-Y都是連續(xù)映射.如果/L=g|z），則fg本定理說明兩個映射只須在稠密子集上相等就一定在整個空間相等）
證明設=.如果fMg,貝9存在xGX使得
f(x)Mg(x).令：￡
|f(x)
-g(，x)
則￡>.令
2、
=(f(x)￡2
f(x￡)+/
2)
耳=(g(x)￡2
g(x￡)+/
2)
則'門眄=0根據(jù)映射f和g的連續(xù)性可知八%）尼譏）都是x的鄰域，從而U=廣'肌）門尹?）也是x的一個鄰域?由于子集D是稠密的，所以UQDM0?對于任意一個yGUHD，我們有，
f（y）g（y）丘i2i2，矛盾.
我們也希望討論有著較少“點數(shù)”稠密子集的拓撲空間，例如具有有限稠密點集的拓撲空間.但這類拓撲空間比較簡單，大部分我們感興趣的拓撲空間都不是這種情形，討論起來意思不大.例如一個度量空間如果有一個有限的稠密子集的話，那么這個空間一定就是一個離散空間.相反，后繼的討論表明，許多重要的拓
3、撲空間都有可數(shù)稠密子集.
定義設X是一個拓撲空間.如果X中有一個可數(shù)稠密子集，則稱X是一個可分
空間.
定理5.2.每2一個滿足第二可數(shù)性公理的空間都是可分空間．
證明設X是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個可數(shù)基.在B中的每一個非空元素B中任意取定一個點心WB.令
={|BGB,B^}
這是一個可數(shù)集.由于X中的每一個非空開集都能夠表示為B中若干個元素（其中當然至少會有一個不是空集）之并，因此這個非空開集一定與有非空的交，所以可數(shù)集是X的一個稠密子集．
包含著不可數(shù)多個點的離散空間一定不是可分的．這是因為在這樣一個拓撲空間中，任何一個可數(shù)子集的閉包都等于它的自身而不可能
4、等于整個空間．
可分性不是一個可遺傳的性質，也就是說一個可分空間可能有子空間不是可分的．例子見后面的例5.2．.然1而由于滿足第二可數(shù)性公理是一個可遺傳的性質，因此根據(jù)定理5.2我們立即得到：
推論5.2.滿3足第二可數(shù)性公理的空間的每一個子空間都是可分空間．
特別，維歐氏空間用中的每一個子空間（包括它自己）都是可分空間.
例設X是一個拓撲空間，g是任何一個不屬于X的元素（例如我們可以取
°°=X）.令X*二XU和*={AU|AW}U{0}.容易驗證（請讀者自己證明）（X**）是一個拓撲空間.
我們依次給出以下三個論斷：
（）（X*，*）是可分空間.這是因為8屬于（X
5、*,*）中的每一個非空開集，所以
單點集{8}是（X*,*）中的一個稠密子集.
（）（X*，*滿足第二可數(shù)性公理當且僅當（X,）滿足第二可數(shù)性公理.
事實上，B是（X,）的基當且僅當B*={BU{8}|bgB}是（X*,*）的一個基，而B與B*有相同的基數(shù)則是顯然的.
根據(jù)這三個論斷，我們可有以下兩個結論：
（）可分空間可以不滿足第二可數(shù)性公理.因為如果任意選取一個不滿足第二可數(shù)性公理的空間（，），我們便能得到一個不滿足第二可數(shù)性公理的可分空間（*）.
（）可分空間的子空間可以不是可分空間.因為如果選取（，）為一個不是可分的空間，我們便能得到一個可分空間（*）以，為它的一個子空間.
對加上一個點后得到的空間就是這么神奇
定理5.2.每4一個可分的度量空間都滿足第二可數(shù)性公理．
證明（略）
根據(jù)定理5.2及.推4論5.2可.知3：
推論5.2.可5分度量空間的每一個子空間都是可分空間．
有關可分性是拓撲不變性質，有限可積性質，可商性質以及對于開子空間可遺傳性質等問題我們列在習題中，由讀者自己去研究.
作業(yè):
《點集拓撲學》第5章§5.2可分空間
