2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法練習(xí) 新人教A版選修4-5

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1、三 反證法與放縮法 ,　　　　　　　　[學(xué)生用書P34]) [A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，要把下列哪些作為條件使用(　　) ①與結(jié)論相反的判斷，即假設(shè)； ②原命題的條件； ③公理、定理、定義等； ④原結(jié)論． A．①②　　 B．①②④ C．①②③ D．②③ 解析：選C.由反證法的推理原理可知，反證法必須把結(jié)論的相反判斷作為條件應(yīng)用于推理，同時(shí)還可應(yīng)用原條件以及公理、定理、定義等． 2．已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)．若用反證法證明三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根，應(yīng)

2、假設(shè)成(　　) A．三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異實(shí)根 B．一個(gè)方程沒有兩個(gè)相異實(shí)根 C．至多兩個(gè)方程沒有兩個(gè)相異實(shí)根 D．三個(gè)方程不都沒有兩個(gè)相異實(shí)根 解析：選A.命題“三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根”的否定為“三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異實(shí)根”，故選A. 3．實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋c≥2，則(　　) A．a(chǎn)，b，c都是正數(shù) B．a(chǎn)，b，c都大于1 C．a(chǎn)，b，c都小于2 D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不小于 解析：選D.假設(shè)a，b，c均小于，則a＋2b＋c<＋1＋，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，故a，b，c

3、中至少有一個(gè)不小于. 4．已知△ABC中，∠C＝90°，則的取值范圍是(　　) A．(0，2) B．(0，] C．(1，] D．[1，] 解析：選C.因?yàn)椤螩＝90°，所以c2＝a2＋b2， 即c＝. 又有a＋b>c，所以1<＝≤＝. 5．設(shè)a>b>0，則a＋＋的最小值為(　　) A． B．3 C． D．4 解析：選D.因?yàn)閍>b>0，所以a－b>0， 所以a＋＋＝(a－b)＋＋＋b≥ 4＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝＝＝b，即a＝2且b＝1時(shí)取等號(hào)， 所以a＋＋的最小值為4.故選D. 6．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下

4、三個(gè)步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角； ③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角， 不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°. 正確順序的序號(hào)排列為________． 解析：由反證法證明的步驟知，先反設(shè)即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②. 答案：③①② 7．若f(x)＝，a，b都為正數(shù)，A＝f，G＝f()，H＝f，則A、G、H的大小關(guān)系是________． 解析：因?yàn)閍，b為正數(shù)， 所以≥＝≥＝， 且f(x)＝為單調(diào)減函數(shù)， 所以f≤

5、f()≤f， 所以A≤G≤H. 答案：A≤G≤H 8．某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問題： 函數(shù)f(x)在[0，1]上有意義，且f(0)＝f(1)．如果對于不同的x1，x2∈[0，1]都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|.求證：|f(x1)－f(x2)|<，那么他的反設(shè)應(yīng)該是________________________________． 解析：對任意x1，x2∈[0，1](x1≠x2)都有|f(x1)－f(x2)|<的反面是存在x1，x2∈[0，1]且x1≠x2有|f(x1)－f(x2)|≥. 答案：存在x1，x2∈[0，1]且x1≠x2使|f(x1)－f(x2)|≥

6、 9．若n是大于1的自然數(shù)，求證：＋＋＋…＋<2. 證明：因?yàn)?＝－， k＝2，3，…，n(n∈N＋)， 所以＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝2－<2， 所以＋＋＋…＋<2. 10．設(shè)f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0，1]，求證： |f(a)－f(b)|≤|a－b|. 證明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| 因?yàn)?≤a≤1，0≤b≤1， 所以0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. 所以|f(a)－f(b)|≤|a－b|. [B　能力提升] 1．若a，b∈R，且a

7、2＋b2＝10，則a－b的取值范圍是(　　) A．[0， ] B．[－2，2 ] C．[－， ] D．[－2，2 ] 解析：選D.令a＝cos θ，b＝sin θ， 則a－b＝cos θ－sin θ ＝2＝2cos. 因?yàn)閏os∈[－1，1]， 所以a－b∈[－2，2]． 2．A＝1＋＋＋…＋與(n∈N＋)的大小關(guān)系是________． 解析：A＝1＋＋＋…＋ ≥ ＝ ＝. 答案：A≥ 3．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)＝0，且當(dāng)00. (1)證明：是函數(shù)f(x)的一個(gè)零

8、點(diǎn)； (2)試用反證法證明：>c. 證明：(1)因?yàn)閒(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)為x1，x2， 因?yàn)閒(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的一個(gè)根． 又x1x2＝，所以x2＝. 故x2＝是f(x)＝0的一個(gè)根，即是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)． (2)假設(shè)0，且當(dāng)00， 知f>0，與f＝0矛盾， 所以假設(shè)不成立． 故≥c. 又≠c，所以>c. 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列． 解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋S1＝2a1＝2，則 a1＝1. 又an＋Sn＝2， 所以an＋1＋Sn＋1＝2. 兩式相減得an＋1＝an. 所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． 所以an＝. (2)證明：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p