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1、 第四節(jié) 數(shù)列求和1公式法(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snna1.推導(dǎo)方法：倒序相加法(2)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法(3)一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：123n；2462nn(n1)；1352n1.2幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和常用的裂項(xiàng)公式有：；.(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用
2、錯(cuò)位相減法求解(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解小題體驗(yàn)1等比數(shù)列1,2,4,8，中從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為_解析：由a11，a22，得q2，S101 023，S415，S10S41 008.答案：1 0082數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項(xiàng)和Sn的值等于_答案：n213已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an，則該數(shù)列的前_項(xiàng)之和等于9.解析：由題意知，an，所以Sn(1)()()19，解得n99.答案：991直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時(shí)，應(yīng)對其公比是否為1進(jìn)行
3、討論2在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí)，注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號；結(jié)論中形如an，an1的式子應(yīng)進(jìn)行合并3在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng)小題糾偏1設(shè)f(n)2242721023n10(nN*)，則f(3)_.答案：(871)2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且ann2n，則Sn_.答案：(n1)2n123求和：_.解析：原式1.答案：1題組練透1(2019南師大附中月考)張丘建算經(jīng)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今共織九十尺，問織幾日？”已知“日減功遲”的具體含義是每天比前一天少織同樣多的布，則此問題的
4、答案是_日解析：易知每日織布數(shù)量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)此數(shù)列為，則a15，an1，Sn90，所以90，解得n30.答案：302(2018無錫期末)設(shè)公比不為1的等比數(shù)列an滿足a1a2a3，且a2，a4，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列an的前4項(xiàng)和為_解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q(q1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a2a3a，所以a2.因?yàn)閍2，a4，a3成等差數(shù)列，所以2a4a2a3，即2a2q2a2a2q，化簡得2q2q10，即(q1)(2q1)0，解得q或q1(舍去)又因?yàn)閍11，所以S4.答案：3已知等差數(shù)列an滿足a32，前3項(xiàng)和S3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列bn滿足b1a1，b4a
5、15，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)an的公差為d，則由已知條件得化簡得解得故an的通項(xiàng)公式an1，即an.(2)由(1)得b11，b4a158.設(shè)bn的公比為q，則q38，從而q2，故bn的前n項(xiàng)和Tn2n1.謹(jǐn)記通法幾類可以使用公式法求和的數(shù)列(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解(2)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的，可以分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，分別使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式典例引領(lǐng)(2018天一中學(xué)檢測)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a13，通項(xiàng)an2npnq(nN*，p，q為常數(shù))，且a1，a4，a5成
6、等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn.解：(1)由a13，得2pq3，又由a424p4q，a525p5q，且a1a52a4，得325p5q25p8q，由解得p1，q1.(2)由(1)，知an2nn.所以Sn(2222n)(12n)2n12.由題悟法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型提醒某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論即時(shí)應(yīng)用1求數(shù)列11，4，7，10，(3n2)的前n項(xiàng)和解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，則an(3n2)，Sn147(3n2)當(dāng)a1時(shí)，Snn；當(dāng)a1時(shí)，Sn.2(2018南京四校聯(lián)考
7、)在等差數(shù)列an中，a2a723，a3a829.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列anbn是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，求bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d.因?yàn)閍3a8(a2a7)2d6，所以d3，所以a2a72a17d23，解得a11，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2.(2)因?yàn)閿?shù)列anbn是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，所以anbnqn1，即3n2bnqn1，所以bn3n2qn1.所以Sn147(3n2)(1qq2qn1)(1qq2qn1)，故當(dāng)q1時(shí)，Snn；當(dāng)q1時(shí)，Sn.典例引領(lǐng)(2018徐州調(diào)研)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn2an1，nN*
8、.數(shù)列bn滿足nbn1(n1)bnn(n1)，nN*，且b11.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)若cnan，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，對任意的nN*，都有TnnSna，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)n1時(shí)，S12a11a1，所以a11.當(dāng)n2時(shí)，Sn2an1，Sn12an11，兩式相減得an2an1，所以數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公比q2的等比數(shù)列，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.由nbn1(n1)bnn(n1)兩邊同除以n(n1)，得1，所以數(shù)列是首項(xiàng)b11，公差d1的等差數(shù)列，所以n，故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn2.(2)由(1)得cnann2n1，于是Tn12022322n2n1，
9、所以2Tn12222323n2n，兩式相減得Tn12222n1n2nn2n，所以Tn(n1)2n1，由(1)得Sn2an12n1，因?yàn)閷N*，都有TnnSna，即(n1)2n1n(2n1)a恒成立，所以a2nn1恒成立，記cn2nn1，所以a(cn)min，因?yàn)閏n1cn2n1(n1)1(2nn1)2n10，從而數(shù)列cn為遞增數(shù)列，所以當(dāng)n1時(shí)，cn取最小值c10，于是a0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0由題悟法用錯(cuò)位相減法求和的3個(gè)注意事項(xiàng)(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Snq
10、Sn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解即時(shí)應(yīng)用(2019海門中學(xué)月考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Snn2n.(1)求an的通項(xiàng)公式an；(2)若ak1，a2k，a2k3(kN*)恰好依次為等比數(shù)列bn的第一、第二、第三項(xiàng)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11212.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n2n)(n1)2(n1)2n.當(dāng)n1時(shí)，符合上式，an2n(nN*)(2)由題意知ak1，a2k，a2k3成等比數(shù)列，aak1a2k3，即(22k)22(k1)2(2k3)，解得k3.b1a48，b2a612，公比q，
11、bn8n1，nn1，Tn. Tn. ，得Tnnnn，則Tnn.鎖定考向裂項(xiàng)相消法求和是歷年高考的重點(diǎn)，命題角度凸顯靈活多變，在解題中要善于利用裂項(xiàng)相消的基本思想，變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式，達(dá)到求解目的常見的命題角度有：(1)形如an型；(2)形如an 型；(3)形如an型 題點(diǎn)全練角度一：形如an型1(2019啟東一中檢測)在數(shù)列中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn，求的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn.由題意得Sn1Sn0，2，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，12(n1)2n1，
12、Sn.(2)bn，Tnb1b2bn.角度二：形如an 型2已知函數(shù)f(x)x的圖象過點(diǎn)(4,2)，令an，nN*.記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 018_.解析：由f(4)2可得42，解得，則f(x)x.所以an，S2 018a1a2a3a2 018()()()()()1.答案：1角度三：形如an型3正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.證明：對于任意的nN*，都有Tn.解：(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn0，Snn2n.于是a
13、1S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)證明：由于an2n，故bn.Tn.通法在握利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等如：若an是等差數(shù)列，則，.演練沖關(guān)(2018鎮(zhèn)江調(diào)研)已知等差數(shù)列an中，2a2a3a520，且前10項(xiàng)和S10100.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解：(1)由已知得解得所以an的通項(xiàng)公式為an12(n1)2n1.(2)bn，所
14、以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn .一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2019鎮(zhèn)江調(diào)研)已知是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a3a78，則S9_.解析：在等差數(shù)列中，由a3a78，得a1a98，所以S936.答案：362數(shù)列12n1的前n項(xiàng)和為_解析：由題意得an12n1，所以Snnn2n1.答案：n2n13數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(2n1)，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為_解析：根據(jù)題意有S1001357911197199250100.答案：1004(2018泰州期末)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann2n1，前n項(xiàng)和為Sn，則Sn_.解析：ann2n1，Sn1122322n2n1，2Sn1222232
15、3n2n，兩式相減可得Sn12222n1n2nn2n，化簡可得Sn(n1)2n1.答案：(n1)2n15已知等比數(shù)列的公比q1，且a5a130，a4a212，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_解析：因?yàn)閍5a130，a4a212，所以a1(q41)30，a1(q3q)12，兩式相除，化簡得2q25q20，解得q或2，因?yàn)閝1，所以q2，a12.所以an22n12n.所以，所以Tn11.答案：16若數(shù)列an滿足an(1)nan1n(n2)，Sn是an的前n項(xiàng)和，則S40_.解析：當(dāng)n2k時(shí)，即a2ka2k12k，當(dāng)n2k1時(shí)，即a2k1a2k22k1，當(dāng)n2k1時(shí)，即a2k1a2k2k1，得a2ka2k24k
16、1，得a2k1a2k11，S40(a1a3a5a39)(a2a4a6a8a40)110(7152379)10440.答案：440二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1在數(shù)列an中，若a12，且對任意正整數(shù)m，k，總有amkamak，則an的前n項(xiàng)和Sn_.解析：依題意得an1ana1，即有an1ana12，所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，an22(n1)2n，Snn2n.答案：n2n2已知數(shù)列an中，an4n5，等比數(shù)列bn的公比q滿足qanan1(n2)且b1a2，則|b1|b2|b3|bn|_.解析：由已知得b1a23，q4，所以bn(3)(4)n1，所以|bn|34n1，即|bn
17、|是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列所以|b1|b2|bn|4n1.答案：4n13已知數(shù)列5,6,1，5，該數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S16_.解析：根據(jù)題意這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)分別為5,6,1，5，6，1,5,6，發(fā)現(xiàn)從第7項(xiàng)起，數(shù)列重復(fù)出現(xiàn)，所以此數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為6，前6項(xiàng)和為561(5)(6)(1)0.又因?yàn)?6264，所以這個(gè)數(shù)列的前16項(xiàng)之和S162077.答案：74對于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a12，數(shù)列an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.解析：因?yàn)閍n1an2n，所以an(a
18、nan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n，所以Sn2n12.答案：2n125(2019宿遷調(diào)研)已知數(shù)列中，a11，a23，若an22an1an0對任意nN*都成立，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn_.解析：a11，a23，an22an1an0，an2an1(an1an)，a2a14.則數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為1的等比數(shù)列，an1an4(1)n1.當(dāng)n2k1時(shí)，a2ka2k14(1)2k24.Sn(a1a2)(a3a4)(a2k1a2k)4k2n.當(dāng)n2k時(shí)，a2k1a2k4.Sna1(a2a3)(a2k2a2k1)14(k1)54k5432n.Sn答案：6在等差數(shù)列an
19、中，首項(xiàng)a13，公差d2，若某學(xué)生對其中連續(xù)10項(xiàng)進(jìn)行求和，在漏掉一項(xiàng)的前提下，求得余下9項(xiàng)的和為185，則此連續(xù)10項(xiàng)的和為_解析：由已知條件可得數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n1，設(shè)連續(xù)10項(xiàng)為ai1，ai2，ai3，ai10，iN，設(shè)漏掉的一項(xiàng)為aik,1k10，由aik185，得(2i32i21)52i2k1185，即18i2k66，即9ik33，所以349ik3343,3i5，所以i4，此時(shí)，由3633k得k3，所以aika715，故此連續(xù)10項(xiàng)的和為200.答案：2007(2019邵陽模擬)九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中均屬章有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等問各得
20、幾何”其意思為“已知A，B，C，D，E五人分5錢，A，B兩人所得與C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差數(shù)列問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)在這個(gè)問題中，E分得_錢解析：由題意，設(shè)A所得為a4d，B所得為a3d，C所得為a2d，D所得為ad，E所得為a，則解得a，故E分得錢答案：8已知數(shù)列an中，a12，a2nan1，a2n1nan，則an的前100項(xiàng)和為_解析：由a12，a2nan1，a2n1nan，得a2na2n1n1，所以a1(a2a3)(a4a5)(a98a99)223501 276，因?yàn)閍1001a501(1a25)2(12a12)14(1a
21、6)13(1a3)12(1a1)13，所以a1a2a1001 276131 289.答案：1 2899(2018蘇北四市期末)已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1a，(an1)(an11)6(Snn)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若對于nN*，都有Snn(3n1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)n1時(shí)，(a11)(a21)6(S11)，故a25.當(dāng)n2時(shí)，(an11)(an1)6(Sn1n1)，所以(an1)(an11)(an11)(an1)6(Snn)6(Sn1n1)，即(an1)(an1an1)6(an1)又an0，所以an1an16，所以a2k1a6(k1)6ka6
22、，a2k56(k1)6k1，故an(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn(3na2)(n1)n，由Snn(3n1)，得a恒成立，令f(n)，則f(n1)f(n)0，所以af(1)4.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Snn(3na1)n，由Snn(3n1)得，a3(n1)恒成立，所以a9.又a1a0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,410(2019宿遷中學(xué)調(diào)研)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的首項(xiàng)a11，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*)(1)若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求Sn.解：(1)令n1，得a2.令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，所以a3.由
23、aa1a3，得2，因?yàn)?，所以1.(2)當(dāng)時(shí)，anSn1an1Snanan1anan1，所以，即， 所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以2(n1)，即Sn1an，當(dāng)n2時(shí)，Sn11an1，得，ananan1，即(n1)an(n2)an1，所以(n2)，所以是常數(shù)列，且為，所以an(n2). 代入得Snan1.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1(2018啟東檢測)九章算術(shù)中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第
24、一天也進(jìn)一尺，以后每天減半”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則Sn_尺解析：依題意大老鼠每天打洞的距離構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以前n天大老鼠打洞的距離共為2n1.同理可得前n天小老鼠打洞的距離共為2，所以Sn2n122n1.答案：2n12(2018蘇州高三暑假測試)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且anSnn216n15(nN*)，若對任意nN*，總有SnSk，則k的值為_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則anSna1(n1)dn2na1dn216n15，所以解得所以Sn13n(2)n214n(n7)249，所以(Sn)maxS7，所以SnS7對任意nN*恒成立，所
25、以k的值為7.答案：73(2019南京一模)平面內(nèi)的“向量列”an，如果對于任意的正整數(shù)n，均有an1and，則稱此“向量列”為“等差向量列”，d稱為“公差向量”；平面內(nèi)的“向量列”bn，如果對于任意的正整數(shù)n，均有bn1qbn(q0)，則稱此“向量列”為“等比向量列”，常數(shù)q稱為“公比”(1)如果“向量列”an是“等差向量列”，用a1和“公差向量”d表示a1a2an；(2)已知an是“等差向量列”，“公差向量”d(3,0)，a1(1,1)，an(xn，yn)，bn是“等比向量列”，“公比”q2，b1(1,3)，bn(mn，kn)，求a1b1a2b2anbn.解：(1)“向量列”an是“等差向量列”，a1a2anna1(12n1)dna1d.(2)a1(1,1)，d(3,0)，an(3n2,1)b1(1,3)，q2，bn(2n1,32n1)anbn(3n2,1)(2n1,32n1)(3n2)2n132n1(3n1)2n1，設(shè)Sna1b1a2b2anbn，則Sn420721(3n1)2n1，2Sn42722(3n1)2n，兩式相減可得，Sn43(2222n1)(3n1)2n43(3n1)2n(23n)2n2，a1b1a2b2anbn(3n2)2n2.
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和教案理蘇教版.docx
