2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級(jí)訓(xùn)練56 古典概型（含解析）

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1、課下層級(jí)訓(xùn)練(五十六)　古典概型 [A級(jí)　基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練] 1．(2019·云南檢測(cè))在2,0,1,5這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù)，則數(shù)字2是取出的三個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 【答案】C　[分析題意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4種取法，符合題意的取法有2種，故所求概率P＝.] 2．若連續(xù)拋擲兩次質(zhì)地均勻的骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則點(diǎn)P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】D　[該試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)6×6＝36種情況，點(diǎn)(m，n)在直線x＋y＝4上

2、的情況有(1,3)，(2,2)，(3,1)共三種，則所求概率P＝＝.] 3．袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為(　　) A． B． C． D．1 【答案】B　[由題意得基本事件的總數(shù)為C，恰有1個(gè)白球與1個(gè)紅球的基本事件個(gè)數(shù)為CC，所以所求概率P＝＝.] 4．(2019·甘肅蘭州調(diào)研)從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為(　　) A． B． C． D． 【答案】B　[構(gòu)成的兩位數(shù)共有A＝20個(gè)，其中大于40的兩位數(shù)有CC＝8個(gè)，所以所

3、求概率為＝.] 5．(2019·山東臨沂模擬)某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名作為樣本，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．要從這6人中，隨機(jī)選出2人參加一項(xiàng)技術(shù)比賽，選出的2人至少有1人為優(yōu)秀工人的概率為(　　) 1 7 9 2 0 1 5 3 0 A． B． C． D． 【答案】C　[由已知得，樣本均值為＝＝22，故優(yōu)秀工人只有2人．故所求概率為P＝＝＝.] 6．(2019·山東臨沂模擬)在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張，另1張無(wú)獎(jiǎng)．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎(jiǎng)的概率是__

4、__________． 【答案】 　[記“兩人都中獎(jiǎng)”為事件A，設(shè)中一、二等獎(jiǎng)及不中獎(jiǎng)分別記為1,2,0，那么甲、乙抽獎(jiǎng)結(jié)果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6種．其中甲、乙都中獎(jiǎng)有(1,2)，(2,1)，2種，所以P(A)＝＝.] 7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N*)．若從數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)不小于8的概率是____________． 【答案】 　[由題意可知an＝2·(－2)n－1，故前10項(xiàng)中，不小于8的只有8,32,128,512，共4項(xiàng)，故所求概率是＝.] 8．從n個(gè)正整數(shù)1,2

5、,3，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n＝____________. 【答案】8　[因?yàn)?＝1＋4＝2＋3，所以＝，解得n＝8(舍去n＝－7)．] 9．設(shè)a∈{2,4}，b∈{1,3}，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1． (1)求f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率； (2)從f(x)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求它們?cè)?1，f(1))處的切線互相平行的概率． 解　(1)f′(x)＝ax＋b，由題意f′(－1)≤0，即b≤a， 而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四種，滿足b≤a的有3種，故概率為． (2)由(1)可知，函數(shù)f

6、(x)共有4種可能，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)，有6種抽法． ∵函數(shù)f(x)在(1，f(1))處的切線的斜率為f′(1)＝a＋b， ∴這兩個(gè)函數(shù)中的a與b之和應(yīng)該相等，而只有(2,3)，(4,1)這1組滿足，∴概率為． 10．(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)． (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？ (2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作． ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； ②設(shè)M

7、為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率． 【答案】解　(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人． (2)①?gòu)某槿〉?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}共21種． ②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)

8、中，來(lái)自甲年級(jí)的是A，B，C，來(lái)自乙年級(jí)的是D，E，來(lái)自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種． 所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝． [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 11．(2019·山東威海調(diào)研)從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　) A． B． C． D． 【答案】A　[由題意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，

9、(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種情況．因?yàn)閙⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的有(3,3)，(5,5)共2個(gè)，故所求的概率為.] 12．安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動(dòng)，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動(dòng)，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的概率為(　　) A． B． C． D． 【答案】B　[由題意，甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的所有情況為：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4種．故所求事件的概率P＝＝.] 13．連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3

10、,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時(shí)，m＝____________． 【答案】7　[m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，對(duì)應(yīng)的基本事件個(gè)數(shù)依次為1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴兩次向上的數(shù)字之和等于7對(duì)應(yīng)的事件發(fā)生的概率最大．] 14．我們把形如“3241”形式的數(shù)稱為“鋸齒數(shù)”(即大小間隔的數(shù))，由1,2,3,4四個(gè)數(shù)組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則該四位數(shù)恰好是“鋸齒數(shù)”的概率為_(kāi)___________． 【答案】 　[通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖可知，由1,2,3,4四個(gè)數(shù)組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有24個(gè)，四位數(shù)

11、為“鋸齒數(shù)”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231，共10個(gè)，所以四位數(shù)為“鋸齒數(shù)”的概率為＝.] 15．根據(jù)我國(guó)頒布的《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定》：空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六級(jí)，對(duì)應(yīng)空氣質(zhì)量指數(shù)的六個(gè)級(jí)別，指數(shù)越大，級(jí)別越高，說(shuō)明污染越嚴(yán)重，對(duì)人體健康的影響也越明顯．專家建議：當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)小于等于150時(shí)，可以進(jìn)行戶外運(yùn)動(dòng)；空氣質(zhì)量指數(shù)為151及以上時(shí)，不適合進(jìn)行旅游等戶外活動(dòng)，下表是我市2018年10月上旬的空氣質(zhì)量指數(shù)情況： 時(shí)間

12、1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 269 (1)求10月上旬市民不適合進(jìn)行戶外活動(dòng)的概率； (2)一外地游客在10月上旬來(lái)本市旅游，想連續(xù)游玩兩天，求適合連續(xù)旅游兩天的概率． 【答案】解　(1)該試驗(yàn)的基本事件空間Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，基本事件總數(shù)n＝10． 設(shè)事件A為“市民不適合進(jìn)行戶外活動(dòng)”，則A＝{3,4,9,10}，包含基本事件數(shù)m＝4.所以P(A)＝＝，即10月上旬市民不適合進(jìn)行戶外活動(dòng)的概率為． (2)

13、該試驗(yàn)的基本事件空間Ω＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)}，基本事件總數(shù)n＝9， 設(shè)事件B為“適合連續(xù)旅游兩天的日期”，則B＝{(1,2)，(5,6)，(6,7)，(7,8)}，包含基本事件數(shù)m＝4，所以P(B)＝，所以適合連續(xù)旅游兩天的概率為． 16．(2019·山東日照模擬)袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的. (1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；

14、 (2)求取球2次即終止的概率； (3)求甲取到白球的概率． 【答案】解　(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，從袋中任取2個(gè)球都是白球的結(jié)果數(shù)為C，從袋中任取2個(gè)球的所有可能的結(jié)果數(shù)為C． 由題意知從袋中任取2球都是白球的概率P＝＝，則n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3個(gè)白球． (2)設(shè)事件A為“取球2次即終止”．取球2次即終止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球， P(A)＝＝＝． (3)設(shè)事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件Ai，i＝1,2,3,4,5，因?yàn)榧紫热。约字豢赡茉诘?次，第3次和第5次取到白球． 所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝＋＋＝＋＋＝． 6