初中數學競賽分專題訓練試題及解析.doc

《初中數學競賽分專題訓練試題及解析.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《初中數學競賽分專題訓練試題及解析.doc（76頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、1 初中數學競賽專項訓練（初中數學競賽專項訓練（1） （實 數） 一、選擇題 1、如果自然數a是一個完全平方數，那么與 a之差最小且比a 大的一個完全平方數是 （ ） A. a1B. a2+1C. a2+2a+1D. a+2a+1 2、在全體實數中引進一種新運算 *，其規(guī)定如下： 對任意實數a、b 有a*b=（ab）(b1)對任意實數a 有 a*2a*a。當x2 時， 3*（x*2） 2*x1 的值為（ ） A. 34B. 16C. 12D. 6 3、已知 n 是奇數，m 是偶數，方程 myx ny 2811 2004 有整數解 x0、y0。則（ ） A. x0、y0均為偶數B. x0、y0均

2、為奇數 C. x0是偶數 y0是奇數D. x0是奇數 y0是偶數 4、設 a、b、c、d 都是非零實數，則四個數-ab、ac、bd、cd（ ） A. 都是正數B. 都是負數C. 兩正兩負D. 一正三負或一負三正 5、滿足等式2003200320032003xyxyxyyx的正整數對的個數是 （ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 6、已知 p、q 均為質數，且滿足 5p2+3q=59，由以 p3、1pq、2pq4 為邊長的三角形是（ ） A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 等腰三角形 7、一個六位數，如果它的前三位數碼與后三位數碼完全相同，順序也相同，由此六位數可以被（ ）

3、 整除。 A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 8、在 1、2、3100 個自然數中，能被 2、3、4 整除的數的個數共（ ）個 A. 4B. 6C. 8D. 16 二、填空題 1、若 2001 1 1981 1 1980 1 1 S，則 S 的整數部分是_ 2、M 是個位數字不為零的兩位數，將 M 的個位數字與十位數字互換后，得另一個兩位數 N，若 MN 2 恰是某正整數的立方，則這樣的數共個。 3、已知正整數 a、b 之差為 120，它們的最小公倍數是其最大公約數的 105 倍，那么，a、b 中較大的數是 。 4、設 m 是不能表示為三個互不相等的合數之和的最大整數，則

4、m 5、滿足 19982m219972n2（0mn1998）的整數對（m、n）共有個 6、已知 x 為正整數，y 和 z 均為素數，且滿足 zyx yzx 111 ，則 x 的值是 三、解答題 1、試求出這樣四位數，它的前兩位數字與后兩位數字分別組成的二位數之和的平方，恰好等于這個四位 數。 3 2、從 1、2、3、4205 共 205 個正整數中，最多能取出多少個數使得對于取出來的數中的任意三個數 a、b、c（abc） ，都有 abc。 3、已知方程03246 22 nnxx的根都是整數。求整數 n 的值。 4 4、設有編號為 1、2、3100 的 100 盞電燈，各有接線開關控制著，開始時

5、，它們都是關閉狀態(tài)，現 有 100 個學生，第 1 個學生進來時，凡號碼是 1 的倍數的開關拉了一下，接著第二個學生進來，由號 碼是 2 的倍數的開關拉一下，第 n 個（n100）學生進來，凡號碼是 n 的倍數的開關拉一下，如此下 去，最后一個學生進來，把編號能被 100 整除的電燈上的開關拉了一下，這樣做過之后，請問哪些燈 還亮著。 5、若勾股數組中，弦與股的差為 1。證明這樣的勾股數組可表示為如下形式： 1222212 22 aaaaa， ， ，其中a為正整數。 5 初中數學競賽專項訓練（初中數學競賽專項訓練（2） （代數式、恒等式、恒等變形） 一、選擇題：下面各題的選項中，只有一項是正確

6、的，請將正確選項的代號填在括號內。 1、某商店經銷一批襯衣，進價為每件 m 元，零售價比進價高 a%，后因市場的變化，該店把零售價調整為 原來零售價的 b%出售，那么調價后每件襯衣的零售價是（ ） A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元 2、如果 a、b、c 是非零實數，且 a+b+c=0，那么 |abc abc c c b b a a 的所有可能的值為 （ ） A. 0B. 1 或-1C. 2 或-2D. 0 或-2 3、在ABC 中，a、b、c 分別為角 A、B、C 的對邊，若B60，則 bc a ba c 的值為

7、 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1D. 2 4、設 ab0，a2+b2=4ab，則 ba ba 的值為（ ） A. 3B. 6C. 2D. 3 5、已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，則多項式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值為 （ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 6、設 a、b、c 為實數， 2 2 6 2 3 2 222 aczcbybax，則 x、y、z 中，至少有 一個值（ ） A. 大于 0B. 等于 0C. 不大于 0D. 小于 0 7、已知 abc0，且 a+b+c0，則代數式 ab c ca b bc a 222 的

8、值是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 0 8、若1364983 22 yxyxyxM（x、y 是實數） ，則 M 的值一定是（ ） A. 正數B. 負數C. 零D. 整數 二、填空題 1、某商品的標價比成本高 p%，當該商品降價出售時，為了不虧損成本，售價的折扣（即降價的百分數） 不得超過 d%，則 d 可用 p 表示為 c A BC a b 6 2、已知-1a0，化簡4) 1 (4) 1 ( 22 a a a a得 3、已知實數 z、y、z 滿足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，則 x+2y+3z=_ 4、已知 x1、x2、x40都是正整數，且 x1+x2+x4058，若 x12+x

9、22+x402的最大值為 A，最 小值為 B，則 AB 的值等于 5、計算 )441()417)(413)(49)(45( )439()415)(411)(47)(43( 44444 44444 _ 6、已知多項式1547 23 xbxax可被13 x和32 x整除，則ba 三、解答題： 1、已知實數 a、b、c、d 互不相等，且x a d d c c b b a 1111 ，試求 x 的值。 7 2、如果對一切 x 的整數值，x 的二次三項式cbxax 2 的值都是平方數（即整數的平方） 。 證明：2a、ab、c 都是整數。 a、b、c 都是整數，并且 c 是平方數。 反過來，如果成立，是否

10、對于一切 x 的整數值，x 的二次三項式cbxax 2 的值都是平方數？ 3、若 2222 1996199619951995a，求證：a 是一完全平方數，并寫出 a 的值。 8 4、設 a、b、c、d 是四個整數，且使得 222222 )( 4 1 )(dcbacdabm是一個非零整數，求證： m一定是個合數。 5、若 2 a的十位數可取 1、3、5、7、9。求a的個位數。 9 初中數學競賽專項訓練（初中數學競賽專項訓練（3） （方 程） 一、選擇題： 1、方程018)8( 2 axax有兩個整數根，試求整數 a 的值（ ） A. -8B. 8C. 7D. 9 2、方程1) 1( 32 x x

11、x的所有整數解的個數是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5 3、若 0 x是一元二次方程)0(0 2 acbxax的根，則判別式acb4 2 與平方式 2 0 )2(baxM的大小關系是（ ） A. MB. =MC. MD. 不能確定 4、已知acb4 2 是一元二次方程)0(0 2 acbxax的一個實數根，則 ab 的取值范圍為 （ ） A. ab 8 1 B. ab 8 1 C. ab 4 1 D. ab 4 1 5、已知 1 x、 2 x是方程0)53()2( 22 kkxkx的兩個實根，則 2 2 2 1 xx的最大值是 （ ） A. 19B. 18C. 9 5 5D. 以上答案

12、都不對 6、已知zyx、為三個非負實數，且滿足132523zyxzyx， ，zyxu73若，則 u 的最大值與最小值之和為（ ） A. 77 62 B. 77 64 C. 77 68 D. 77 74 7、若 m、n 都是正實數，方程02 2 nmxx和方程02 2 mnxx都有實數根，則 m+n 的最小值 是（ ） A. 4B. 6C. 8D. 10 8、氣象愛好者孔宗明同學在 x（x 為正整數）天中觀察到：有 7 個是雨天；有 5 個下午是晴天； 有 6 個上午是晴天；當下午下雨時上午是晴天。則 x 等于（ ） A. 7B. 8C. 9D. 10 二、填空題 1、已知兩個方程00 22 a

13、bxxbaxx與有且只有一個公共根，則這兩個方程的根應是 2、若)(0161101611 22 babbaa， ，則 b a a b 10 3、已知關于 x 的方程012) 1( 2 nxnx的兩根為整數，則整數 n 是 4、設 1 x、 2 x是方程02) 1(2 22 kxkx的兩個實數根，且8) 1)(1( 21 xx，則 k 的值是 5、已知 a、b 是方程04 2 mxx的兩個根，b、c 是方程058 2 mxx的兩個根，則 m 6、設 1 x、 2 x是關于 x 的一元二次方程2 2 aaxx的兩個實數根，則)2)(2( 1221 xxxx的最大值 為 三、解答題 1、關于 x 的

14、方程01) 1( 2 xkkx有有理根，求整數 k 的值。 11 2、設方程01200120032002 22 xx的較大根是r，方程0120022001 2 xx的較小根是s， 求rs的值。 3、確定自然數 n 的值，使關于 x 的一元二次方程076351082 22 nnxnxx的兩根均為質數， 并求出此兩根。 12 4、已知關于 x 的一元二次方程054)15117()9)(6( 2 xkxkk的兩個根均為整數，求所有滿 足條件的實數 k 的值。 5、有編號為、的四條賽艇，其速度依次為每小時 1 v、 2 v、 3 v、 4 v千米，且滿足 1 v 2 v 3 v 4 v0，其中， 水

15、v為河流的水流速度（千米/小時） ，它們在河流中進行追逐賽規(guī)則如下：（1） 四條艇在同一起跑線上，同時出發(fā)，、是逆流而上，號艇順流而下。 （2）經過 1 小時， 、同時掉頭，追趕號艇，誰先追上號艇誰為冠軍，問冠軍為幾號艇？ 13 初中數學競賽專項訓練（初中數學競賽專項訓練（4） （不等式） 一、選擇題： 1、若不等式x+1+x-3a 有解，則 a 的取值范圍是（ ） A. 0a4B. a4C. 0a2D. a2 2、已知 a、b、c、d 都是正實數，且 d c b a ，給出下列四個不等式： dc c ba a dc c ba a dc c ba b dc d ba b 其中正確的是（ ） A

16、. B. C. D. 3、已知 a、b、c 滿足 abc，ab+bc+ac0，abc1，則（ ） A. a+b|c|B. |a+b|c| C. |a+b|=|c|D. |a+b|與|c|的大小關系不能確定 4、關于 x 的不等式組 ax x x x 2 3 5 3 52 只有 5 個整數解，則 a 的取值范圍是（ ） A. -6b，若兩個三角 形的最小內角相等，則 b a 的值等于（ ） A. 2 13 B. 2 15 C. 2 23 D. 2 25 7、在凸 10 邊形的所有內角中，銳角的個數最多是（ ） A. 0B. 1C. 3D. 5 8、若函數)0(kkxy與函數 x y 1 的圖象相

17、交于 A，C 兩點，AB 垂直 x 軸于 B，則ABC 的面積為 （ ） A. 1B. 2C. kD. k2 二、填空題 1、若四邊形的一組對邊中點的連線的長為 d，另一組對邊的長分別為 a，b，則 d 與 2 ba 的大小關系是 60 A B C D A B C D P 圖 8-1 圖 8-2 AD CB EF 圖 8-3 圖 8-4 A BC D AD C F C B E 29 2、如圖 8-5，AA、BB分別是EAB、DBC 的平分線，若 AABBAB，則BAC 的度數為 3、已知五條線段長度分別是 3、5、7、9、11，將其中不同的三個數組成三數組，比如（3、5、7） 、 （5、9、1

18、1）問有多少組中的三個數恰好構成一個三角形的三條邊的長 4、如圖 8-6，P 是矩形 ABCD 內一點，若 PA3，PB4，PC5，則 PD 5、如圖 8-7，甲樓樓高 16 米，乙樓座落在甲樓的正北面，已知當地冬至中午 12 時 太陽光線與水平面的夾角為 30，此時求如果兩樓相距 20 米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高？ 如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應當是米。 6、如圖 8-8，在ABC 中，ABC60，點 P 是ABC 內的一點，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，則 PB 圖 8-6 A B D C P 16 米 20 米 A B C D 甲乙 圖 8-7 圖

19、 8-8 B A C P A B B D C 圖 8-5 E A 30 三、解答題 1、如圖 8-9，AD 是ABC 中 BC 邊上的中線，求證：AD 2 1 （AB+AC） 2、已知一個三角形的周長為 P，問這個三角形的最大邊長度在哪個范圍內變化？ A B D C 圖 8-9 31 3、如圖 8-10，在 RtABC 中，ACB90，CD 是角平分線，DEBC 交 AC 于點 E，DFAC 交 BC 于點 F。 求證：四邊形 CEDF 是正方形。 CD22AEBF 4、從 1、2、3、4、2004 中任選 k 個數，使所選的 k 個數中一定可以找到能構成三角形邊長的三個 數（這里要求三角形三

20、邊長互不相等） ，試問滿足條件的 k 的最小值是多少？ A C F B D E 圖 8-10 32 初中數學競賽專項訓練（初中數學競賽專項訓練（9） （面積及等積變換） 一、選擇題： 1、如圖 9-1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AC 與 BD 交于 O，點 P 在 AB 的延長線上，且 BPCD，則 圖形中面積相等的三角形有（ ） A. 3 對B. 4 對 C. 5 對D. 6 對 2、如圖 9-2，點 E、F 分別是矩形 ABCD 的邊 AB、BC 的中點，連 AF、CE，設 AF、CE 交于點 G，則 ABCD AGCD S S 矩形 四邊形 等于（ ） A. 6 5 B. 5 4

21、C. 4 3 D. 3 2 3、設ABC 的面積為 1，D 是邊 AB 上一點，且 AB AD 3 1 ，若在邊 AC 上取一點 E，使四邊形 DECB 的 面積為 4 3 ，則 EA CE 的值為（ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 5 1 4、如圖 9-3，在ABC 中，ACB90，分別以 AC、AB 為邊，在ABC 外作正 方形 ACEF 和正方形 AGHB，作 CKAB，分別交 AB 和 GH 于D 和 K，則正方 形 ACEF 的面積 S1與矩形 AGKD 的面積 S2的大小關系是 （ ） A. S1S2B. S1S2 C. S1S2D. 不能確定，與 AB AC

22、的大小有關 5、如圖 9-4，四 邊形 ABCD 中， A60，BD90， AD8，AB7，則 BC+CD 等于 （ ） A. 36B. 53C. 43D. 33 6、如圖 9-5，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設 a1， 則正方形的面積為 （ ） A. 2 537 B. 2 53 C. 2 15 D. 2 )21 ( 7、如圖 9-6，矩形 ABCD 中，ABa，BCb，M 是 BC 的中點，DEAM，E 為垂足，則 DE（ ） PA D C B O 圖 9- 1 A B CD E FG 圖 9-2 A B C D HGK F E 圖 9-3 A B C D 圖 9-4 a b

23、 a a b b 圖 9-5 a b A BC D E M 圖 9-6 33 A. 22 4 2 ba ab B. 22 4ba ab C. 22 4 2 ba ab D. 22 4ba ab 8、O 為ABC 內一點，AO、BO、CO 及其延長線把ABC 分成六個小三角形， 它們的面積如圖 9-7 所示，則 SABC（ ） A. 292B. 315 C. 322D. 357 二、填空題 1、如圖 9-8，梯形 ABCD 的中位線 EF 的長為 a，高為 h，則圖中陰影部分的面積為 2、如圖 9-9，若等腰三角形的底邊上的高等于 18cm，腰上的中線等于 15cm，則這個等腰三角形的面積等于

24、3、如圖 9-10，在ABC 中，CEEB12，DEAC，若ABC 的面 積為 S，則ADE 的面積為 4、如圖 9-11，已知 D、E 分別是ABC 的邊 BC、CA 上的點，且 BD4，DC1，AE5，EC2。連結 AD 和 BE，它們相交于點P，過點 P 分別 作 PQCA，PRCB，它們分別與邊 AB 交于點 Q、R，則PQR 的面積與ABC 的面積之比為 5、如圖 9-12，梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC25，AFFD11，BEEC23，EF、CD 延長線交于 G，用最簡單的整數比來表示，SGFDSFEDSDEC 6、如圖 9-13，P 是矩形 ABCD 內一點，若 PA3，

25、PB4，PC5，則 PD 三、解答題 1、如圖 9-14，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的點，F 是 CD 上的點， SABESADF 3 1 S矩形 ABCD。 A BC D E F O 84 x y y40 y 30 y 35 y 圖 9-7 圖 9- 8 A E D C F B A M C D B G 圖 9-9 A C E B D 圖 9-10 A B QR D C E P 圖 9-11 A BC D G F E 圖 9-12 A BC D P 圖 9-13 A D F C EB 圖 9-14 34 求： CEF AEF S S 的值。 2、一條直線截ABC 的邊 BC、CA、

26、AB（或它們的延長線）于點 D、E、F。 求證：1 FB AF EA CE DC BD A B CD E F 圖 9-15 35 3、如圖 9-16，在 ABCD 中，P1、P2、P3Pn-1是 BD 的 n 等分點，連結 AP2，并延長交 BC 于點 E， 連結 APn-2并延長交 CD 于點 F。 求證：EFBD 設 ABCD 的面積是 S，若 SAEF 8 3 S，求 n 的值。 4、如圖 9-17，ABC 是等腰三角形，C90，O 是ABC 內一點，點 O 到ABC 各邊的距離等于 1，將ABC 繞點 O 順時針旋轉 45得到A1B1C1，兩三角形的公共部分為多邊形 KLMNPQ。 證

27、明：AKL，BMN，CPQ 都是等腰直角三角形。 求證：ABC 與A1B1C1公共部分的面積。 D B A C E F P1 P2 Pn-2 Pn-1 圖 9-16 圖 9-17 A B C C1 A1 B1 L M K N Q P O 36 初中數學競賽專項訓練（初中數學競賽專項訓練（10） （三角形的四心及性質、平移、旋轉、覆蓋） 一、填空題： 1、G 是ABC 的重心，連結 AG 并延長交邊 BC 于 D，若ABC 的面積為 6cm2， 則BGD 的面積為 （ ） A. 2cm2B. 3 cm2 C. 1 cm2D. 2 3 cm2 2、如圖 10-1，在 RtABC 中，C90，A30

28、，C 的平分線與B 的 外角的平分線交于 E 點，則AEB 是（ ） A. 50B. 45C. 40D. 35 3、在ABC 中，ACB90，A20，如圖 10-2，將 ABC 繞點 C 按逆時針方向旋轉角 到ACB的位置， 其中 A、B分 別是 A、B 的對應點，B 在 AB上，CA交 AB 于 D，則 BDC 的度數 為（ ） A. 40B. 45 C. 50D. 60 4、設 G 是ABC 的垂心，且 AG6，BG8，CG10，則三角形的面積為（ ） A. 58B. 66C. 72D. 84 5、如圖 10-3，有一塊矩形紙片 ABCD，AB8，AD6，將紙片折疊，使 AD 邊落在 AB

29、 邊上，折痕為 AE，再將AED 沿 DE 向右翻折，AE 與 BC 的交點為 F，CEF 的面積為（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8 6、在ABC 中，A45，BCa，高 BE、CF 交于點 H，則 AH（ ） A. a 2 1 B. a 2 2 C. aD. a2 7、已知點 I 是銳角三角形 ABC 的內心，A1、B1、C1分別是點 I 關于 BC、CA、AB 的對稱點，若點 B 在 A1B1C1的外接圓上，則ABC 等于（ ） A. 30B. 45C. 60D. 90 8、已知 AD、BE、CF 是銳角ABC 三條高線，垂心為 H，則其圖中直角三角形的個數是（ ） A. 6B.

30、8C. 10D. 12 二、填空題 1、如圖 10-4，I 是ABC 的內心，A40，則CIB 2、在凸四邊形 ABCD 中，已知 ABBCCDDA2231，且ABC90，則DAB 的度數 是 A C B E 圖 10-1 A B C D AB 圖 10-2 A B CD D A E B C A D E B C F 圖 10-3 A C I B D 圖 10- 4 A BC D E D 圖 10-5 37 3、如圖 10-5，在矩形 ABCD 中，AB5，BC12，將矩形 ABCD 沿對角線對折，然后放在桌面上，折 疊后所成的圖形覆蓋桌面的面積是 4、在一個圓形時鐘的表面，OA 表示秒針，OB

31、 表示分針（O 為兩針的旋轉中心）若現在時間恰好是 12 點整，則經過秒鐘后，OAB 的面積第一次達到最大。 5、已知等腰三角形頂角為 36，則底與腰的比值等于 6、已知 AM 是ABC 中 BC 邊上的中線，P 是ABC 的重心，過 P 作 EF（EFBC） ，分別交 AB、AC 于 E、F，則 AF CF AE BE 三、解答題 1、如圖 10-6，在正方形 ABCD 的對角線 OB 上任取一點 E，過 D 作 AE 的垂線與 OA 交于 F。求證： OEOF 38 2、在ABC 中，D 為 AB 的中點，分別延長 CA、CB 到點 E、F，使 DEDF，過 E、F 分別作 CA、CB 的

32、垂線相交于 P，設線段 PA、PB 的中點分別為 M、N。 求證：DEMDFN PAEPBF 3、如圖 10-8，在ABC 中，ABAC，底角 B 的三等分線交高線 AD 于 M、N，邊 CN 并延長交 AB 于 E。 求證：EMBN A E C B F D P M N 圖 10-7 A BC N M E D 圖 10-8 39 4、如圖 10-9，半徑不等的兩圓相交于 A、B 兩點，線段 CD 經過點 A，且分別交兩于 C、D 兩點，連結 BC、CD，設 P、Q、K 分別是 BC、BD、CD 中點 M、N 分別是弧 BC 和弧 BD 的中點。 求證： QB NQ PM BP KPMNQK A

33、 B CD M N K P Q 圖 10-9 1 數學競賽專項訓練（數學競賽專項訓練（1）實數參考答案）實數參考答案 一、選擇題 1、解：設與 a 之差最小且比 a 大的一個完全平方數是 x，則1ax，所以 12) 1( 2 aaax 應選 D 6 138 13) 13)(13( 133*3 12*2)2*2(*3 12*2)2(*32 2* 、解：原式 應選 D 3、2004n 0 y，n 是奇數， 0 y必是奇數，又 11 0 x=m28 0 y，m 和 28 0 y均為偶數，所以 11 0 x是偶數， 0 x應為偶數。故選 C 4、解：abacbdcda2b2c2d20，所以這四個數中應

34、一正三負或一負三正。應選 D 5、解：由02003200320032003xyyxxyyx可得 020030)2003)(2003(yxyxxy 而 所以是質數，因此必有 又因為 故2003200302003xyxy 2003 1 y x 1 2003 y x 應選 B 6、解：因qp35 2 為奇數，故 p、q 必一奇一偶，而 p、q 均為質數，故 p、q 中有一個為 2，若 5 53 2 2 pq 不合題意舍去。若 p2，則 q3，此時 p35，1-p+q=12，2p+q-4=13，因為 52+122=132，所以 5、12、13 為邊長的三角形為直角三角形。故選 B 7、解：依題意設六位

35、數為abcabc，則 abcabca105b104c103a102b10ca102（1031）b10（1031） c（1031）（a103b10c） （1031）1001（a103b10c） ，而 a103b10c 是整數，所以能被 1001 整除。故選 C 8、解：能被 2、3、4 整除即能被2，3，412 整除，共有 12、24、36、4896 共 8 個。應選 C 二、填空題 1、解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以90 22 1980 1980 1 22 1 S，又 2 1980、19812000 均小于 2001，所以 22 21 90 22 2001 2001

36、 1 22 1 S，從而知 S 的整數部分為 90。 2、解：設兩位數 M10a+b，則 N10b+a，由 a、b 正整數，且 1a，b9， 3 )(9)10()10(cbaabbaNM，又 c 是某正整數，顯然 c3100，c4，而且 c3是 9 的倍數，所以 c3，即 ab3，滿足條件的兩位數有 41、52、63、74、85、96 共 6 個 3、解設（a，b）d，且 amd，bnd，其中 mn，且 m 與 n 互質，于是 a、b 的最小公倍數為 mnd，依題題有 105 120 d mnd ndmd 即 753 532)( 3 mn dnm ，則 mn 據可得 1 105 n m 或 3

37、 135 n m 或 5 21 n m 或 7 15 n m 根據只取 7 15 n m 可求得 d15，故兩個數中較大的數是 md225。 4、解：最小三個合數是 4，6，8，4+6+818，故 17 是不能表示為三個互不相等的合數之和的整數，當 m18 時，若 m2k18，則 m4+6+2（k5） ，若 m2k118，則 m4+9+2（k7）即任意大 于 18 的整數均可表示為三個互不相等的合數之和，故 m17 5、解：n2m2399551747， （n-m） （n+m）51747，顯然對 3995 的任意整數分拆均可得到 （m，n） ，由題設（0mn1998） ，故滿足條件的整數對（m，

38、n）共 3 個。 6、解：由 yz zy yzx 111 及 xyz 得 yz=1，即 y 與 z 是兩個相鄰的自然數，又 y 與 z 均為素數， 只有 y3，z2，故 x=yz=6。 三、解答題 1、解：設前后兩個二位數分別為 x、y，10 x，y99。 根據題意有yxyx100)( 2 即0)()50(2 22 yyxyx 當0)992500(4)(4)50(4 22 yyyy yyx yy 99250050 250992500 時方程有實數解 即 由于 2500-99y 必為完全平方數，而完全平方數的末位數僅可能為 0、1、4、5、6、9，故 y 僅可 取 25，此時，x=30 或 20

39、，故所求四位數為 2025 或 3025。 2、解：首先 1、14、15、16205 這 193 個數滿足題設條件，事實上，設 a、b、c（abc）這 3 個 數取自 1、14、15、16205， 若 a1，則 abac； 若 a1，則 ab1415210c 3 另一方面考慮如下 12 個數組 （2，25，225） （3，24，324）（13，14，1314）上述這 36 個數互不相等，且其中最小 的數為 2，最大的數為 1314182205，所以每一個數組中的 3 個數不能全部都取出來，于是，如 果取出來的數滿足題設條件，那么，取出來的數的個數不超過 205-12193（個） 綜上所述，從

40、1、14、15、16205 中最多能取出 193 個數，滿足題設條件。 3、解：原方程解得： 93243 2 932426 2 94324446 2 )324(4366 2 2 2 2 nn nn nnnn x 因為方程的根是整數，所以 4n232n9 是完全平方數。 設 4n232n9m2 （m0） （2n8）255m2 （2n8m） （2n8m）55 因 55155（1）（55）（5）（11）511 1182 582 5582 182 582 1182 182 5582 mn mn mn mn mn mn mn mn 解得： n10、0、-8、-18 4、解：首先，電燈編號有幾個正約數，它

41、的開關就會被拉幾次，由于一開始電燈是關的，所以只有那些 被拉過奇數次的燈才是亮的，因為只有平方數才有奇數個約數，所以那些編號為 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盞燈是亮的。 5、證明：設勾長為x，弦長為z，則股長為1z 1) 1(zz， zzx，1是一個基本勾股數組。 由z為奇數知：1z為偶數，從而x為奇數，設12 ax（a 為正整數） ，則有 222 ) 1() 12(zza，解得 122 2 aaz，故勾股數組具有形式 1222212 22 aaaaa 4 數學競賽專項訓練（數學競賽專項訓練（2）參考答案）參考答案 一、選擇題 1、解：根據題意，這批襯衣

42、的零售價為每件 m（1a%）元，因調整后的零售價為原零售價的 b%，所以 調價后每件襯衣的零售價為 m（1a%）b%元。 應選 C 2、解：由已知，a，b，c 為兩正一負或兩負一正。 當 a，b，c 為兩正一負時： 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以，； 當 a，b，c 為兩負一正時： 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以， 由知 |abc abc c c b b a a 所有可能的值為 0。 應選 A 3、解：過 A 點作 ADCD 于 D，在 R

43、tBDA 中，則于B60，所以 DB 2 C ，ADC 2 3 。在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（a 2 C ）2b2 4 3 C2，整理得 a2c2=b2ac，從而有 1 )( 2 2222 bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba c 應選 C 4、解：因為(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab，故A 是ABC 的 最小角，設AQ，則以 b,b,a 為三邊之三角形的最小角亦為Q，從而它 與ABC 全等，所以 DCb，ACDQ，因有公共底角 B，所以 有等腰ADC等腰CBD，從而得 BC BD AB BC ，即 b ba a b ，

44、令 b a x ，即得方程01 2 xx，解得 2 15 b a x 。選 B。 A B C D PE F G 60 A B C D E AD CB EF H G Q A B C D 29 7、C。由于任意凸多邊形的所有外角之和都是 360，故外角中鈍角的個數不能超過 3 個，又因為內角 與外角互補，因此，內角中銳角最多不能超過 3 個，實際上，容易構造出內角中有三個銳角的凸 10 邊形。 8、A。設點 A 的坐標為（yx，） ，則1xy，故ABO 的面積為 2 1 2 1 xy，又因為ABO 與CBO 同底等高，因此ABC 的面積2ABO 的面積1。 二、填空題 1、如圖設四邊形 ABCD

45、的一組對邊 AB 和 CD 的中點分別為 M、N，MNd，另一組對邊是 AD 和 BC，其長度分別為 a、b，連結 BD，設 P 是 BD 的中點，連結 MP、PN，則 MP 2 a ，NP 2 b ，顯然恒有 2 ba d ，當 ADBC，由 平行線等分線段定理知 M、N、P 三點共線，此時有 2 ba d ， 所以d與 2 ba 的大小關系是) 2 ( 2 d baba d 或。 2、12。設BAC 的度數為 x，ABBB BBD2x，CBD4x ABAA AABAB ACBD4x AAB)180( 2 1 x 18044)180( 2 1 xxx，于是可解出 x12。 3、以 3，5，7

46、，9，11 構成的三數組不難列舉出共有 10 組，它們是（3，5，7） 、 （3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、 （5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判定（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11）這三 組不能構成三角形的邊長，因此共有 7 個數組構成三角形三邊長。 4、過 P 作 AB 的平行線分別交 DA、BC 于 E、F，過 P 作 BC 的平行線分別交 AB、CD 于 G、H。 設 AGDHa，BGCHb，AEBFc

47、，DECFd， 則 222222 222222 DPadcbBP dbCPcaAP ， ， 于是 2222 DPBPCPAP，故18453 2222222 BPCPAPDP， DP32 5、設冬天太陽最低時，甲樓最高處 A 點的影子落在乙樓的 C 處，那么圖中 CD 的長度就是甲樓的影 子在乙樓上的高度，設 CEAB 于點 E，那么在AEC 中，AEC90，ACE30，EC20 米。 所以 AEEC6 .11 3 3 2030tan20tanACE（米） 。 CDEBAB-AE16-11.64.4（米） 設點 A 的影子落到地面上某一點 C，則在ABC 中， A B D C P M N A B

48、 D C P E F GH a a b b cd 16 米 20 米 A B C D 甲乙E 30 ACB30，AB16 米，所以 7 . 27316cotACBABBC（米） 。所以要使甲樓的影 子不影響乙樓，那么乙樓距離甲樓至少要 27.7 米。 6、提示：由題意APBBPCCPA120，設PBC，ABC60 則ABP60，BAPPBC， ABPBPC， PC BP BP AP ，BP2APPC 3448 PCAPBP 三、解答題 1、證明：如圖延長 AD 至 E，使 ADDE，連結 BE。 BDDC，ADDE，ADCEDB ACDEBD ACBE 在ABE 中，AEABBE，即 2ADA

49、BAC AD 2 1 （ABAC） 2、答案提示： 在ABC 中，不妨設 abc a+bca+b+c2c 即 p2cc 2 p ， 另一方面 ca 且 cb2ca+b 3c 3 p cpcba。 因此 23 p c p 3、證明：ACB90，DEBC，DFAC，DEAC，DEBC， 從而ECFDECDFC90。 CD 是角平分線 DEDF，即知四邊形 CEDF 是正方形。 在 RtAED 和 RtDFB 中， DEBC ADEB RtAEDRtDFB BF DE DF AE ，即 DEDFAEBF CD2DE2DF， BFAEDFDEDFDECD2222 2 4、解：這一問題等價于在 1，2，

50、3，2004 中選 k1 個數，使其中任意三個數都不能成為三邊互 不相等的一個三角形三邊的長，試問滿足這一條件的 k 的最大值是多少？符合上述條件的數組，當 k4 時，最小的三個數就是 1，2，3，由此可不斷擴大該數組，只要加入的數大于或等于已得數組 中最大的兩個數之和，所以，為使 k 達到最大，可選加入之數等于已得數組中最大的兩數之和，這 樣得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 共 16 個數，對符合上述條件的任數組，a1，a2an顯然總有 ai大于等于中的第 i 個數，所以 n16k1，從而知 k 的最小值為 17。 A

51、B D C E 31 數學競賽專項訓練（數學競賽專項訓練（9）參考答案）參考答案 一、選擇題： 1、C。 ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABC SSSSSSSSSS ， 2、D。連結 AC，有3:1: ABCAGC SS，則 ABCDABCDABCDACDAGCAGCD 3 2 2 1 2 1 3 1 S 矩形矩形矩形四邊形 SSSSS 。 3、B。如圖聯(lián)結 BE， ADE S 4 1 4 3 1， 設x AC CE ，則x ABE 1S 4 1 4 1 3 1 S x x ADE ， 3 1 EA CE 4、A。解：AGADSACS 2 2 1 ，因為ACBRtADC

52、Rt， 所以 AB AC AC AD ，即ABADAC 2 ，又因為 ABAG， 所以 2 2 1 SAGADACS，所以應選 A。 5、B。解：如圖延長 AD，BC 相交于 E，在 RtABE 中，可求得 AE14， 于是 DEAE，AD=6，又 BE3，在 RtCDE 中， 可求得 CD23，CE43，于是 BCBECE 3，BC+CD53。 6、A。解：由右圖與左圖的面積相等，得 2 )()(bababb ，已知1a，所以有 2 ) 1() 12(bbb，即01 2 bb，解得 2 51 b ，從而正 方形的面積為 2 537 ) 2 53 () 1( 22 b。 7、A。解：由ADEA

53、BM，得 DE 22 224 2 ) 2 1 ( ba ab ba ab AM ABAD 8、B。 CDO ACO BDO ABO S S DO AO S S ，即 30 35 40 84xy A E D BC A B C D E 60 32 又 CEO BCO BDE ABO S S OE BO S S ，即 35 7084 x y 842 11234 yx yx ，解之得 56 70 y x SABC84+40+30+35+70+56315。 二、填空題 1、ahS 2 1 陰影 。解：延長 AF 交 DC 的延長線于 M，則ABFMCF， AFFM，SABFSCMF。S陰影SDFM，AF

54、FM SADFSMDF ABCD S 2 1 梯形陰影 S ahS ABCD梯形 ，ahS 2 1 陰影 。 2、144。解：作 MNBC 于 N，AMMC，MNAD，DNNC。9 2 1 ADMN，在 Rt BMN 中，BM15，MN9。BN12，而 BDDC2DN，3DN12，DN4，BC16，S ABC= 2 1 ADBC 2 1 1816144。 3、SADE 9 2 S。解：CEEB12，設 CEk，則 EB2k，DEAC， 而 BEBC2k3k23， 2 ) 3 2 ( s S BDE ，SBDE 9 4 S DEAC 2 1 BE CE BD AD ， 2 1 BD AD S S

55、 BDE ADE ，則 SADE 2 1 SBDE 9 2 S 4、 1089 400 。解：過點 E 作 EFAD，且交 BC 于點 F，則 5 2 EA CE FD CF ，所以 7 5 25 5 CDFD。因為 PQCA，所以 33 28 7 5 4 4 BF BD BE BP EA PQ 于是 33 140 PQ。因為 PQCA，PRCB，所以QPRACB， 因為PQRCAB 故 1089 400 ) 33 20 ()( 22 CA PQ S S CAB PQR 。 5、126。解：設 AD2，則 BC5，FD1，EC3 GFGEFDEC13，GFFE12，SGFDSFEDGFFE12

56、 顯然有 SEFDSCEDFDEC13，SGFDSFEDSCED126。 6、32。解：過點 P 作 AB 的平行線分別交 DA、BC 于 E、F，過 P 作 BC 的平行線分別交 AB、CD 于 G、H。設 AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，則 222222222222 CPadDPcbBPdbcaAP， 33 于是 2222 DPBPCPAP，故18453 2222222 BPCPAPDP，DP32。 三、解答題 1、設 BCa，CDb，由 ABCD 3 1 矩形 SS ABE ，得ab 3 1 BEb 2 1 。BE 3 2 a， 則 EC 3 1 a。同理 FC 3 1

57、b，abba 18 1 3 1 3 1 2 1 S CEF 。 abCDADECS AECD 3 2 )( 2 1 梯形 ， ababaabSS AEF 18 5 3 1 18 1 3 2 SS ADFCEFAECD 梯形 1 5 18 1 18 5 ab ab S S CEF AEF 。 2、答案提示：連結 BE、AD，并把線段之比轉化為兩三角形面積之比；再約分。 3、解：因 ADBC，ABDC，所以DAPBEPABPFDP nn2222 ， 從而有 2 2AP 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n BP DP EP n DP BP FP AP n n n n ， 即 FP AP FP

58、 AP n n 2 2 2 2 所以 EFBD 由可知 2 2 nAB DF ，所以S n S AFD 2 1 ，同理可證S n S ABE 2 1 顯然 2 2 nDC DF ，所以 2 4 1 n n DC DF DC DFDC DC FC ， 從而知S n n S ECF 2 ) 2 4 ( 2 1 ，已知, 8 3 SS AEF 所以有 S n n S n SS 2 ) 2 4 ( 2 1 2 1 2 8 3 ，即 8 3 )2(2 )4( 2 2 1 2 2 n n n 解方程得 n6。 4、證明：連結 OC、OC1，分別交 PQ、NP 于點 D、E，根據題意得COC145。 點 O 到 AC 和 BC 的距離都等于 1，OC 是ACB 的平分線。 ACB90 OCEOCQ45 同理OC1DOC1N45 OECODC190 CQPCPQC1PNC1NP45 CPQ 和C1NP 都是等腰直角三角形。